2.2.3. Размерность и кривизна пространства.
Остановимся на вопросе о размерности физических пространств. В частности, почему наше пространство имеет три измерения?
Под размерностью пространства обычно понимают минимальное число параметров, определяющих его точку. Так, прямая линия одномерна, поскольку точку на ней можно определить, задавая расстояние от начала. На плоскости надо задавать две координаты, в пространстве — три.
В ньютоно-картезианской картине мира пространство представлялось сценой, на которой разыгрывалась мировая драма. Арена не зависела от событий, которые на ней происходили. Однако по мере углубления в природу вещей физики и философы подобрались и к вопросу о связи происходящих событий со свойствами пространства и времени. Существует ли, например, связь законов физики с трёхмерностью нашего пространства?
В этом отношении любопытна студенческая работа И.Канта, в которой будущий великий философ писал: «Трёхмерность происходит, по-видимому, оттого, что субстанции в существующем мире действуют друг на друга таким образом, что сила действия обратно пропорциональна квадрату расстояния» [102]. Он, конечно, имел в виду только закон всемирного тяготения, так как закон Кулона, в котором электрические заряды взаимодействуют по такой же формуле, тогда ещё не был открыт.
На первый взгляд, попытка увязать между собой два столь разных факта, как размерность пространства и закон взаимодействия, кажется натянутой. Сам Кант, не будучи уверен в своём предположении, делает такую оговорку: «Эти мысли могут послужить наброском для некоего исследования, которым я намереваюсь заняться. Не могу, однако, отрицать, что сообщаю их в том виде, в каком они мне пришли в голову, не придав им требуемой достоверности с помощью более подробного изучения. Я готов поэтому снова отказаться от них, как только более зрелое суждение раскроет мне их слабость». Так оно и произошло. В дальнейшем Кант пришёл к представлению о том, что пространство априорно и, следовательно, не может зависеть от конкретного закона сил.
Но в 1917 году австрийский физик П.Эренфест (1880-1933), решая уравнение Пуассона для потенциала электромагнитных сил в n — мерном пространстве, получил обобщение закона Кулона в виде F ~ r1-n , так что в трёхмерном пространстве, при n=3, силы взаимодействуют действительно
обратно пропорционально квадрату расстояния. Более того, оказалось, что только при n = 3 возможно как устойчивое финитное (без ухода на бесконечность), так и инфинитное движение, т.е. трёхмерность обладает определёнными преимуществами перед другими вариантами размерности. При n < 3 не могут возникнуть сложные структуры, при n > 3 не могут существовать устойчивые атомы и планетные системы.
Другой интересный вопрос — о кривизне пространства. В случаях n = 1 и n = 2 это свойство нетрудно представить, изгибая прямую или плоскость. При n ? 3 оно тоже существует, хотя и не столь наглядно, так как для изгибания нужно выходить в следующее измерение.
Можно ли судить о кривизне пространства, не выходя за его пределы? Оказывается, возможно. Покажем это в случае n = 2. Известно, что на плоскости сумма внутренних углов треугольника равна ?. На искривлённой поверхности это не так. Например, у сферического треугольника ABC на рис.1 все углы прямые, так что ? + ? + ? = 3?/2. Имеет место формула ? + ? + ? — ? = kS, где S — площадь треугольника, k — кривизна. На рис.1 S = 4?R2/8, k = R-2, R — радиус сферы. Таким образом, жители двумерного мира могут определять свою кривизну по формуле k = (? + ? +? — ?)/ S, измеряя площадь и внутренние углы треугольников. Для этого не требуется выходить в третье измерение.
Кривизну трёхмерного пространства тоже можно определять, не выходя за его пределы. Измерения показывают, что кривизна нашего пространства не нулевая, однако мала и неоднородна, будучи зависящей от плотности вещества и энергии ( и, надо ожидать, информации ).
Обратим внимание на то, что через кривизну создаётся представление о дополнительных измерениях и совершается выход в расширенное пространство [15]. Так прямая, получая кривизну, свёртывается в окружность и тем самым обретает двумерность. Плоскость становится сферой в трёхмерном пространстве, а наше пространство через кривизну свёртывается, следовательно, в сферу четырёхмерного мира. Пытаясь выглянуть таким путём в четвёртое измерение, не следует забывать, что там изменятся законы физики, зависящие от размерности пространства, и организм рискует разрушиться.
Вспоминая нашу дилемму «дискретность-непрерывность», можно отметить, что понятие размерности пространства употреблялось пока сугубо дискретно ( n = 1, 2, 3,…) в силу его определения. Но существуют объекты, для установления размерности которых такого определения недостаточно. Например, плоская спираль, будучи одномерной, по мере закручивания к точке сгущения становится всё более похожей на двумерный объект. Имеется немало и природных объектов, размерность которых не выражается целым числом. Хорошо известна проблема измерения длины береговой линии, где результат оказывается зависящим от длины линейки: чем короче линейка, тем длиннее эта извилистая линия.
Для решения таких проблем требуется более общее определение размерности. Введём его, следуя Ф.Хаусдорфу (нем. матем., 1868-1942). Если линейка длины ? укладывается N раз в отрезке длины A, то очевидно N? = A. Если квадратик со стороной ? укладывается N раз в квадрате площади A, то N?2 = A. Для куба объёма A аналогично N?3 = A. Показатель степени у ? в каждом случае совпадает с размерностью объекта. Поэтому можно записать N?D = A, где D — размерность. Отсюда D = (lnA — lnN)/ln?. Для аккуратного покрытия сложных объектов с измельчённой структурой величина ? должна быть достаточно малой. Поэтому размерность произвольного объекта в n-мерном пространстве определяется по формуле D = -lim(lnN/ln?) при ?> 0, где N — минимальное число n-мерных кубов со стороной ?, покрывающих данный объект. Слагаемое, содержащее lnA, при этом исчезает, так что размерность объекта не зависит от его меры.
Рассмотрим пару примеров.
1. Канторово множество (Рис.2). Единичный отрезок прямой делим на три равные части и среднюю часть выбрасываем. С каждой из двух оставшихся частей совершаем ту же операцию. Продолжая этот процесс, на n-м шаге имеем N = 2n кусочков длины ? = 3-n. Их суммарная длина An = (2/3)n. При n>? получаем An>0, а D = ln2/ln3 = 0.631… < 1, так что размерность Канторова множества больше, чем у точки, но меньше, чем у линии.

2.Остров Кох. Берём правильный треугольник с единичной стороной. Каждую сторону делим на три равные части и среднюю часть заменяем зубчиком, как показано на рис.3. Затем эту операцию применяем к каждому из 12 образовавшихся звеньев. И так далее. На n-м шаге имеем N = 3•4n отрезков длины ? = 3-n . Их суммарная длина An = 3(4/3)n. При n>? An>?, а D = ln4/ln3 = 1.26…< 2. Таким образом, размерность берега у этого острова больше, чем у линии, но меньше, чем у площади. Площадь всего острова Кох конечна, она равна 2•31/2/5. А периметр — бесконечный, так что прогулка вдоль берега может продолжаться всю жизнь.
Объекты дробной размерности называются фракталами (от англ. fraction — дробь). Как видно из примеров, фракталы обладают свойством масштабной инвариантности, или самоподобия: изменение масштаба не меняет их структуры. В рассмотренных моделях это свойство сохраняется при уменьшении ? вплоть до нуля. В реальных фракталах оно наблюдается на ограниченном масштабном интервале, там, где сохраняется величина размерности D, аналогично значениям макропараметров в концепции сплошной среды.
На классический взгляд, фракталы могут показаться очень искусственными, специально изготовленными образованиями. В действительности же они скорее правило, чем исключение. Вот что пишет французский математик Б.Мандельброт, введший этот термин в 1975 году: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, линии берега — это не окружность, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные, — задачи морфологии аморфного» [103]. Что касается размерности береговой линии, то в Норвегии она равна 1.52, в Англии — 1.24, в Австралии — 1.13.
Фрактальность оказывается фундаментальным свойством материи, и оппозицию «дискретность-непрерывность» мы можем теперь переосмыслить в составе триады

непрерывность
/ \
дискретность ——— фрактальность

Говоря об изменении смысла понятий при переходе от бинарной парадигмы к тернарной, уместно вдуматься и в само слово «смысл». Эволюции этого понятия посвящены книги В.Франкла [104], В.В.Налимова [105], Г.В.Рязанова [106] и множество специальных статей. Но определить его оказалось чрезвычайно трудно. Перебирая близкие по значению слова, такие как идея, сущность, предназначение, конечная цель, целостное содержание, можно увидеть глубокую связь смысла с целостностью. В.И. Смирнов, апофатически отстраняя такие термины как мысль, знание, ценность, значение, бытие, сущее, решается на следующий катафатический вариант определения: «Смысл есть обстоятельство позволительного вхождения знания в со-знание» [107]. Ю.А.Шрейдер предлагает: «Смысл феномена — это внеположенная ему сущность, о которой он призван свидетельствовать» [108]. В.В.Налимов рассматривает смысл как интуитивную компоненту сознания, наряду с текстом (рацио) и языком (эмоцио) [109].

2.3. Конечность-бесконечность.

2.3.1. Бесконечность потенциальная и актуальная.
В словаре [100] бесконечное и конечное рассматриваются как противоположные стороны объективного мира: бесконечное характеризует материю в целом, конечное — конкретные явления и объекты, ограниченные в пространстве и времени; через познание конечного наука идёт ко всё большему раскрытию бесконечного.
Согласно философской энциклопедии [110], бесконечность есть то, конец чего не может мыслиться, границы чего нельзя усмотреть; а конечность отождествляется с ограниченностью.
Признавая существование бесконечного, человек всегда стремился разгадать его тайну. Как писал Д.Гильберт ( нем. математик, 1862-1943): «С давних пор никакой другой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечности. Бесконечное действовало на разум столь же побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея» [111].
Древнее представление о том, что мир конечен и ограничен небесным сводом, подвергалось сомнению всегда. «Вселенная бесконечна и бесчисленны её миры» — говорил греческий философ Анаксимандр в 1-м веке до н.э. Но рассуждения о бесконечном приводили к парадоксам и вызывали бесконечные споры. Хорошо известен знаменитый парадокс Зенона Элейского о том, что Ахиллес не сможет догнать черепаху. Пифагор питал отвращение к бесконечному. Аристотель, рассматривая бесконечность как нескончаемый процесс из последовательных шагов, назвал такую бесконечность потенциальной, в отличие от актуальной, т.е. завершённой, реализованной, «ставшей». Последнюю он просто не стал рассматривать.
В античном представлении прямая линия есть потенциальная бесконечность, ибо продвижение по ней всегда можно продолжить. Актуальную бесконечность не признавал и Кеплер. Однако вопрос не так очевиден, как может показаться на первый взгляд. Придайте прямой кривизну и она свернётся в окружность, которая тоже не имеет конца, но вся помещается в конечной области. Циклическое представление о бесконечности было издавна свойственно Востоку. В Европе путь к пониманию актуальной бесконечности проложили Колумб и Магеллан.
Но не обязательно представлять её столь масштабно. Бесконечное число точек содержится (актуализируется) в любом конечном отрезке. Так, Лейбниц, допуская сначала актуальную бесконечность только по отношению к миру в целом, распространил затем это представление и по отношению к бесконечно-малым величинам. С другой стороны, если подходить к этим величинам через сходящуюся последовательность, то актуальная бесконечность снова превращается в потенциальную. Таким образом, вопрос опять запутывается. Мир конечен или мир бесконечен — первая из антиномий Канта. В книге [112] читаем: «Среди математиков отсутствует единство в понимании такого коренного для судеб всего точного естествознания вопроса, как «можно ли бесконечное мыслить актуально?!»".

2.3.2. Экскурс в теорию множеств.
Обычно за словом «множество» хочется услышать название предметов, которых много. Абстрагируясь от предметного содержания, большую совокупность элементов произвольной природы можно называть одним словом «множество». Создатель теории множеств немецкий математик Г. Кантор (1845-1918) понимал под множеством «всякое многое, которое можно мыслить как единое». Конечные множества характеризуются числом элементов. Обобщая это свойство на бесконечные множества, Кантор ввёл понятие мощности множеств: если элементы двух множеств могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие, то их мощность одинакова.
Кажется, вполне естественное обобщение. Но из него вытекают совершенно поразительные следствия. Например, оказывается, что множество чётных чисел имеет такую же мощность, как и множество всех целых чисел, т.е. часть и целое равномощны. Взаимно-однозначное соответствие тут очевидно: n — 2n. Нетрудно выделить и другие подмножества той же мощности: n — n2, n — 10n и пр. С другой стороны, можно расширять множество целых чисел, не увеличивая его мощности. Если все рациональные числа расположить в виде таблицы:

1/1, 2/1, 3/1, 4/1,…
1/2, 2/2, 3/2, 4/2,…
1/3, 2/3, 3/3, 4/3,…
1/4, 2/4, 3/4, 4/4,…
. . . . . . . . . . . . . . . ,

где вправо возрастают числители, а вниз — знаменатели, то нумеруя их по квадратам, легко доказать равномощность рациональных и натуральных числовых множеств.
Здравый смысл сопротивляется признать, что «рациональных чисел столько же, сколько целых». Но ещё Г.Галилей (1564-1642) говорил: «Рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем, это неправильно, так как такие свойства, как большая и меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей» [113].
Конечный человек пытается познать бесконечность, а она отвечает на эту дерзость парадоксами. Но желание обуздать бесконечность было сильнее боязни парадоксов, и теория множеств решительно овладевала умами математиков. «Окончательное выяснение сущности бесконечного» Д.Гильберт считал «необходимым для чести самого человеческого разума» [111].
Множества, равномощные натуральному ряду, были названы счётными. Освоив их, математическая мысль пошла дальше. Удалось доказать, что множество всех точек на конечном отрезке прямой не является счётным. Воспроизведём это доказательство для открытого промежутка (0,1). Любое число на нём можно представить в виде бесконечной десятичной дроби 0,?1?2?3… . Допустим, что они все перенумерованы, и опровергнем это предположение, построив незанумерованное число по следующему правилу: первый десятичный знак после запятой возьмём отличным от ?1 у первого числа, второй знак — отличным от ?2 у второго числа и т.д. В результате получим число, отличное от всех перенумерованных. Значит, мощность нашего множества больше, чем у счётного (А). Она названа континуальной (С).
С ней тоже начались казусы. Во-первых, она не зависит от длины отрезка. Нужное соответствие легко показать геометрически, хотя трудно смириться с мыслью, что длинная дорога содержит столько же точек, что и короткая. Более того, бесконечная прямая имеет ту же мощность, что и любой её отрезок.
Ещё удивительнее: мощность квадрата оказалась такой же, как мощность отрезка. Соответствие между двумя координатами точки квадрата x = 0,?1?2?3… , y = 0,?1?2?3… и одной координатой точки отрезка z можно установить по правилу z = 0,?1?1?2?2?3?3… . Сам Кантор, найдя доказательство, писал: «Я вижу это, но не верю». Мощность куба тоже континуальна.
Однако множества мощности большей, чем континуум, всё-таки существуют. Их можно строить, задавая на C множество всех функций, принимающих значения 0 и 1 [113]. Вообще для любого множества можно построить множество большей мощности, так что множества самой большой мощности не существует.
Проблема назрела в другом: насколько велика пропасть, разделяющая две ближайшие к нам бесконечности — счётную и континуальную? Сам Кантор полагал, что между ними нет множеств с промежуточной мощностью. Это утверждение, получившее название проблемы континуума, он пытался доказать на протяжении многих лет, но безуспешно. Д.Гильберт, формулируя на рубеже 19-го и 20-го веков важнейшие задачи математики, поставил проблему континуума на первое место.
Однако все колоссальные усилия математиков, направленные на её решение, долгое время не приносили заметных результатов. Рассказывают, что однажды к известному московскому математику Н.Н.Лузину привели пятнадцатилетнего мальчика Льва Шнирельмана, обладавшего исключительными математическими способностями. Чтобы проверить их, Лузин предложил ему тридцать труднейших задач. Решение 29 задач он знал, а одной была … проблема континуума. Но, увы, через неделю молодой математик пришёл к Лузину и грустно сказал: «Одна задача почему-то не выходит» [113].
В 1931 г. появилась статья австрийского математика К.Гёделя, в которой он доказал, что в любой формальной системе, содержащей арифметику натуральных чисел, можно сформулировать утверждение, которое в этой системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть. А в 1939 г. он же доказал невозможность опровержения гипотезы континуума. Наконец, в 1963 г. американский математик П.Коэн получил исчерпывающее решение проблемы, доказав, что аксиомам теории множеств не противоречит ни континуум-гипотеза, ни её отрицание. Таким образом, хотя вопрос был задан в форме «либо-либо», ответ получился в виде «ни-ни». Этот результат не только серьёзно подорвал позиции теоретико-множественной математики, но и имел принципиальные последствия в естествознании и философии.
Размышляя над теоремой Гёделя, А.Н.Паршин в ответ на иронические слова П.Коэна «Жизнь была бы гораздо приятнее, не будь гильбертова программа потрясена открытиями Гёделя», решительно заявляет: «Если бы не было теоремы Гёделя, то жизнь не только не была бы приятнее, её просто не было бы» [114].

2.3.3. Концептуальные соображения
Результаты Гёделя и Коэна означали, что программа Гильберта, направленная на построение полной и совершенной математики, фактически провалилась. Ибо оказалось, что формальная теория не может быть совершенной: в ней обязательно встретятся либо противоречия, либо проблемы, не разрешимые в её рамках. В канторовской теории множеств такими «камнями преткновения» стали проблема континуума и парадокс Рассела-Цермелло ( в популярной интерпретации это парадокс брадобрея: Бриться ли ему, если он должен брить только тех, кто не бреется сам?).
Н.Кузанский, Г.Лейбниц, Г.Вейль правильно считали, что сущность математики состоит в отражении идеи бесконечности в конечных символах. Формализация действительно позволяет конечному интеллекту оперировать с символами, и при этом создаётся иллюзия «приручения» бесконечности. Но всякая попытка экстраполировать конечную теорию на бесконечность обречена на провал. Д.Гильберт называл теорию множеств «раем, который создал нам Кантор», а А.Френкель и И.Бар-Хиллел говорят о ней как «любопытном патологическом казусе в истории математики, от которого грядущие поколения, вероятно, придут в ужас» [112].
Однако прежде, чем пересечь «рубеж Планка», канторовская теория множеств приоткрыла нам немало любопытного, интересного, существенного. Так, она показала, что главные трудности и проблемы принципиального характера связаны с переходом не столько от конечного к бесконечному, сколько от счётного к несчётному; уже потому, что метод индукции неприменим к несчётным множествам. Хуже того, множество объектов, с которыми работает современная математика, счётно, а ведь оно, грубо говоря, ничто даже по сравнению с множеством точек отрезка (0,1). Столь же незавидно положение всего естествознания, которое имеет дело с измеряемым, в то время как «основная масса космической материи находится не в видимых туманностях и звёздных скоплениях, а в скрытом состоянии, когда она «не дана» для прямого физического наблюдения и исследования» [112].
В счётных множествах элементы — первичны. Допущение об онтологической первичности вещей по отношению к свойствам и отношениям восходит к Аристотелю. Но возможны и другие онтологии, когда в качестве первичных выступают свойства (Платон) или отношения (Л.Витгенштейн). Х.Л.Борхес в одной из своих новелл сопоставляет каждой из этих онтологий свой язык: существительных (вещи), прилагательных (свойства), глаголов (отношения) [115].В современную физику всё больше проникает понимание природы не как совокупности фундаментальных сущностей, а как динамической сети отношений [8]. Так же и в семиотике: исходным пунктом берётся не отдельный знак, а семиотическое пространство отношений [4].
В самой математике оппонентом формализму выступает интуиционизм (Л.Брауэр, А.Вейль, А.Гейтинг), признающий понятие континуума более фундаментальным (первичным), чем понятие точки. Другое направление мысли апеллирует к динамике. «При изучении бесконечных множеств законно ли абстрагироваться от процесса их образования?», — вопрошал А.Н.Колмогоров. В связи с этим уместно привести слова М.К.Мамардашвили о постижении бытия в со-бытии: «Мысль существует только в исполнении, как и всякое явление сознания, как и всякое духовное явление. Она существует, повторяю, только в момент и внутри своего собственного вновь-исполнения. Ну так же, как, скажем, симфония, нотная запись которой, конечно же ещё не является музыкой. Чтобы была музыка, её надо исполнять» [116]. С.А.Катречко ссылается на эти слова в статье «Сознание и бесконечность» [112], которой предпослан эпиграф «Храбрым каждый раз надо быть заново» (Антуан де Сент-Экзюпери).
Сопоставляя диаду «конечность-бесконечность» с такими оппозициями как вещество-поле, дискретность-непрерывность, относительное-абсолютное, рассудок-разум (у Гегеля), полнота-целостность, человек-Бог и т.п., можно прийти к выводу, что все они являются выражением какого-то единого глубинного архетипа, к которому ближе всего, пожалуй, именно конечное-бесконечное. «Дать катафатическое определение бесконечности вообще невозможно…, — пишет С.Л.Катречко, — Бесконечность противостоит человеку, который, как конечное существо, окружён бесконечным. Это проблемы не-измеримости, не-формализуемости, не-разрешимости, не-вычислимости, не-эффективности. Проблема бесконечности и есть проблема собственно науки» [112]. И не только науки, следует добавить.
Исследование развития проблемы бесконечности в истории науки тоже естественно приводит к необходимости перехода от диад к синтезирующим триадическим структурам [117]. Но, в отличие от рассмотренных выше оппозиций «вещество-поле» и «дискретность-непрерывность», стороны которых можно рассматривать как равносильные, конкурентно-способные, в нашей диаде бесконечное явно доминирует над конечным. Если этим пренебречь, трактуя бесконечность заведомо обеднённо, то в качестве замыкающей компоненты в аспекте «эмоцио» можно предложить «движение». Если же всё-таки расщеплять доминанту, то естественно воспользоваться понятиями потенциальной (интуицио) и актуальной (эмоцио) бесконечности. Но, пожалуй, правильнее будет рассматривать конечность и бесконечность на разных уровнях общности. Тогда триада самой бесконечности может быть представлена в виде

континуальная
/ ? \
счётная ———- асимптотическая

где асимптотическая компонента напоминает философскую концепцию реальной бесконечности [118], связанную с текучим, преходящим, неисчерпаемым характером противоречий. Рационалист предпочитает иметь дело со счётной бесконечностью, интуитивист полагает её континуальной, живой человек общается с бесконечностью асимптотической.