Russian
| English
"Куда идет мир? Каково будущее науки? Как "объять необъятное", получая образование - высшее, среднее, начальное? Как преодолеть "пропасть двух культур" - естественнонаучной и гуманитарной? Как создать и вырастить научную школу? Какова структура нашего познания? Как управлять риском? Можно ли с единой точки зрения взглянуть на проблемы математики и экономики, физики и психологии, компьютерных наук и географии, техники и философии?"

Светлой памяти Д.С. Чернавского
«СИНЕРГЕТИКА И ИНФОРМАЦИЯ» 
Д.С. Чернавский

В квантовой механике тождественность понимается как абсолютная и фактически это свойство постулируется. При отказе от абсолютной тождественности нарушается принцип симметрии (в частности, принцип Паули) со всеми вытекающими последствиями.

В классике, напротив, абсолютная тождественность появляется как нечто выходящее за рамки общих случаев (событие меры ноль). Любое свойство объекта (его масса, размеры и т.д.) в общем случае может изменяться непрерывно. В классической макро-физике ни среди природных объектов, ни среди предметов, созданных человеком, не может быть двух абсолютно одинаковых, даже если эти объекты созданы в одинаковых условиях. Они отличаются хотя бы тем, что на каждый предмет можно поставить инвентарный номер и эти номера будут различными. Одинаковыми (или тождественными) можно считать объекты, если в данном процессе (или в имитации этого процесса, проводимых с определенной целью) малые различия роли не играют и на результатах не сказываются.
Иными словами, тождественность в классической физике понятие условное и не абсолютное.

С другой стороны, в учебниках по статистической физике при выводе распределения Больцмана используется утверждение о том, что состояния, полученных перестановкой одинаковых частиц следует считать одним состоянием [20]. При этом «одинаковость» частиц понимается как абсолютная тождественность.
Это же утверждение лежит в основе парадокса Гиббса. Напомним кратко в чем его суть.
Рассмотрим два одинаковых сосуда, разделенных перегородкой, в каждом из которых имеется газ с одинаковыми объемом V, давлением Р, температурой Т и энтропией S .
Молекулы газа в них могут быть либо абсолютно одинаковыми (тождественными), либо отличаться (но очень мало, например, иметь разные массы, отличающиеся на величину, меньшую точности эксперимента).

При удалении перегородки молекулы газа перемешиваются.
Если молекулы тождественны, то смешение в рамках термодинамического подхода не приведет к изменению состояния и полная энтропия S = 2S не изменится.
Если молекулы различаются сколь угодно мало, то в результате смешения энтропия каждого газа увеличивается вдвое и полный прирост энтропии равен: DS = 2S.
Этот прирост не зависит от меры различия начальных газов и остается даже если различие стремится к нулю; в чем и состоит парадокс Гиббса.
В качестве «разрешения» парадокса Гиббса приводят следующий аргумент: молекулы (или атомы) — объекты квантовые и, следовательно, являются либо абсолютно тождественными, либо отличаются на конечную величину. Примером могут служить изотопы одного и того же элемента.
Эта аргументация удовлетворяет отнюдь не всех, поэтому обсуждение парадокса Гиббса продолжается.
Причина здесь в следующем.

Можно представить себе ансамбль из классических объектов («частиц», например бильярдных шаров), которые наверняка не будут тождественными. Для определенности можно эти объекты пронумеровать или покрасить в разные цвета (например «красный» и «черный»).
В принципе можно даже реализовать такой ансамбль в натуре и уж наверняка можно провести расчет его поведения на компьютере в рамках «молекулярной динамики».
Возникает вопрос: будет ли в таком ансамбле заведомо не тождественных частиц устанавливаться распределение Больцмана и будет ли иметь место парадокс Гиббса.
В работе [24] был проведен численный эксперимент в рамках молекулярной динамики. Целью эксперимента было установить, насколько распределение частиц по скоростям соответствует распределению Максвелла-Больцмана. Этот эксперимент показал, что достаточно быстро в ансамбле заведомо не тождественных частиц устанавливается распределение практически неотличимое от больцмановского.

Это значит, что распределение Больцмана устанавливается вне зависимости от того, тождественны частицы или нет.
Численный эксперимент по смешению газов не проводился, однако его результаты очевидны.
Разумеется, при удалении стенки частицы начнут перемешиваться — это объективный факт, не зависящий от того, тождественные частицы или нет. Число возможных микросостояний системы при этом тоже увеличится. Например, состояние в котором левая половина почти пуста, а все частицы сосредоточены в правой до удаления заслонки невозможен по условиям задачи. После удаления перегородки оно в принципе возможно, но крайне маловероятно.

Перед подсчетом энтропии исходного (до удаления заслонки) и конечного (после удаления и перемешивания) состояний уместно сделать ряд замечаний.

  1. В классической формальной термодинамике энтропия как функция состояния выражается через макроскопические переменные, такие как: давление, температура, объем и концентрации компонентов (если их несколько).
  2. В статистической физике энтропия определяется как логарифм числа возможных микросостояний. В равновесных эргодических системах это определение приводит к тем же

результатам, что и формальная термодинамика.
Рассмотрим парадокс Гиббса с формально термодинамической точки зрения. При этом необходимо ввести понятие «концентрация». В нашем случае, когда свойства всех частиц различны, ввести это понятие можно лишь условно.

Обсудим несколько вариантов.

  1. Будем считать, что, не смотря на малые различия, все частицы одинаковы. Тогда концентрация С — число частиц в единице объема. Эта концентрация, равно как и другие макрохарактеристики не изменяется при удалении заслонки. Энтропия как функция состояния тоже не изменяется.
  2. Разделим все частицы на два сорта: «легкие» (масса которых меньше некоторой средней величины «m») и «тяжелые». Разумеется, такое разделение, равно как и выбор массы m условен, поскольку различия очень малы.

Тогда необходимо ввести две концентрации «легких» частиц (С1) и «тяжелых» (С2).

В случае, если в начале в разных отсеках частицы смешаны равномерно и концентрации их одинаковы, то после удаления заслонки концентрации не изменятся (хотя сам процесс перемешивания конечно произойдет). Энтропия системы в этом случае не изменится.
Пусть в начале «легкие» и «тяжелые» разделены так, что концентрации их в левом ящике С1=0; С2 =С и в правом С1 =С; С2= 0.. Тогда после удаления заслонки концентрации легких и тяжелых частиц будет вдвое меньше. (а занимаемые ими объемы — вдвое больше).
Энтропия системы увеличивается на величину DS = 2 k ln n , (где n — число молекул газа), которая и является энтропией смешения.

Отсюда следует, что энтропия смешения — понятие условное (равно как и энтропия в целом).
Условность всегда субъективна и всегда дискретна. Вопрос о том, где поставить условную границу в случае, когда реальные различия стремятся к нулю лишен смысла. Условную границу можно либо ставить, либо не ставить и решение в этом случае дискретно по постановке задачи.
Критерием условного разделения является его конструктивность или, что то же, целесообразность.
Каждое понятие (тождественность, энтропия и т.д.) вводятся для того, чтобы описывать реальные процессы — в этом и состоит цель их введения. В зависимости от этой цели можно в наборе объектов, свойства которых меняются непрерывно, ввести границу и считать объекты слева и справа от нее одинаковыми. При этом единственным условием является физически реализуемая возможность отнести каждый объект к одному из условно выделяемых классов.
Поясним сказанное на примерах.

  • Рассмотрим процесс разделения изотопов урана (U235 U238). В диффузионном методе разделения используются летучее соединение UF6 При этом изотопы рассматриваются как различные атомы. Критерий различия в данном случае прост и вполне физически реализуем: кусок чистого U235 критической массы (порядка 1 кг) взрывается; такой же кусок U238 — не взрывается. Это связано с различием свойств ядер изотопов, которые не малы.
    В разделительных машинах энтропия смешения изотопов обязательно учитывается. Более того, принцип минимума энтропии смешения лежит в основе конструкции этой машины.
  • Рассмотрим теперь процесс восстановления урана из UF6 . В данном случае цель — получение металлического урана. В этом процессе химическое различие изотопов урана пренебрежимо мало. При расчете оптимальных параметров химического процесса эти различия не учитываются, то есть различные изотопы считаются тождественными, учитывать эти различия в данном случае не целесообразно.
  • Рассмотрим ансамбль классических нелинейных автоколебательных систем — генераторов, связанных друг с другом. Параметры их (и собственные частоты) в общем случае различаются, хотя и слабо.
    Пусть наша цель — создать систему, в которой генераторы работают синхронно. Тогда параметры генераторов подбираются так, чтобы произошел захват частот. После этого, генераторы, попавшие в полосу захвата, работают на одной общей частоте и в этом смысле ведут себя как тождественные объекты. Генераторы, не попавшие в полосу захвата, работают на другой частоте и рассматриваются как «другие» (не тождественные первым) объекты.
    Критерием разделения в данном случае служит полоса захвата частот. Если цель — испытывать каждый генератор в отдельности (вне связи с другими), разделять их на группы бессмысленно. В этом случае они все рассматриваются как одинаковые (стандартные или тождественные, если, конечно, их параметры не выходят за рамки допустимых по стандарту).
  • Рассмотрим в качестве примера игру в биллиард.
    Согласно одним из правил, выигрывает тот, кто закатил большее количество шаров в лузы, неважно каких именно в какие именно. При этом все шары считаются одинаковыми (тождественными).

Существуют другие правила, согласно которым выигрывает тот, кто забил определенные шары в определенные лузы. В этом случае шары (и лунки) уже не тождественны. Отличия их должны быть физически детектируемы так, чтобы каждый игрок мог объективно оценить какой именно шар попал в данную лузу (для чего шары нумеруются, раскрашиваются в разные цвета и т.д.). С другой стороны, эти отличия не должны влиять на основные (с точки зрения игры) свойства шаров: их размеры, массу, упругость. В этом смысле они должны быть одинаковыми.

Таким образом, понятие тождественности объектов в классической физике условно. То же относится и к понятию «энтропия», в частности, энтропии смешения.
В свете этого, парадокс Гиббса — результат недоразумений, связанный с попыткой придать условному понятию безусловный (объективный) смысл.
В квантовой механике согласно [25], критерием тождественности двух объектов (состояний) является способность их к резонансному взаимодействию. Так, объекты можно считать одинаковыми (тождественными), если собственные функции системы являются симметричная и антисимметричня суперпозиции функций отдельных объектов. Последнее зависит не только от свойств самих объектов, но и от взаимодействия между ними. такая ситуация очень близка к случаю синхронизации классических осцилляторов, рассмотренному выше. (см. пример 3). В целом ситуация в квантовой механике заслуживает специального и более подробного рассмотрения. Здесь мы этого касаться не будем. .

Рассмотрим парадокс Гиббса с позиции теории глобально неустойчивых (эргодических) динамических систем. Здесь энтропия определена как логарифм фазового объема внутри всюду выпуклой области, охватывающей изображения точек ансамбля системы. Возникает вопрос, насколько условно это определение и как проявляется эта условность в парадоксе Гиббса.

Примем, что все частицы в левом отсеке имеют отрицательные значения пространственной координаты Х, а в правом — положительные.
Рассмотрим вариант (i), в котором все частицы считаются одинаковыми. Тогда в фазовом пространстве всей системы изображающие ансамбль точки распределены равномерно. Всюду выпуклая огибающая охватывает все пространство. Объем внутри нее максимален и при удалении заслонки не увеличивается. Перемешивание сводится к тому, что внутри этого объема изображающие точки перемешиваются и заполняют имеющиеся там пустоты. На величине объема выпуклой оболочки это не сказывается, поскольку исходное состояние является равновесным.

Рассмотрим вариант (ii), в котором частицы считаются различными. Здесь возможны два случая:
В первом различные частицы в начале присутствуют как в левом. так и в правом отсеках. Тогда после удаления заслонки происходит то же самое, что и в предыдущем варианте. Энтропия при этом не возрастает.
Во втором в исходном состоянии одни частицы находятся только в левом отсеке, а другие — только в правом. Это значит, что часть фазового пространства (именно та, где координата Х «легких» частиц положительна, а «тяжелых» — отрицательна) пуста.
При построении оболочки эта часть должна быть исключена. После удаления заслонки эта часть фазового пространства заполняется, оболочка «раздувается» и объем внутри нее увеличивается. Прирост логарифма объема соответствует энтропии смешения.

Отсюда видно, что условность разделения частиц на «легкие» и «тяжелые» проявляется в условности процедуры построения всюду выпуклой оболочки. Речь идет о том, должна ли эта оболочка охватывать область, заведомо пустую в рамках варианта (ii) во стором случае, или заведомо заполненную в рамках варианта (i).
Отметим, что при построении всюду выпуклой оболочки всегда приходиться охватывать пустые области и именно этим обеспечивается рост энтропии в неравновесных процессах. Поэтому некоторая условность этой процедуры имеет место всегда, а не только в случае парадокса Гиббса.
Оправданием и критерием целесообразности этой условности служит конструктивность использования условного понятия в конкретных процессах.
В заключение раздела подчеркнем главные выводы.

Неустойчивость — явление. которое возникает в рамках динамических уравнений, но приводит к тому, что они перестают быть полными. Неустойчивость можно констатировать (то есть вычислить числа Ляпунова) в рамках динамики, но предсказать результат процесса при этом невозможно.
Перед нами пример того, что в рамках любого алгоритма, включающего хотя бы арифметику, можно сформулировать задачу. которая не будет иметь решения. Это — парафраз теоремы Гёйделя, о которой все слышали, но мало кто думал, что она может иметь практическое применение.
Дополнительное утверждение, которое нужно сделать по отношению к глобально неустойчивым (хаотическим) системам, хорошо известно; оно состоит в следующем: по неустойчивым состояниям (микросостояниям) необходимо усреднить и далее работать со средними характеристиками. Последние, как упоминалось, устойчивы в ту же меру, в какую микросостояния неустойчивы. По существу это дополнение является основой второго начала термодинамики.
Дополнительная аксиома нуждается во введении дополнительного понятия. Это понятие — энтропия, как мера множества микросостояний — было введено и сейчас описать явления в неживой природе минуя это понятие, невозможно.

В действительности энтропия была введена много раньше (в начале прошлого века), просто как величина, удобная для расчетов паровых машин. Физический смысл её тогда был не ясен и поэтому энтропия воспринималась как нечто не от мира сего (некий фетиш). Склонность фетишизировать это понятие сохранилась и до сих пор, хотя сейчас ситуация существенно прояснилась.

Теория динамического хаоса не исчерпывается задачей о бильярде. Хаос может возникать и в диссипативных (не гамильтоновых) динамических системах и там он имеет свои особенности [26]. Сейчас найден целый класс динамических систем, в которых хаотический режим возникает лишь в некоторых областях фазового пространства. Такие области называют странными аттракторами [27]. Фазовые траектории входят в эти области (откуда и термин «аттрактор»), но не выходят из них, а запутываются внутри (откуда и эпитет «странный»). Одним из первых обнаружил странный аттрактор Эдвард Лоренц в 1961 г. (см. [27], стр. 88).
Странные аттракторы можно рассматривать как стационарные состояния, но не стянутые к одной точке, а размазанные по области фазового пространства. В природе такие системы распространены гораздо шире, чем это можно было бы предположить.

2. 3 Проблема необратимости в квантовой механике.

Квантовая механика основана на двух постулатах. Первым постулатом является уравнение Шредингера:

(2,23)

где h — постоянная Планка, H — оператор Гамильтона, Y — волновая функция системы.
Второй постулат представляет собой плотность вероятности обнаружить частицу в заданной точке х. (или частицы в точках x1 , x2 , … xn , здесь и далее х — многомерный вектор).

(2.24)

где тильда означает комплексное сопряжение.
Известно, что эти постулаты в рамках современной квантовой механики не совместимы [28,29]. Дело в том, что при фиксации частицы волновая функция стягивается в точку, то есть плотность вероятности превращается в d(x) — функцию:

(2,25)

Этот процесс называется редукцией пакета.
Известно, что редукция пакета не может быть описана в рамках уравнения Шредингера, даже если в гамильтониан включить всю систему вместе с измерительным прибором. Эта проблема известна как «парадокс измерения». Суть дела в том, что редукция пакета — процесс необратимый во времени. Энтропия в течение этого процесса возрастает, что, согласно теореме фон Нёймана [29] невозможно.

При изложении основ квантовой механики обычно говорят, что из- мерительный прибор — система классичеcкая. Встаёт вопрос: при каких условиях и почему квантово-механическое описание теряет силу и должно быть заменено классическим. Одним из главных этапов этой проблемы является вопрос о росте энтропии в гамильтоновых квантово-механических системах.

В классической физике, как было показано выше, причиной необратимости является глобальная неустойчивость динамических процессов, то есть возникновения динамического хаоса. Попытки осуществить аналогичную программу в квантовой механике натолкнулись на трудности. Выяснилось, что замкнутые квантово-механические системы динамически устойчивы. Это значит, что при малом изменении начальных условий эти девиации со временем не нарастают. Интегральная мера начальных отклонений остается постоянной и не увеличивается со временем. Это утверждение известно как теорема Вигнера [28].
Численные методы исследования хаотизации некоторых квантово-механических систем [30] не дали определенного ответа и вопрос остается открытым.
В этом разделе мы проведем анализ параметрической устойчивости квантово-механических систем. Мы покажем, что при определенных условиях квантово-механическая система становится параметрически неустойчивой, что приводит к возрастанию наблюдаемой энтропии. Систему, удовлетворяющую этим условиям можо назвать классическим прибором.

2.3.1. Динамическая и параметрическая устойчивость квантово-механических систем.

Рассмотрим финитную систему. Оператор Гамильтона обозначим , где индекс n соответствует определенному набору параметров. Далее будем считать, что при изменении индекса n параметры гамильтониана меняются мало, так, что они близки друг к другу при всех значениях индекса n. Меру близости мы обсудим позже.
Собственные функции удовлетворяют уравнению:

(2.26)

Здесь и далее индекс «i» нумеруется в порядке возрастания энергии. Развитие во времени любого состояния y(x,t) , не являющегося собственным, описывается уравнением:

где (2,27)

(здесь и далее положено )
Матрица плотности в энергетическом представлении равна произ- ведению амплитуд плотности

вероятности застать систему в i -ом состоянии.

(2,28)
отсюда: (2,29)

Диагональные элементы матрицы плотности представляют собой вероятность застать систему в состоянии с энергией , то есть они связаны с энергетическим спектром нестационарного состояния Y(x,t). Последний характеризуется средней энергией `Е и полушириной (то есть дисперсией) DЕ.
В структурно неустойчивых системах энергетический спектр сильно изрезан (то есть при изменении индекса i на единицу величина меняется в меру самой себя), но, будучи усреднен по индексу n, становится плавной. Величины Е и DЕ, будучи усредненными по i, от индекса n не зависят.
В этом представлении энтропия равна:

(2,30)

где k — постоянная Больцмана.
Это выражение является обобщением классического представления энтропии как

S = k
(2,31)

где wi — априорная вероятность застать систему в i-ом микроскопическом состоянии.
Выражение (2,30) переходит в (2,31), если сумма недиагональных членов равна нулю. Поэтому задача сводится к выяснению поведения недиагональных элементов матрицы плотности со временем.
Рассмотрим специальный класс систем, удовлетворяющих следующим условиям.
(1) Энергетический спектр системы достаточно плотен, то есть расстояния между соседними уровнями малы:

(2.32)

Величины масштаба e0 = <<1 будем считать малыми

(2)При изменении параметров энергетические уровни сдвигаются мало, то есть:

(2.33)

Величины масштаба того же порядка, что и e0 Это означает, что в ансамбле похожих, но не тождественных систем, отличающихся параметрами, сами параметры отличны лишь в меру e1. Отсюда следует, что и энергетическое воздействие на систему, связанное с изменением параметров, мало в ту же меру.
(3) Собственные функции при изменении параметров изменяются сильно, так, что при :

(2.34)

При этом и коэффициенты разложения любой функции Y (х,0) по собственным функциям n — ого и m -ого гамильтонианов также отличаются сильно.

(2.35)

Отсюда следует, что близкие по значению коэффициенты такие, что:

(2.36)

соответствуют разным значениям энергии, таким, что:

(2.37)

Системы, удовлетворяющие перечисленным свойствам, будем называть параметрически (или структурно) неустойчивыми. Термин оправдан тем, что при малом ( в меру e) и случайном изменении параметров, коэффициенты разложения меняются тоже случайно, но сильно.
Примером таких систем могут служить спиновое стекло. Оно состоит из n атомов, каждый из которых может находиться в двух состояниях («спин вверх» и «спин вниз»). Число возможных различных состояний системы равно: N = 2n , таково же и число уровней системы. Взаимодействие между атомами снимает вырождение и образуется зона ширины D. Далее будем считать, что , то есть нестационарная функция Y(x,t) может быть разложена по собственным функциям гамильтониана спинового стекла. Расстояние между уровнями в зоне порядка:

и, следовательно: (2.38)

При n > 1000 величина e0 настолько мала, что ее мы будем считать аналогом бесконечно малого (то есть величиной типа «обратный гугол»). То же можно сказать и о возмущениях масштаба e1.
Обсудим вопрос о динамической устойчивости.
Рассмотрим ансамбль тождественных систем, параметры которых одинаковы. При этом индекс n можно опустить. Сравним развитие во времени двух нестационарных функций, которые вначале отличаются слабо, так, что:

(2.39)

Изменение функций Y1(х,t) и Y2(x,t) во времени описывается выражениями (2.27), где коэффициенты и различны. Из (2.38) и (2.27) следует, что разности коэффициентов подчиняются условию:

(2.40)

где: N — эффективное число уровней.
Интегральная мера девиации в момент времени t равна:

(2.41)

Она не зависит от времени и всегда мала.
Таким образом, по интегральным критериям квантово-механические системы динамически устойчивы. Приведенные расчеты можно рассматривать как иллюстрацию теоремы Вигнера [28]. Причина устойчивости в том, что фазовое пространство квантово-механических систем разделено на слои, соответствующие энергетическим уровням. При развитии системы во времени эти слои не перемешиваются.
Рассмотрим теперь ансамбль сходных, но не тождественных систем, параметры которых отличаются в меру e1 » e0 так, что энергетические уровни в них перемешиваются. Сравним, как развивается во времени изначально одинаковая волновая функция Y(х,0) в двух системах (n=1,2).

(2.42)

Их разность, то есть девиация функции в момент t, равна:

(2.43)

Здесь мы учли, что согласно свойству (2) и условию (2.33), собственные значения Еi ,соответствующие разным значениям индекса n различны лишь в меру e1 (в то время как коэффициенты Сi различаются сильно), Малым различием собственных энергий мы пренебрегли.
При t = 0 Y(1) = Y(2) = Y(x,t=0). Отсюда:

(2.44)

хотя сами функции и коэффициенты Сi , согласно (3), отличаются сильно.
Интегральная мера девиации равна:

(2.45)

Здесь обозначено и учтено, что при t = 0 согласно (2.44):

(2.46)

Из (2.44) и (2.46) следует, что при t » (DE)-1 каждый член суммы в (2.45) не мал. Компенсация членов в сумме (2.45) также невозможна, поскольку временной фактор не зависит от индекса n (n=1,2), а остальные величины зависят от параметров гамильтониана и меняются при их изменении согласно условию (3) достаточно сильно.
Таким образом, интегральная девиация растет со временем и за конечное время (порядка обратной дисперсии спектра исходного состояния DE) достигает значения порядка единицы. Полуширину спектра DE можно считать аналогом числа Ляпунова.
Важно, что здесь, как и в классической физике, развитие системы во времени и сам факт неустойчивости определяется внутренними свойствами системы, а не внешними воздействиями.

2.3.3. Наблюдаемые величины в структурно неустойчивых квантово-механических системах (см. [31]).

Обычно под наблюдаемым значением оператора понимают его среднее по ансамблю. При этом не оговаривают в какой мере системы ансамбля одинаковы. В случае структурно устойчивых систем этот вопрос и не встаёт; системы можно считать тождественными. Однако, если системы структурно неустойчивы, то есть обладают свойствами (1), (2), (3), , необходимо дополнить эту процедуру условием усреднения по ансамблю одинаковых, но не абсолютно тождественных систем. Тогда неблюдаемое значение какого либо оператора следует представить в виде:

(2.47)

Такая процедура уже предлагалась и обсуждалась ранее в [32].
Если оператор не зависит от времени явно, то его наблюдаемое значение будет зависеть от времени в силу изменения во времени нестационарной функции Y (x,t). Тогда:

(2.48)
где:

Представим (2.48) в виде:

(2.49)

Первый член — сумма диагональных элементов, она не зависит от времени. Второй член — сумма недиагональных членов, которая зависит от времени. Рассмотрим оба члена отдельно в случае, когда система структурно неустойчива.
В первом члене обе величины: и — сильно изрезанные функции как индекса n так и i. Однако, после усреднения по n в соответствии с (2.47) они стеновятся гладкими функциями индекса i.
Примем, что при усреднении по n величины и статистически независимы. Смысл и роль этого, как увидим важного, положения мы обсудим позже. Тогда:

(2.50)

где: и — усредненные по n , уже гладкие функции индекса i. После этого первый член в (2 .49) можно представить в виде интеграла:

(2.51)

где W(E) — энергетический спектр системы и O(E) — наблюдаемое значение оператора О в состоянии с энергией Е.
Действуя аналогично, представим второй член в (2.49) в виде:

(2.52)

,

где: и Оi,j — усредненные по n значения недиагональных членов и

Интеграл (2.51) представляет собой вклад в наблюдаемую величину диагональных членов, который мы обозначим: ; от времени он не зависит.