Г.Л. Мазной, А.С. Власова
Международный Университет природы, общества и человека «Дубна»

Введение

Причины возникновения синергетики, ее отличия от представлений, выработанных раньше
Сравним системы, существующие в природе, с теми,которые созданы человеком.

Вывод: нужно позаимствовать опыт построения организации, накопленный природой, и
использовать его в нашей деятельности.
Отсюда вытекает одна из задач синергетики — выяснение законов построения организации,
возникновения упорядоченности. Здесь акцент делается на принципах построения организации,
ее возникновении, развитии и самоусложнении.
При решении самых разных задач от физики и химии до экономики и экологии создание и
сохранение организации, формирование упорядоченности является либо целью деятельности,
либо ее важным этапом.
Приведем два примера:
1. Задачи, связанные с управляемым термоядерным синтезом. В большинстве проектов самый
важный момент — создание необходимой пространственной или пространственно-временной
упорядоченности.
2. Формирование научных коллективов, где активная творческая работа большинства
сотрудников должна сочетаться с возможностями совместно решать крупные задачи. Такой
коллектив должен быть устойчив и быстро реагировать на все новое. Какова оптимальная
организация, позволяющая добиваться этого?
Вопрос об оптимальной упорядоченности и организации особенно остро стоит при
исследованиях глобальных проблем — энергетических, экологических, многих других,
требующих привлечения огромных ресурсов. Здесь нет возможности искать ответ методом проб
и ошибок, а «навязать» системе необходимое поведение очень трудно. Гораздо разумнее
действовать, опираясь на знание внутренних свойств системы, законов ее развития. В такой
ситуации значение законов самоорганизации, формирования упорядоченности в физических,
биологических и других системах трудно переоценить.
Другая причина, обусловившая создание синергетики, — необходимость при решении ряда
задач науки и техники анализировать сложные процессы различной природы, используя при
этом новые математические методы.
Классическая математическая физика (т. е. наука об исследовании математических
моделей физики) имела с линейными уравнениями. Формально это уравнения, в которые
неизвестные входят только в первой степени. Реально они описывают процессы, идущие
одинаково при разных внешних воздействиях. С увеличением интенсивности воздействий
изменения остаются количественными, новых качеств не возникает. Область применения
линейных уравнений необычайно широка. Она охватывает классическую и квантовую механику,
электродинамику и теорию волн. Методы их решения, разрабатывавшиеся в течение столетий,
обладают большой общностью и эффективностью.
Однако ученым все чаще приходится иметь дело явлениями, где более интенсивные внешние
воздействия приводят к качественно новому поведению системы. Здесь нужны нелинейные
математические модели. Их анализ — дело гораздо более сложное, но при решении многих
задач он необходим. Это приводит к формированию широкого фронта исследований нелинейных
явлений, к попыткам создать общие подходы, применимые ко многим системам(к таким подходам
относится и синергетика). Современная наука все чаще формулирует свои закономерности,
обращаясь к более богатому и сложному миру нелинейных математических моделей.

Синергетика Хакена
Термин «синергетика» происходит от греческого «синергена» — содействие,
сотрудничество, совместные действия.
Предложенный Г. Хакеном, этот термин акцентирует внимание на согласованности
взаимодействия частей при образовании структуры как единого целого.
Большинство существующих ныне учебников, справочников и словарей обходят неологизм
Хакена молчанием. Заглянув в энциклопедии последних изданий, мы с вероятностью, близкой к
единице, обнаружим в них не синергетику, а «синергизм» (1.Совместное и однородное
функционирование органов (например, мышц) и систем; 2. Комбинированное действие
лекарственных веществ на организм, при котором суммарный эффект превышает действие,
оказываемое каждым компонентом в отдельности). Фигура умолчания объясняется не только
новизной термина «синергетика», но и тем, что X — наука, занимающаяся изучением процессов
самоорганизации и возникновения, поддержания, устойчивости и распада структур самой
различной природы, еще далека от завершения и единой общепринятой терминологии (в том
числе и единого названия всей теории) пока не существует.
Синергетику Хакена легко описать: все, что о ней известно, содержится в множестве
Synergetics={X1, X2, … , Xn}
где Xi — i-й том выпускаемой издательством Шпрингера серии по синергетике [2-8].
Множество это конечно, но число элементов в нем быстро возрастает[16].
Разработанная почти полвека назад, эта программа становится особенно актуальной в
наши дни существенной «делинеаризации» всей науки. Без наглядных и емких физических
образов, адекватных используемому аппарату, немыслимо построение общей теории структур,
теории существенно нелинейной.

Что такое синергетика?
На этот вопрос можно дать несколько ответов.
* Во-первых, буквальный.Речь идет о явлениях, которые возникают от совместного
действия нескольких разных факторов, в то время как каждый фактор в отдельности к
этому явлению не приводит.
* Во-вторых, синергетику часто определяют как науку о самоорганизации. Последнее
означает самопроизвольное усложнение формы, или в более общем случае структуры
системы при медленном и плавном изменении ее параметров (ячейки Бенара).

Ячейки Бенара
Явление состоит в следующем. В плоском сосуде с жидкостью, равномерно подогреваемом
снизу, самопроизвольно образуются конвективные вихревые течения, если мощность подогрева
превосходит некое критическое значение. Вихри образуют регулярную структуру. Эта
структура образуется в результате конкуренции (а также совместного действия) нескольких
процессов: теплопроводности, гидродинамической конвекции и теплопередачи. Если мощность
подогрева ниже критической, то никаких вихрей не образуется, жидкость остается
однородной. Неоднородная регулярная структура возникает сама при увеличении параметра -
температуры подогрева; в этом и заключается суть явления. Можно привести много примеров
подобного рода: образование перистых облаков, геологических структур и т. п. Усложнение
формы зародыша живого организма при его развитии (т. е. морфогенез) относится к тому же
классу явлений.

Сейчас также самопроизвольно возникающие образования объединяются под общим названием -
диссипативные структуры (термин предложен И.Р. Пригожиным).

Примером самоорганизации во времени является самопроизвольное возникновение
автоколебаний. Обыкновенные часы, как известно, стоят, если напряжение пружины ниже
критического, но начинают работать в периодическом режиме с определенным периодом, если
напряжение выше критического. Примеров таких автоколебательных процессов великое
множество. В физике и химии это периодические реакции. В живой природе к таковым
относятся все биологические ритмы.
Важный класс явлений пространственновременной самоорганизации — так называемые автоволны
(термин предложен Р. В. Хохловым). Наиболее известный и в то же время яркий пример -
распространение импульса по нервному волокну. В двухмерной и трехмерной средах (например,
в сердечной мышце) это же явление выглядит еще ярче и богаче: тут могут образовываться
спиральные волны, тороидальные структуры, концентрические волны и т. п. Здесь, как и в
предыдущих случаях, явление исчезает (или возникает) при медленном изменении параметров
активной среды.
Особый класс явлений самоорганизации — самопроизвольное возникновение хаоса, а из
хаоса — регулярной структуры. Это мы обсудим позже и более детально в связи с генерацией
информации.

Структура и хаос
Понятие структуры, основное для всех наук, занимающихся теми или иными аспектами
процессов самоорганизации, при любой степени общности предполагает некую «жесткость»
объекта — способность сохранять относительную тождественность самому себе при различных
внешних и внутренних изменениях.
Интуитивно понятие структуры противопоставляется понятию хаоса как состоянию,
полностью лишенному всякой структуры. Однако, как показал более тщательный анализ, такое
представление о хаосе столь же неверно, как представление о физическом вакууме в теории
поля как о пустоте: хаос может быть различным, обладать разной степенью упорядоченности,
разной структурой.
Одним из сенсационных открытии было обнаружение Лоренцом [2] сложного поведения
сравнительно простой динамической системы из трех обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с квадратичными нелинейностями. При определенных значениях параметров
траектория системы вела себя столь запутанным образом, что внешний наблюдатель мог бы
принять ее характеристики за случайные.
Природа странного аттрактора Лоренца была изучена совместными усилиями физиков и
математиков. Как и в случае многих других моделей Х-теории, выяснилось, что система
Лоренца описывает самые различные физические ситуации — от тепловой конвекции в атмосфере
до взаимодействия бегущей электромагнитной волны с инверсно-заселенной двухуровневой
средой (рабочим телом лазера), когда частота волны совпадает с частотой перехода [24]. Из
экзотического объекта странный аттрактор Лоренца оказался довольно быстро низведенным до
положения заурядных «нестранных» аттракторов — притягивающих особых точек и предельных
циклов. От него стали уставать: легко ли обнаруживать странные аттракторы буквально на
каждом шагу!
Но в запасе у странного аттрактора оказалась еще одна довольно необычная характеристика,
оказавшаяся полезной при описании фигур и линий, обойденных некогда вниманием Евклида, -
так называемая фрактальная размерность.

* Можно дать третье определение: синергетика — наука о неожиданных явлениях. Это
определение не противоречит, а скорее дополняет предыдущие. Действительно, все
перечисленные явления на первый взгляд неожиданны. При низкой температуре подогрева
ячеек Бенара не было, а при увеличении ее структура «вдруг» появилась. То же можно
сказать об автоколебаниях: ритмический режим появляется «вдруг» при медленном
плавном и монотонном изменении параметров. Можно сказать, что любое качественное
изменение состояния системы (или режима ее работы) производит впечатление
неожиданного. При более детальном анализе выясняется, конечно, что ничего
«неожиданного» в этом нет. «Причиной» неожиданного, как правило, оказывается
неустойчивость.
Анализ, вскрывающий причину неожиданного явления, и составляет предмет
синергетики.
Метод (или математический аппарат), который используется в синергетике,- это теория
динамических систем.

Сам метод не нов, он развивается в физике и математике почти столетие. Более того,
явления, о которых шла речь выше, также изучались давно. Таким образом, само слово
«синергетика» не привнесло в науку ни нового предмета, ни нового метода. Тем не менее
недавно произошло формирование синергетики как цельного научного направления, и это
явление также закономерно (как и все синергетические явления). Польза его в том, что
объединились на базе общих интересов и общего метода ученые, работающие в самых различных
областях химии, физики, биологии и других наук.
Математический метод синергетики, т. е. теория динамических систем, основан на
дифференциальных уравнениях вида
(5)
где Ui — динамические переменные(например концентрации реагирующих веществ);Fi(Ui) -
функции (в общем случае нелинейные), описывающие их взаимодействие в данной точке
пространства;
тi — характерные времена изменения переменных Ui. Слагаемое Di*delta(Ui) описывает
распространение динамических переменных Ui в пространстве, в частности их диффузию (Di -
коэффициенты диффузии). Уравнения (5) называют также уравнениями реакции с диффузией,
поскольку они, в частности, описывают изменения концентраций веществ во времени и
пространстве с учетом их диффузии и химических реакций. Принимают, что процессы,
описываемые уравнениями (5), протекают в ограниченном пространстве — либо одномерном
(реакции в трубке длиной L), либо двухмерном (реакции в пленке шириной порядка L), либо в
трехмерном (реакции в сосуде, размеры которого порядка L). В частном случае, когда все
динамические переменные распределены в пространстве равномерно, мы имеем систему
обыкновенных дифференциальных уравнений:
(6)
Последнее имеет место, если «длины диффузии»
превышают пространственные размеры L системы. Уравнения (6),
именуемые также точечными, хотя и проще уравнений (5), тем не менее описывают многие
неожиданные и интересные явления.
Уравнения (5) и/или (6) являются динамическими, т. е. их решения, вообще говоря,
однозначно определяются на-чальными и граничными условиями и, разумеется, свойствами и
параметрами самих уравнений. Казалось бы, в такой ситуации ничего неожиданного быть не
должно. Тем не менее характерные для синергетики неожиданности здесь возникают в случае,
когда решения динамических уравнений теряют устойчивость.

Из чего состоит синергетика
За последние тридцать лет физика сумела понять, что упорядоченность образуется в
открытых системах находящихся в неравновесном состоянии.
Открытая система — это система обменивающаяся веществом, энергией и информацией с
окружающей средой.
Теория выявила свойства открытых систем, находящихся вдали от равновесного состояния:
Они оказываются неустойчивыми и возврат к начальному состоянию является необязательным. В
некоторой точке, называемой бифуркацией (разветвлением), поведение системы становится
неоднозначным.
При наличии неустойчивости изменяется роль внешних воздействий. В определенных
условиях ничтожно малое воздействие на открытую систему может привести к значительным
непредсказуемым последствиям (раскрытие неустойчивости).
В открытых системах, далеких от равновесия, возникают эффекты согласования, когда
элементы системы коррелируют свое поведение на макроскопических расстояниях через
макроскопические интервалы времени. Такое кооперативное, согласованное поведение
характерно для систем различных типов: молекул, клеток, нейронов, отдельных особей и т.д.
В результате согласованного взаимодействия происходят процессы упорядочения,
возникновения из хаоса определенных структур, их преобразования и усложнения. Чем больше
отклонение от равновесия, тем больший охват корреляциями и взаимосвязями, тем выше
согласованность процессов, даже протекающих в отдаленных областях и, казалось бы, не
связанных друг с другом. Сами процессы характеризует нелинейность, наличие обратных
связей и связанные с этим возможности управляющего воздействия на систему.
Теория состояний, далеких от равновесия, возникла в результате синтеза трех направлений
исследований:
1. Разработка методов описания существенно неравновесных процессов на основе
статистической физики. В рамках этого направления создаются кинетические модели,
определяются параметры, необходимые для описания, выявляются корреляции, крупномасштабные
флуктуации, устанавливаются закономерности перехода в состояние равновесия.
2. Разработка термодинамики открытых систем, изучение стационарных состояний,
сохраняющих устойчивость в определенном диапазоне внешних условий, поиск условий
самоорганизации, т. е. возникновения упорядоченных структур из неупорядоченных. Было
показано, что процессы диссипации энергии являются необходимым условием самоорганизации
(поэтому возникающие структуры получили название диссипативных).
3. Определение качественных изменений решений нелинейных дифференциальных уравнений,
определяющих состояния далекие от равновесия, в зависимости от входящих параметров. Этот
раздел математики получил название теории катастроф. С ее помощью описываются
качественные перестройки общей структуры решений — катастрофы, определяются границы
устойчивости и изменения структуры состояний.
Синтез этих трех направлений дал новую область знаний, занимающуюся описанием
состояний, далеких от равновесия. С ее помощью удалось сформулировать общий подход к
целой совокупности явлений природы и общества. Ее называют по-разному: синергетика,
теория открытых систем, теория диссипативных структур, термодинамика необратимых
процессов. Есть названия, связанные со свойствами неустойчивости, нелинейности.

Бифуркация — изменение числа и устойчивости решений уравнения.
«Исторический подход» теории бифуркаций
Одним из основных инструментов современной нелинейной динамики является теория
бифуркаций.
Чтобы придать конкретный смысл понятию «бифуркация», надо понять, чем «одно» отличается
от «другого» (того, что возникло после). Для простых моделей эти отличия удается
выделить, их анализ для многих сложных систем — нерешенная проблема [52]. В чем-то
обсуждение этих проблем «нелинейщиками» напоминает дискуссии историков об укладах,
формациях, классах, «европейском» и «азиатском» пути развития. Наверное, оно похоже на
поединок Геракла с Антеем, в котором последний утратил силу и мощь, оторвавшись от
надежной почвы.
Характерный пример, демонстрирующий пользу «вымышленных параметров», перехода от
одного класса объектов к более широкому классу систем, связан с анализом сценариев
перехода от порядка к хаосу. Одним из наиболее интересных и сложных сценариев,
обнаруженных к настоящему времени, является разрушение инвариантных торов. Принципиальной
моделью в этой теории является отображение
(1)
Компьютерное исследование этой модели позволило обнаружить много странных свойств этого
объекта. Эти свойства удалось понять и объяснить, только рассмотрев более широкое
семейство
(2)
и введя «вымышленный» параметр b. (Семейство отображений (2) переходит в семейство (1)
при b=0.)

Кинетика существенно неравновесных состояний
Исходным пунктом для данной области исследований явилась классическая кинетика
процессов в газах, начатая работами Дж. Максвелла и Л. Больцмана. Затем произошло
расширение области исследования на слабонеравновесные системы в различных средах и
условиях. С 1950 года началось широкое изучение систем, находящихся далеко от состояния
равновесия из-за действия сильных полей и жестких излучений различной природы. На сцену
вышел качественно новый фактор — квантованность энергетических состояний молекул. Ранее,
по существу, рассматривалось только поступательное движение бесструктурных частиц. При
сильном отклонении от равновесного состояния возбуждение охватывает различные степени
свободы молекул — вращательные, колебательные, электронные. Возникает необходимость
детального учета квантовой структуры вещества. В этих условиях частицы уже нельзя считать
бесструктурными, а нужно рассматривать их эволюцию в фазовом пространстве многих степеней
свободы.
Свойства атомов и молекул в различных энергетических состояниях различны. За счет
неравновесных процессов происходит быстрое перераспределение заселенностей по большому
числу термов и неизвестно какой из них окажется в данной конкретной системе наиболее
реакционноспособным. Поэтому реакция существенно неравновесной системы на внешнее
воздействие может быть неожиданной. Примером может служить диссоциация многоатомных
молекул (ангармонических осцилляторов) при охлаждении газа в условиях накачки энергии.
Этот эффект использовался для получения свободных атомов при низких температурах, что
сыграло существенную роль в разработке химических лазеров. Другим примером нетривиального
поведения существенно неравновесной системы является кратковременное охлаждение
углекислого газа при резонансном поглощении излучения молекулой CО2.
В данном случае принципиально то, что при рассмотрении открытых систем, внешние
параметры играют роль регуляторов, с помощью которых можно управлять процессами. Очень
существенным моментом является то, что энергетические затраты на управление с помощью
этих регуляторов намного меньше, чем требуется для достижения того же эффекта в
равновесных условиях. Причем эффективность воздействия зависит от степени неравновесности
системы.
В ряде случаев элементы системы начинают действовать в неравновесных условиях
согласованно, обнаруживая свойства, не присущие отдельной частице. Эти общие свойства
получили название когерентных или кооперативных свойств. При приближении системы к
состоянию равновесия сначала разрушаются когерентные связи, а затем уже связи,
определяемые энергетическими заселенностями. Когерентность определяется возникновением
корреляций (взаимосвязей и взаимозависимостей) между частицами. Математически это
выражается необходимостью рассмотрения функции распределения не одной частицы, а
нескольких взаимодействующих. Н.Н. Боголюбов разработал единый подход рассмотрения всей
совокупности функций распределения — цепочек уравнений для последовательных функций
увеличивающегося числа взаимодействующих частиц. Этот метод назван цепочками ББГКИ, по
имени ученых, внесших основной вклад в их разработку: Н.Н. Боголюбов, М. Борн, Х. Грин,
И. Кирквуд, И. Ивон. Так функция n переменных учитывает корреляции n частиц. Если
масштаб корреляции уменьшается и взаимодействуют только (n-1) частиц, то переходят к
функции. При сглаживании неравновесности (переходе к состоянию равновесия) корреляции
разрушаются, сокращается набор функций, необходимых для описания поведения системы, а
сами функции зависят от все меньшего числа частиц. В пределе остаются лишь одночастичные
функции распределения, уравнения которых составляют основу обычной кинетики.
Метод цепочек ББГКИ имел исключительно большое значение в неравновесной
статистической физике. Это был, по существу, новый подход к проблеме необратимости. В
замкнутой системе уравнения динамики (классической или квантовой) обратимы, т. е. замена
t на -t их не меняет. При обрыве цепочки, когда нарушается корреляция высших порядков,
возникает необратимость. В этом случае четко видна причина необратимости. Разрушение
корреляции может быть вызвано внешним воздействием. Но чем больше и упорядоченной
система, тем выше масштаб корреляций. Это означает, что они действуют между большим
числом частиц, на больших расстояниях и в течение большого промежутка времени.
Следовательно, нужно меньшее воздействие для нарушения такой сложной корреляции. А так
как абсолютно изолированных систем нет, то необратимость нашего мира заложена в природе
вещей в силу всеобщей связи.

Неравновесная термодинамика открытых систем
Открытые системы. Неравновесная термодинамика
Неравновесная термодинамика открытых систем
Неравновесная термодинамика открытых систем изучает существенно неравновесные
процессы. В их описании ключевую роль играет понятие возрастания энтропии системы за счет
процессов, происходящих внутри нее. Такой подход привел к новому взгляду на привычные
понятия. Выдающаяся роль в развитии данного научного направления принадлежит И.Р.
Пригожину, удостоенному за свои работы Нобелевской премии в 1977 году [8-10]. Большой
вклад внесли также Л. Берталанфи, Л. Онзагер, Л.И. Мандельштам, М.А. Леонтович, М. Эйген,
Г. Хакен [11-15].
Открытые системы, в которых наблюдается прирост энтропии, получили название
диссипативных. В таких системах энергия упорядоченного движения переходит в энергию
неупорядоченного хаотического движения, т.е. в тепло. Если замкнутую систему вывести из
состояния равновесия, то в ней начнутся процессы, возвращающие ее к состоянию
термодинамического равновесия, в котором ее энтропия достигает максимального значения. Со
временем степень неравновесности будет уменьшаться, однако, в любой момент времени
ситуация будет неравновесной. В случае открытых систем отток энтропии наружу может
уравновесить ее рост в самой системе. В этих условиях может возникнуть и поддерживаться
стационарное состояние. Такое состояние Берталанфи назвал текущим равновесием. По своим
характеристикам текущее равновесие может быть близко к равновесным состояниям. В этом
случае производство энтропии минимально (теорема Пригожина). Если же отток энтропии
превышает ее внутреннее производство, то возникают и разрастаются до макроскопического
уровня крупномасштабные флуктуации.
При определенных условиях в системе начинает происходить самоорганизация — создание
упорядоченных структур из хаоса. Эти структуры могут последовательно переходить во все
более сложные состояния. Такие образования в диссипативных системах Пригожий назвал
диссипативными структурами.

ОТКРЫТЫЕ СИСТЕМЫ.НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
Перейдем ко второму направлению анализа состояний, далеких от равновесия. Оно связано
с исследованием свойств открытых систем, с обобщением на существенно неравновесные
процессы понятий классической термодинамики, рассматривавшей лишь медленно протекающие
квазиравновесные процессы. Этот подход, особенно интенсивно начавший развиваться в 50-е
годы, привел к пересмотру целого ряда привычных и установившихся понятий. Большой вклад в
развитие термодинамики открытых систем, обменивающихся с внешним миром веществом и
энергией, внесли Л. Берталанфи, Л. Онзагер, Л. И. Мандельштам, М. А. Леонтович, М. Эйген
и особенно И. Р. Пригожин. Сама же термодинамика как наука о закономерностях превращения
энергии зародилась в середине прошлого века. Первоначально объектом исследования были
тепловые машины, в дальнейшем — электрические и электромагнитные явления.
В основе термодинамики лежат 2 закона, относящиеся к свойствам энергии и энтропии
системы:
1. согласно первому энергия сохраняется в любых процессах. Возрастание внутренней
энергии системы складывается из подведенной к системе теплоты и работы ,
совершенной над системой

Энтропия S является аддитивной функцией состояния системы; она равна сумме энтропий ее
подсистем. Если в систему поступает теплота при температуре Т, то энтропия 5 системы
увеличивается на

2. согласно второму закону термодинамики энтропия замкнутой системы может только
оставаться неизмен-ной или возрастать: . Сохраняясь, подобно энергии, в обратимых
процессах, энтропия возрастает в необратимых процессах. Тем самым с помощью энтропии
задается направленность процесса. Так, при передаче тепла от тела с температурой к
телу с температурой изменение энтропии положительно,

Тепловая энергия переходит от нагретого тела к более холодному.
Энергия любого вида, выработанная для производства полезной работы, в конечном счете
диссипирует, рассеивается в виде тепла. Диссипация — неизбежный переход энергии в менее
работоспособную форму — сопровождает любой реальный термодинамический процесс. И рано или
поздно изолированная система приходит в состояние равновесия, соответствующее
максимальному значению энтропии. Поэтому с точки зрения классической термодинамики
существование мира носит эпизодический характер гигантской флуктуации. Мир имеет свое
начало и неизбежно заканчивается хаосом, «тепловой смертью».
Макроскопические свойства термодинамических систем характеризуют энтропия S, объем V,
температура Т и давление Р, любые два из этих параметров неза-висимы. Состояние системы
описывается с помощью термодинамических функций, или потенциалов, определяемых своей
парой параметров: внутренней энергией U(S, V), свободной энергией F(Т, V), энтальпией
Н(S, Р), термодинамическим потенциалом G(T, Р). Эти функции дают возможность получать
соотношения между различными физическими свойствами системы, формулировать условия
устойчивости термодинамических систем. В равновесном состоянии термодинамические
потенциалы обладают свойствами минимальности по отношению к произвольно малым отклонениям
от равновесия при фиксированных значениях независимых термодинамических переменных.
В классической термодинамике рассматриваются обратимые равновесные процессы,
протекающие настолько медленно, что на каждом их этапе достигается равновесие.
Современная термодинамика открытых систем изучает существенно неравновесные процессы. В
их описании ключевую роль играет понятие возрастания энтропии системы за счет процессов,
происходящих внутри нее. Энтропия возрастает в системе при протекании любых неравновесных
процессов. Скорость ее роста только в идеализированном случае строго
равновесного процесса). Прирост энтропии в открытой системе в единицу времени в единице
объема носит название функции диссипации, а системы, в которых функция диссипации отлична
от нуля, получили название диссипативных. В таких системах энергия упорядоченного
процесса переходит в энергию неупорядоченного процесса, в конечном счете — в тепло.
Типичными примерами служат механические системы с силами трения, когда полная
механическая энергия переходит в теплоту, колебания тока в электрическом контуре с
выделением энергии на омическом сопротивлении, колебания груза на пружине, движение воды
в трубе. В земных условиях практически все системы из-за неизбежных сил сопротивления
оказываются диссипативными.
При наличии связи между двумя системами может возникать поток энтропии из одной системы в
другую, направление которого определяется значениями термодинамические потенциалов. Здесь
и проявляется качественное отличие открытых систем от изолированных. В изолированной
системе ситуация остается неравновесной, и процессы идут до тех пор, пока энтропия не
достигнет максимума. Для открытых систем отток энтропии наружу может уравновесить ее рост
в самой си-стеме. При этих условиях может возникнуть и поддерживаться стационарное
состояние.
Стационарное состояние в открытой системе Л. Берталанфи назвал текущим равновесием.
Эти состояния исключительно разнообразны. По своим характеристикам они могут быть близки
к равновесным. В этом случае функция диссипации имеет минимум, и рост энтропии
оказывается меньше, чем в других близких состояниях. Они могут быть неустойчивыми или
условно устойчивыми (устойчивыми к малым и неустойчивыми к большим воздействиям). При
наличии неустойчивостей понятие изолированности, неизбежно связанной с идеализацией
реальной системы, теряет смысл. Даже на малые воздействия отклик может стать
существенным, и любая система должна рассматриваться как открытая.
При определенных условиях суммарное уменьшение энтропии за счет обмена потоками с
внешней средой может превысить ее внутреннее производство. Появляется неустойчивость
предшествующего неупорядоченного однородного состояния. Возникают и возрастают до
макроскопического уровня крупномасштабные флуктуации.

Диссипативные системы
Диссипативные системы (И.Пригожин)
Диссипативные структуры (В.И.Коротков)

Диссипативная структура, характеризуется нарушением симметрии, множественными выборами и
корреляциями в макроскопических масштабах.
Диссипативные системы
(www.chat.ru/~cuirt/synergetics.htm)
Открытые системы, в которых наблюдается прирост энтропии, называют диссипативными. В
таких системах энергия упорядоченного движения переходит в энергию неупорядоченного
хаотического движения, в тепло. Если замкнутая система (гамильтонова система), выведенная
из состояния равновесия, всегда стремится вновь придти к максимуму энтропии, то в
открытой системе отток энтропии может уравновесить ее рост в самой системе и есть
вероятность возникновения стационарного состояния. Если же отток энтропии превысит ее
внутренний рост, то возникают и разрастаются до макроскопического уровня крупномасштабные
флюктуации, а при определенных условиях в системе начинают происходить
самоорганизационные процессы, создание упорядоченных структур.
При изучении систем, их часто описывают системой дифференциальных уравнений.
Представление решения этих уравнений как движения некоторой точки в пространстве с
размерностью, равной числу переменных называют фазовыми траекториями системы. Поведение
фазовой траектории в смысле устойчивости показывает, что существует несколько основных
его типов, когда все решения системы в конечном счете сосредотачиваются на некотором
подмножестве. Такое подмножество называется аттрактором. Аттрактор имеет область
притяжения, множество начальных точек, таких, что при увеличении времени все фазовые
траектории, начавшиеся в них стремятся именно к этому аттрактору.
Основными типами аттракторов являются:
* устойчивые предельные точки
* устойчивые циклы (траектория стремится к некоторой замкнутой кривой)
* торы (к поверхности которых приближается траектория)
Движение точки в таких случаях имеет периодический или квазипериодический характер.
Существуют также характерные только для диссипативных систем так называемые странные
аттракторы, которые, в отличие от обычных не являются подмногообразиями фазового
пространства (точка, цикл, тор, гипертор — являются) и движение точки на них является
неустойчивым, любые две траектории на нем всегда расходятся, малое изменение начальных
данных приводит к различным путям развития. Иными словами, динамика систем со странными
аттракторами является хаотической.
Уравнения, обладающие странными аттракторами вовсе не являются экзотическими. В
качестве примера такой системы можно назвать систему Лоренца, полученную из уравнений
гидродинамики в задаче о термоконвекции подогреваемого снизу слоя жидкости.
Замечательным является строение странных аттракторов. Их уникальным свойством
является скейлинговая структура или масштабная самоповторяемость. Это означает, что
увеличивая участок аттрактора, содержащий бесконечное количество кривых, можно убедиться
в его подобии крупномасштабному представлению части аттрактора. Для объектов, обладающих
способностью бесконечно повторять собственную структуру на микроуровне существует
специальное название — фракталы.
Для динамических систем, зависящих от некоторого параметра, характерно, как правило,
плавное изменение характера поведения при изменении параметра. Однако для параметра может
иметься некоторое критическое (бифуркационное) значение, при переходе через которое
аттрактор претерпевает качественную перестройку и, соответственно, резко меняется
динамика системы, например, теряется устойчивость. Потеря устойчивости происходит, как
правило, переходом от точки устойчивости к устойчивому циклу (мягкая потеря
устойчивости), выход траектории с устойчивого положения (жесткая потеря устойчивости),
рождение циклов с удвоенным периодом. При дальнейшем изменении параметра возможно
возникновение торов и далее странных аттракторов, то есть хаотических процессов.
Здесь надо оговорить, что в специальном смысле этого слова хаос означает нерегулярное
движение, описываемое детерминистическими уравнениями. Нерегулярное движение
подразумевает невозможность его описания суммой гармонических движений.

Диссипативные системы (И.Пригожин)
Кроме консервативных систем, изучаемых в классической механике, нам нужно рассмотреть
также системы, приводящие к необратимым процессам. Простейшим примером такого рода могут
служить системы с трением.
Важная роль трения, представляющего собой особую форму диссипативного процесса, была
осознана задолго до создания классической механики. Когда Аристотель высказал
предположение, что все подлунные динамические системы в общем случае стремятся к
равновесию, на самом деле он выражал идею о том, что нечто вроде «трения» должно
замедлять движение. В этом плане классический принцип инерции, отражающий основную роль
ускорения, а не скорости, соответствует некоторой идеализации, возникающей в результате
пренебрежения трением.
Начиная с работ Фурье и Клаузиуса, в XIX в. возрос интерес к диссипативным системам,
приводящим к необратимым процессам. Это было довольно естественно с учетом происходившей
тогда промышленной революции. Однако по той же причине диссипацию рассматривали тогда
лишь в связи с исчерпанием доступной энергии.
Интересно, что один из великих древнегреческих философов,. Платон, был глубоко
убежден в том, что как постоянство, так и изменчивость являются составными частями
реальности. Однако в XIX в. возникла конфликтная ситуация. Так, в физике необратимость и
диссипация воспринимались как некоторая деградация, а, с другой стороны, биологическая
эволюция, очевидно, также являющаяся необратимым процессом, ассоциировалась. с
возрастанием сложности. Возможно, благодаря своему технологическому значению механика
жидких сред исторически оказалась первой областью, в которой была полностью осознана
решающая роль диссипативных процессов. Однако, по мере того как постепенно утверждалась
молекулярная концепция строения вещества, аналогичная тенденция получила развитие в
науке, химической кинетике, теории броуновского движения и различных типах транспортных
явлений. Сегодня уже общепризнано, что диссипативные системы представляют собой весьма
широкий и важный класс естественных систем.
Ярче всего различие между консервативными и диссипативными системами проявляется при
попытке макроскопического описания последних, когда для определения мгновенного состояния
системы используются такие коллективные переменные, как температура, концентрация,
давление, конвективная скорость и т. д. При рассмотрении уравнений, управляющих
поведением этих переменных, выясняется следующая их важная особенность: они не
инвариантны относительно операции обращения времени в отличие от уравнений
и .

На этой основе можно ожидать, что чередование соответствующих событий будет необратимым.
Эта ситуация удивительно ярко иллюстрируется на примере химической реакции. Рассмотрим
процесс, описываемый уравнением . Скорость расходования частиц типа А
пропорциональна частоте встреч молекул типов А и В, которая в случае разбавленных систем
пропорциональна произведению их концентраций. Таким образом, имеем
(1)
Очевидно, при обращении времени (t’=-t) и введении обозначений , для концентраций
в зависимости от времени уравнение (1) принимает вид:

Теперь это уравнение описывает процесс, в котором вещество типа А не расходуется, а
производится. Разумеется, такой процесс неэквивалентен описываемому уравнением (1).
В качестве дальнейших примеров диссипативных процессов можно рассмотреть теплопроводность
и диффузию. Как показывает эксперимент, если в однородной жидкости возникает небольшая
неоднородность, то такое возмущение со временем расплывается и постепенно исчезает.
Аналогичная одонозначно направленная эволюция наблюдается в случае небольшого изменения
температуры, внесенного быстро и локально в изотермическую жидкость. Количественное
описание этих явлений, блестяще согласующееся с опытными данными, дается следующими
уравнениями, называемыми соответственно уравнением Фика и уравнением Фурье:
(2)
(3)
где с-концентрация некоторого вещества, растворенного в жидкости, Т- температура, D -
массовый коэффициент диффузии н х-коэффициент температуропроводности. При обращении
времени мы опять получаем совершенно другие законы:

Согласно этим уравнениям, начальное возмущение температуры или концентрации будет не
затухать, а возрастать.
Как концентрация, так и температура являются примерами «четных» переменных, поскольку
знак этих переменных при обращении времени не меняется. Напротив, импульс частиц или
конвективная скорость жидкости являются «нечетными» переменными, поскольку они являются
производными по времени от переменных типа координаты и меняют знак при обращении
времени. Это приводит к следующему общему свойству уравнения эволюции диссипативной
системы. Обозначим полный набор макроскопических переменных такой системы .
Эволюция этих переменных во времени будет описываться системой уравнений:

Здесь функции Fi могут сколь угодно сложным образом зависеть от переменных Х и их
пространственных производных и явным образом-от пространственных координат r и времени
t. Тогда, если мы совершим операцию обращения времени t’= -t в диссипативной
системе, то по меньшей мере одна из функций скоростей , соответствующая четной
переменной должна содержать инвариантную часть, в то время как функция скорости
, соответствующая нечетной переменной , должна содержать часть, меняющую знак при
обращении времени. Примеры функций скоростей первого класса дают правые части уравнений
(1)-(3), примером же второго класса является вклад вязкости в уравнение баланса импульса
жидкости, участвующей в конвективном движении.
Как и в случае консервативных систем, для диссипативных систем также можно ввести
удобное фазовое пространство. Оно включает в себя ансамбль имеющихся переменных и поэтому
становится бесконечномерным пространством в случае непрерывной среды, где различные
характеристики являются пространственно распределенными величинами [см. уравнения (2) и
(3)]. Поэтому удобнее всего работать с фазовым пространством, когда оно содержит
дискретное число переменных, и в особенности когда это число конечно и, желательно,
невелико.

Рис. 1. Представление диссипативной системы в фазовом пространстве,
а — система, описываемая одной переменной в соответствии с уравнением (1),
б-система с двумя переменными, уравнение (5).
Например, в случае уравнения (1) фазовое пространство сводится к линии, на которой и
находится фазовая траектория (рис. 1, а). Менее тривиальным примером является химическая
реакция, описываемая следующей кинетической схемой:
(4)
Соответствующие кинетические уравнения имеют вид
(5)
Фазовые траектории для такой системы показаны на рис. 1, б. Полезно иметь в виду, что
некоторые диссипативные системы можно преобразовать к консервативному виду и привести их
к гамильтоновой форме. Примером может служить знаменитый механизм Лотки-Вольтерра
(6)
В этой системе имеется некоторый нетривиальный интеграл движения, играющий роль
«гамильтониана». И все же, несмотря на свой кажущийся консервативный характер, эта
система неинвариантна относительно обращения времени, поскольку обе переменные Х и Y
являются положительными. Поэтому нет смысла приписывать им свойства, аналогичные импульсу
в клас-сической механике, что необходимо для такой инвариантности.
Пока еще не рассматривался вопрос о связи между диссипативными и консервативными
системами, а также вопрос о возможности перехода от одного описания к другому.

Диссипативные структуры
Диссипативные структуры являются результатом развития собственных внутренних
неустойчивостей в системе. Процессы самоорганизации возможны при обмене энергией и массой
с окружающей средой, т. е. при поддержании состояния текущего равновесия, когда потери на
диссипацию компенсируются извне. Эти процессы описываются нелинейными уравнениями для
макроскопических функций.
Диссипативные структуры можно разделить на:
* временные
* пространственные
* пространственно-временные
Примерами временных структур являются периодические, колебательные и волновые
процессы. Типичными примерами пространственных структур являются: переход ламинарного
течения в турбулентное, переход диффузионного механизма передачи тепла в конвективный.
Характерные примеры: турбулентность, ячейки Бенара и сверхрешетка пор.
Развитие турбулентности начинается при достижении числом Рейнольдса критического
значения. Ламинарное течение становится неустойчивым, возникают стационарные колебания
скорости движения, затем более сложное движение до, все увеличивающимся числом
характерных частот. Это чрезвычайно сложное квазипериодическое движение иногда называют
динамическим хаосом.
Примерами пространственно-временных структур являются режим генерации лазера и
колебательные химические реакции. Возникновение когерентного излучения в лазере
происходит при достижении мощности накачки (подводимой энергии) порогового значения.
Атомы или молекулы рабочего тела лазера, излучавшие до этого независимо друг от друга,
начинают испускать свет согласованно, в одной фазе.
Фазовый переход в физике означает скачкообразное изменение физических свойств при
непрерывном изменении внешних параметров. Неравновесный фазовый переход определяется
флуктуациями. Они нарастают, увеличивают свой масштаб до макроскопических значений.
Возникает неустойчивость и система переходит в упорядоченное состояние. Неравновесные
фазовые переходы различной природы имеют общие характеристики. Прежде всего, упорядочение
связано с понижением симметрии, что обусловлено появлением ограничений из-за
дополнительных связей (корреляций) между элементами системы. Л. Д. Ландау в 1937 г.
предложил общую трактовку фазовых переходов 2-го рода как изменение симметрии. В точке
перехода симметрия меняется скачком. Также общим свойством кинетических фазовых переходов
является наличие фундаментальной макроскопической переменной, позволяющей дать единое
описание процесса упорядочения — параметра порядка. По своему физическому смыслу параметр
порядка — это корреляционная функция, определяющая степень дальнего порядка в системе.

Теория катастроф (Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивость и
катастрофы в науке и технике; Арнольд В.И.Терия катастроф)
Теория катастроф (Шелепин Л.А. Вдали от равновесия)
Теория катастроф
Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике
Арнольд В.И. Терия катастроф
Возникновение диссипативных структур носит пороговый характер. Неравновестная
термодинамика связала пороговый характер с неустойчивостью, показав, что новая структура
всегда является результатом раскрытия неустойчивости в результате флуктуаций. Можно
сказать о «порядке через флуктуации». С математической точки зрения, неустойчивость и
пороговый характер самоорганизации связаны с нелинейностью уравнений. Для линейных
уравнений существует одно стационарное состояние, для нелинейных — несколько. Таким
образом, пороговый характер самоорганизации связан с переходом из одного стационарного
состояния в другое.
Потеря системой устойчивости называется катастрофой. Точнее, катастрофа — это
скачкообразное изменение, возникающее при плавном изменении внешних условий.
Математическая теория, анализирующая поведение нелинейных динамических систем при
изменении их параметров, называется теорией катастроф.
Основой теории катастроф является новая область математики — теория особенностей
гладких отображений, являющаяся далеким обобщением задач на экстремум в математическом
анализе. Начало было положено в 1955 г. американским математиком Г.Уитни. После работ
Р.Тома (давшего теории название) началось интенсивное развитие как самой теории
катастроф, так и ее многочисленных приложений. Значение элементарной теории катастроф
состоит в том, что она сводит огромное многообразие ситуаций к небольшому числу
стандартных схем, которые можно детально исследовать раз и навсегда.
Различают 7 канонических катастроф для функций одной или двух переменных и числа
управляющих параметров, не превышающих 5.
Траектория нелинейной динамической системы в многомерном фазовом пространстве ведет
себя необычным образом. При определенных условиях существует область, которая притягивает
к себе все траектории из окрестных областей. Она была названа «странным аттрактором»
Лоренца. Попадая в нее сколь угодно близкие траектории расходятся и имеют очень сложную и
запутанную структуру. В странном аттракторе Лоренца выбранное наугад решение будет
блуждать и со временем пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора. По топологии
странный аттрактор представляет собой, так называемое, фрактальное множество,
характеризующееся дробной размерностью. Быстрое расхождение двух близких в начальный
момент времени траекторий означает очень большую чувствительность решений к малому
изменению начальных условий. Этим обусловлена большая трудность или даже невозможность
долгосрочного прогноза поведения нелинейных динамических систем.
Теория катастроф определяет область существования различных структур, границы их
устойчивости. Для изучения же динамики систем необходимо знать каким именно образом новые
решения уравнений «ответвляются» от известного решения. Ответ на такие вопросы дает
теория бифуркаций (разветвлений), то есть возникновения нового решения при критическом
значении параметра. Момент перехода (катастрофический скачок) зависит от свойств системы
и уровня флуктуаций.
В реальных условиях при углублении неравновесности в открытой системе возникает
определенная последовательность бифуркаций, сопровождающаяся сменой структур. Типичным
примером такого сценария является развитие турбулентности с чередующимися типами все
более усложняющихся движений. Состояние системы в момент бифуркации является неустойчивым
и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути. Финальным
состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.
Иллюстрацией перехода к нему является логистическое уравнение:
Xn+1=CXn(1-Xn)
Для наглядности рассмотрим биологическую трактовку этого уравнения: изолированно живет
популяция особей нормированной численностью Xn . Через год появляется потомство
численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения — CXn
где коэффициент с определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль (за
счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом -
(CXn)^2. Зависимость численности популяции от параметра с приведена на рисунке.

Линии показывают значения Xn при больших n.
При с < 1 популяция с ростом n вымирает.
В области 1 < с < 3 численность популяции приближается к постоянному значению X0=1-1/C .
Это область стационарных решений.
Затем в диапазоне 3 < с < 3.57 появляются бифуркации, разветвление кривых на две.
Численность популяции колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала
популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год
численность снова становится малой. Далее происходит перекрывание областей различных
решений, и поведение системы становится хаотическим. Динамические переменные Xn принимают
значения сильно зависящие от начальных. При расчетах на компьютере для близких начальных
значений с решения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными,
так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере. М.Фейгенбаум
установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении
периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических,
гидродинамических, химических и т.д. систем. Наряду с последовательностями удвоений
периода (каскадами Фейгенбаума) имеются другие пути перехода к хаосу, когда, например,
длительные периоды упорядоченного движения чередуются со вспышками беспорядка.

Теория катастроф
Шелепин Л.А. Вдали от равновесия
Третье основополагающее направление в теории состояний, далеких от равновесия,
связано с анализом качественного поведения нелинейных динамических систем при изменении
описывающих их параметров. Его основой является новая область математики — теория
особенностей гладких отображений, сформировавшаяся на стыке топологии и математического
анализа и получившая еще одно, более образное наименование — теория катастроф. В этой
теории для анализа свойств систем дифференциальных уравнений уже не требуется
предварительно находить полное множество решении. Дело в том, что для сложных систем
знание всех точных решений избыточно: в реальных условиях они меняются за счет
флуктуаций, и мы не получаем от этого знания нужной информации.
Первые результаты, связанные с качественным изучением поведения решений систем
дифференциальных уравнений, были получены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым почти 100 лет
тому назад. Значительный вклад в развитие их идей внесли А. А. Андронов и Л. С.
Понтрягин, которые ввели понятие грубости. т. е. структурной устойчивости системы. Но
только с 50-х годов, после работ Р. Тома, началось интенсивное развитие как самой теории
катастроф, так и ее многочисленных приложений.
Теория катастроф исследует динамические системы, составляющие широкий класс
нелинейных систем и описываемые уравнениями вида:

где Xi- переменные, характеризующие состояние системы,Ca-набор параметров задачи
(управляющие параметры). В элементарной теории катастроф рассматривается частный случай
динамических систем: предполагается, что существует потенциальная функция-аналог
потенциала электрического поля,

и что система находится в состоянии равновесия (Xi=0 ). Задача заключается в исследовании
изменений состояний равновесия Xi(Ca) потенциальной функции U(Xi,Ca) при изменении
управляющих параметров.
Элементарная теория катастроф является в известном смысле обобщением задач на минимум
и максимум в математическом анализе. Для функции одной переменной ее поведение
определяется невырожденными критическими точками — максимумами и минимумами. Эти точки
соответствуют равенству нулю первой производной при второй производной, отличной от нуля.
Сама функция в окрестности невырожденной критической точки может быть приведена к виду

подходящей гладкой (т. е. имеющей производные любого порядка) заменой
переменных .
Аналогично в многомерном случае для критических точек, определяемых обращением в нуль
первой производной и отличным от нуля аналогом второй производной, гессианом
(детерминантом набора величии ), существует гладкая замена
переменных , в результате которой в окрестности невырожденной
критической точки потенциальная функция приводится к квадратичной форме:
.
Эта форма может быть также преобразована, к виду .
Невырожденные критические точки определяют мак-симумы, минимумы и седловые точки
различного типа и дают качественную картину поведения потенциальной функции в многомерном
случае. Так, функция напоминает рельефную карту: вершины гор и седла связаны
хребтами, имеются озерные впадины и седлообразные долины. Диагонализация дает
направления славных осей линий максимального градиента. Если рельеф наполнить водой, то
она соберется в озера, расположенные на дне долин. Минимум, который притягивает воду,
называется аттрактором. Аттракторы разделяются седлами, хребтами, вершинами, образующими
границу раздела между различными бассейнами притяжения. Типичная картина рельефа
потенциальной функции, обладающей лишь невырожденными критическими точками, представлена
на рис. 5.
Рассмотренная простая качественная картина многомерного рельефа существенно
изменяется при наличии вырожденных критических точек, для которых одно или несколько
собственных значений равно нулю. Равенство нулю возникает при некоторых
определенных значениях управляющих параметров Ca . Если с изменением величин Ca система
проходит через вырожденную критическую точку, то топография коренным образом меняется.
Вместо знакомого пейзажа с хребтами и долинами возникает качественно новая картина, т. е.
мы оказываемся как бы в совсем ином мире. И в этом смысле о переходе через особую точку
говорят как о катастрофе. При приближении к границе перехода определенные критические
точки рельефа сближаются, а затем сливаются.
Множество точек Ca, отвечающих функции с , разбивают пространство управляющих
параметров на открытые области. Каждой из этих областей соответствуют качественно
отличные рельефы. При пересечении границ, разделяющих эти области, — сепаратрисе,
являющихся геометрическим местом особенностей, происходит качественное скачкообразное
изменение — катастрофа состояний системы.

Рис. 5. Рельеф в пространстве переменных состоянии
Смысл развиваемого подхода состоит в нахождении вырожденных критических точек
(поверхностей), соответствующих качественному изменению в топографии семейств
потенциальных функций и выполнению вблизи них линейного анализа устойчивости.
В окрестности вырожденных, особых точек подходящим преобразованием координат
потенциальная функция может быть представлена в виде:

.

l переменных, соответствующих нулевым собственным значениям матрицы Uij , являются
аргументами функции катастрофы , зависящей также от B управляющих параметров.
Зависимость потенциальной функции от остальных (n-l) переменных, соответствующих отличным
от нуля собственным значениям, представляется, как и раньше, квадратичной формой.
Оказалось, что функции можно привести к определенному каноническому виду.
Классификация особенностей потенциальных функций (катастроф) была проведена В. И.
Арнольдом. Она удивительно совпала с классификацией таких как будто бы не имеющих ничего
общего с особенностями объектов, как точечные группы первого рода, характеризующие
симметрию молекул, а также оказалась связанной с правильными многогранниками в эвклидовом
пространстве и простыми группами Ли. Причины этих связей еще не поняты до конца.

Для одной или двух переменных и числа управляющих параметров, не превышающего 5,
имеется 7 типов элементарных катастроф. Для каждого типа катастроф рассматривается
поверхность, зависящая от nj переменных состояния и na управляющих параметров в
пространстве ni+na измерений. Поверхность простейшей катастрофы с одной переменной
состояния и одним управляющим параметром приведена на рис. 6, а. Она имеет вид складки на
ткани и называется катастрофой складки. Функция катастрофы в этом случае задается
канонической формой . Соответствующие кривые для фиксированных
значений параметра с приведены на рис. 6, б. При с>0 все кривые качественно подобны — они
не имеют критических точек. Все кривые с с<0 также подобны и имеют две критические точки
(рис. 6, б). Точка с=0 в пространстве управляющих параметров является сепратриссой (рис.
6, в). Катастрофы складки появляются в моделях, описыва-ющих релаксационные колебания,
триггерные схемы, нагруженные арки, различные диссипативные структуры.
Функция катастрофы сборки зависит от одной переменной
состояния и двух управляющих параметров.

Рис. 7. Катастрофа сборки. Плоскость управляющих параметров
На рис. 7 показана сепаратрисса катастрофы сборки. Она разделяет плоскость
управляющих параметров на две открытые области, представляющие функции с одной и тремя
критическими точками. Линии сепаратриссы имеют дважды вырожденные точки, а точка
пересечения — трижды вырождена. На рис. 7 изображены также потенциальные функции,
соответствующие некоторым точкам плоскости управляющих параметров.
Модели, содержащие катастрофу типа сборки, используются в механике конструкций, при
описании ряда колебательных режимов, в динамике квантовых систем. Аналогично, хотя и
несколько более громоздко, выглядит описание остальных пяти типов элементарных катастроф.
Значение элементарной теории катастроф состоит в том, что она сводит огромное
многообразие ситуаций, встречающихся на практике, к небольшому числу стандартных схем,
которые можно детально исследовать раз и навсегда.
Математические образы теории катастроф овеществляются в волновых полях. Это так
называемые каустики — геометрические места точек, в которых происходит заметная
концентрация (фокусировка) волнового поля. Она может быть зарегистрирована физическими
приборами или обнаружена визуально. С геометрической точки зрения каустики определяются
как особенности некоторых отображений, осуществляемых семейством лучей. В геометрической
оптике скачкообразное изменение состояния при пересечении каустики выражается в изменении
числа лучей, приходящих в данную точку пространства. Все 7 канонических катастроф имеют
свои образы в каустиках.
Сейчас теория катастроф широко применяется в ме-ханике конструкций, метеорологии,
аэродинамике, оптике, теории кооперативных явлений, квантовой динамике. Но главное
заключается в том, что эта теория подводит эффективную стандартную базу под описание
качественных изменений в нелинейных уравнениях, моделирующих системы, далекие от
равновесия. Она является основой анализа в теории бифуркаций, в теории переходов
термодинамических систем в новые структурные состояния.

Кинетика существенно неравновесных состояний
Исходным пунктом для данной области исследований явилась классическая кинетика
процессов в газах, начатая работами Дж. Максвелла и Л. Больцмана. Затем произошло
расширение области исследования на слабонеравновесные системы в различных средах и
условиях. С 1950 года началось широкое изучение систем, находящихся далеко от состояния
равновесия из-за действия сильных полей и жестких излучений различной природы. На сцену
вышел качественно новый фактор — квантованность энергетических состояний молекул. Ранее,
по существу, рассматривалось только поступательное движение бесструктурных частиц. При
сильном отклонении от равновесного состояния возбуждение охватывает различные степени
свободы молекул — вращательные, колебательные, электронные. Возникает необходимость
детального учета квантовой структуры вещества. В этих условиях частицы уже нельзя считать
бесструктурными, а нужно рассматривать их эволюцию в фазовом пространстве многих степеней
свободы.
Свойства атомов и молекул в различных энергетических состояниях различны. За счет
неравновесных процессов происходит быстрое перераспределение заселенностей по большому
числу термов и неизвестно какой из них окажется в данной конкретной системе наиболее
реакционноспособным. Поэтому реакция существенно неравновесной системы на внешнее
воздействие может быть неожиданной. Примером может служить диссоциация многоатомных
молекул (ангармонических осцилляторов) при охлаждении газа в условиях накачки энергии.
Этот эффект использовался для получения свободных атомов при низких температурах, что
сыграло существенную роль в разработке химических лазеров. Другим примером нетривиального
поведения существенно неравновесной системы является кратковременное охлаждение
углекислого газа при резонансном поглощении излучения молекулой CО2.
В данном случае принципиально то, что при рассмотрении открытых систем, внешние
параметры играют роль регуляторов, с помощью которых можно управлять процессами. Очень
существенным моментом является то, что энергетические затраты на управление с помощью
этих регуляторов намного меньше, чем требуется для достижения того же эффекта в
равновесных условиях. Причем эффективность воздействия зависит от степени неравновесности
системы.
В ряде случаев элементы системы начинают действовать в неравновесных условиях
согласованно, обнаруживая свойства, не присущие отдельной частице. Эти общие свойства
получили название когерентных или кооперативных свойств. При приближении системы к
состоянию равновесия сначала разрушаются когерентные связи, а затем уже связи,
определяемые энергетическими заселенностями. Когерентность определяется возникновением
корреляций (взаимосвязей и взаимозависимостей) между частицами. Математически это
выражается необходимостью рассмотрения функции распределения не одной частицы, а
нескольких взаимодействующих. Н.Н. Боголюбов разработал единый подход рассмотрения всей
совокупности функций распределения — цепочек уравнений для последовательных функций
увеличивающегося числа взаимодействующих частиц. Этот метод назван цепочками ББГКИ, по
имени ученых, внесших основной вклад в их разработку: Н.Н. Боголюбов, М. Борн, Х. Грин,
И. Кирквуд, И. Ивон. Так функция n переменных учитывает корреляции n частиц. Если
масштаб корреляции уменьшается и взаимодействуют только (n-1) частиц, то переходят к
функции. При сглаживании неравновесности (переходе к состоянию равновесия) корреляции
разрушаются, сокращается набор функций, необходимых для описания поведения системы, а
сами функции зависят от все меньшего числа частиц. В пределе остаются лишь одночастичные
функции распределения, уравнения которых составляют основу обычной кинетики.
Метод цепочек ББГКИ имел исключительно большое значение в неравновесной
статистической физике. Это был, по существу, новый подход к проблеме необратимости. В
замкнутой системе уравнения динамики (классической или квантовой) обратимы, т. е. замена
t на -t их не меняет. При обрыве цепочки, когда нарушается корреляция высших порядков,
возникает необратимость. В этом случае четко видна причина необратимости. Разрушение
корреляции может быть вызвано внешним воздействием. Но чем больше и упорядоченной
система, тем выше масштаб корреляций. Это означает, что они действуют между большим
числом частиц, на больших расстояниях и в течение большого промежутка времени.
Следовательно, нужно меньшее воздействие для нарушения такой сложной корреляции. А так
как абсолютно изолированных систем нет, то необратимость нашего мира заложена в природе
вещей в силу всеобщей связи.

Неравновесная термодинамика открытых систем
Открытые системы. Неравновесная термодинамика
Неравновесная термодинамика открытых систем
Неравновесная термодинамика открытых систем изучает существенно неравновесные
процессы. В их описании ключевую роль играет понятие возрастания энтропии системы за счет
процессов, происходящих внутри нее. Такой подход привел к новому взгляду на привычные
понятия. Выдающаяся роль в развитии данного научного направления принадлежит И.Р.
Пригожину, удостоенному за свои работы Нобелевской премии в 1977 году [8-10]. Большой
вклад внесли также Л. Берталанфи, Л. Онзагер, Л.И. Мандельштам, М.А. Леонтович, М. Эйген,
Г. Хакен [11-15].
Открытые системы, в которых наблюдается прирост энтропии, получили название
диссипативных. В таких системах энергия упорядоченного движения переходит в энергию
неупорядоченного хаотического движения, т.е. в тепло. Если замкнутую систему вывести из
состояния равновесия, то в ней начнутся процессы, возвращающие ее к состоянию
термодинамического равновесия, в котором ее энтропия достигает максимального значения. Со
временем степень неравновесности будет уменьшаться, однако, в любой момент времени
ситуация будет неравновесной. В случае открытых систем отток энтропии наружу может
уравновесить ее рост в самой системе. В этих условиях может возникнуть и поддерживаться
стационарное состояние. Такое состояние Берталанфи назвал текущим равновесием. По своим
характеристикам текущее равновесие может быть близко к равновесным состояниям. В этом
случае производство энтропии минимально (теорема Пригожина). Если же отток энтропии
превышает ее внутреннее производство, то возникают и разрастаются до макроскопического
уровня крупномасштабные флуктуации.
При определенных условиях в системе начинает происходить самоорганизация — создание
упорядоченных структур из хаоса. Эти структуры могут последовательно переходить во все
более сложные состояния. Такие образования в диссипативных системах Пригожий назвал
диссипативными структурами.

ОТКРЫТЫЕ СИСТЕМЫ.НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
Перейдем ко второму направлению анализа состояний, далеких от равновесия. Оно связано
с исследованием свойств открытых систем, с обобщением на существенно неравновесные
процессы понятий классической термодинамики, рассматривавшей лишь медленно протекающие
квазиравновесные процессы. Этот подход, особенно интенсивно начавший развиваться в 50-е
годы, привел к пересмотру целого ряда привычных и установившихся понятий. Большой вклад в
развитие термодинамики открытых систем, обменивающихся с внешним миром веществом и
энергией, внесли Л. Берталанфи, Л. Онзагер, Л. И. Мандельштам, М. А. Леонтович, М. Эйген
и особенно И. Р. Пригожин. Сама же термодинамика как наука о закономерностях превращения
энергии зародилась в середине прошлого века. Первоначально объектом исследования были
тепловые машины, в дальнейшем — электрические и электромагнитные явления.
В основе термодинамики лежат 2 закона, относящиеся к свойствам энергии и энтропии
системы:
1. согласно первому энергия сохраняется в любых процессах. Возрастание внутренней
энергии системы складывается из подведенной к системе теплоты и работы ,
совершенной над системой

Энтропия S является аддитивной функцией состояния системы; она равна сумме энтропий ее
подсистем. Если в систему поступает теплота при температуре Т, то энтропия 5 системы
увеличивается на

2. согласно второму закону термодинамики энтропия замкнутой системы может только
оставаться неизмен-ной или возрастать: . Сохраняясь, подобно энергии, в обратимых
процессах, энтропия возрастает в необратимых процессах. Тем самым с помощью энтропии
задается направленность процесса. Так, при передаче тепла от тела с температурой к
телу с температурой изменение энтропии положительно,

Тепловая энергия переходит от нагретого тела к более холодному.
Энергия любого вида, выработанная для производства полезной работы, в конечном счете
диссипирует, рассеивается в виде тепла. Диссипация — неизбежный переход энергии в менее
работоспособную форму — сопровождает любой реальный термодинамический процесс. И рано или
поздно изолированная система приходит в состояние равновесия, соответствующее
максимальному значению энтропии. Поэтому с точки зрения классической термодинамики
существование мира носит эпизодический характер гигантской флуктуации. Мир имеет свое
начало и неизбежно заканчивается хаосом, «тепловой смертью».
Макроскопические свойства термодинамических систем характеризуют энтропия S, объем V,
температура Т и давление Р, любые два из этих параметров неза-висимы. Состояние системы
описывается с помощью термодинамических функций, или потенциалов, определяемых своей
парой параметров: внутренней энергией U(S, V), свободной энергией F(Т, V), энтальпией
Н(S, Р), термодинамическим потенциалом G(T, Р). Эти функции дают возможность получать
соотношения между различными физическими свойствами системы, формулировать условия
устойчивости термодинамических систем. В равновесном состоянии термодинамические
потенциалы обладают свойствами минимальности по отношению к произвольно малым отклонениям
от равновесия при фиксированных значениях независимых термодинамических переменных.
В классической термодинамике рассматриваются обратимые равновесные процессы,
протекающие настолько медленно, что на каждом их этапе достигается равновесие.
Современная термодинамика открытых систем изучает существенно неравновесные процессы. В
их описании ключевую роль играет понятие возрастания энтропии системы за счет процессов,
происходящих внутри нее. Энтропия возрастает в системе при протекании любых неравновесных
процессов. Скорость ее роста только в идеализированном случае строго
равновесного процесса). Прирост энтропии в открытой системе в единицу времени в единице
объема носит название функции диссипации, а системы, в которых функция диссипации отлична
от нуля, получили название диссипативных. В таких системах энергия упорядоченного
процесса переходит в энергию неупорядоченного процесса, в конечном счете — в тепло.
Типичными примерами служат механические системы с силами трения, когда полная
механическая энергия переходит в теплоту, колебания тока в электрическом контуре с
выделением энергии на омическом сопротивлении, колебания груза на пружине, движение воды
в трубе. В земных условиях практически все системы из-за неизбежных сил сопротивления
оказываются диссипативными.
При наличии связи между двумя системами может возникать поток энтропии из одной системы в
другую, направление которого определяется значениями термодинамические потенциалов. Здесь
и проявляется качественное отличие открытых систем от изолированных. В изолированной
системе ситуация остается неравновесной, и процессы идут до тех пор, пока энтропия не
достигнет максимума. Для открытых систем отток энтропии наружу может уравновесить ее рост
в самой си-стеме. При этих условиях может возникнуть и поддерживаться стационарное
состояние.
Стационарное состояние в открытой системе Л. Берталанфи назвал текущим равновесием.
Эти состояния исключительно разнообразны. По своим характеристикам они могут быть близки
к равновесным. В этом случае функция диссипации имеет минимум, и рост энтропии
оказывается меньше, чем в других близких состояниях. Они могут быть неустойчивыми или
условно устойчивыми (устойчивыми к малым и неустойчивыми к большим воздействиям). При
наличии неустойчивостей понятие изолированности, неизбежно связанной с идеализацией
реальной системы, теряет смысл. Даже на малые воздействия отклик может стать
существенным, и любая система должна рассматриваться как открытая.
При определенных условиях суммарное уменьшение энтропии за счет обмена потоками с
внешней средой может превысить ее внутреннее производство. Появляется неустойчивость
предшествующего неупорядоченного однородного состояния. Возникают и возрастают до
макроскопического уровня крупномасштабные флуктуации.

Диссипативные системы
Диссипативные системы (И.Пригожин)
Диссипативные структуры (В.И.Коротков)

Диссипативная структура, характеризуется нарушением симметрии, множественными выборами и
корреляциями в макроскопических масштабах.
Диссипативные системы
(www.chat.ru/~cuirt/synergetics.htm)
Открытые системы, в которых наблюдается прирост энтропии, называют диссипативными. В
таких системах энергия упорядоченного движения переходит в энергию неупорядоченного
хаотического движения, в тепло. Если замкнутая система (гамильтонова система), выведенная
из состояния равновесия, всегда стремится вновь придти к максимуму энтропии, то в
открытой системе отток энтропии может уравновесить ее рост в самой системе и есть
вероятность возникновения стационарного состояния. Если же отток энтропии превысит ее
внутренний рост, то возникают и разрастаются до макроскопического уровня крупномасштабные
флюктуации, а при определенных условиях в системе начинают происходить
самоорганизационные процессы, создание упорядоченных структур.
При изучении систем, их часто описывают системой дифференциальных уравнений.
Представление решения этих уравнений как движения некоторой точки в пространстве с
размерностью, равной числу переменных называют фазовыми траекториями системы. Поведение
фазовой траектории в смысле устойчивости показывает, что существует несколько основных
его типов, когда все решения системы в конечном счете сосредотачиваются на некотором
подмножестве. Такое подмножество называется аттрактором. Аттрактор имеет область
притяжения, множество начальных точек, таких, что при увеличении времени все фазовые
траектории, начавшиеся в них стремятся именно к этому аттрактору.
Основными типами аттракторов являются:
* устойчивые предельные точки
* устойчивые циклы (траектория стремится к некоторой замкнутой кривой)
* торы (к поверхности которых приближается траектория)
Движение точки в таких случаях имеет периодический или квазипериодический характер.
Существуют также характерные только для диссипативных систем так называемые странные
аттракторы, которые, в отличие от обычных не являются подмногообразиями фазового
пространства (точка, цикл, тор, гипертор — являются) и движение точки на них является
неустойчивым, любые две траектории на нем всегда расходятся, малое изменение начальных
данных приводит к различным путям развития. Иными словами, динамика систем со странными
аттракторами является хаотической.
Уравнения, обладающие странными аттракторами вовсе не являются экзотическими. В
качестве примера такой системы можно назвать систему Лоренца, полученную из уравнений
гидродинамики в задаче о термоконвекции подогреваемого снизу слоя жидкости.
Замечательным является строение странных аттракторов. Их уникальным свойством
является скейлинговая структура или масштабная самоповторяемость. Это означает, что
увеличивая участок аттрактора, содержащий бесконечное количество кривых, можно убедиться
в его подобии крупномасштабному представлению части аттрактора. Для объектов, обладающих
способностью бесконечно повторять собственную структуру на микроуровне существует
специальное название — фракталы.
Для динамических систем, зависящих от некоторого параметра, характерно, как правило,
плавное изменение характера поведения при изменении параметра. Однако для параметра может
иметься некоторое критическое (бифуркационное) значение, при переходе через которое
аттрактор претерпевает качественную перестройку и, соответственно, резко меняется
динамика системы, например, теряется устойчивость. Потеря устойчивости происходит, как
правило, переходом от точки устойчивости к устойчивому циклу (мягкая потеря
устойчивости), выход траектории с устойчивого положения (жесткая потеря устойчивости),
рождение циклов с удвоенным периодом. При дальнейшем изменении параметра возможно
возникновение торов и далее странных аттракторов, то есть хаотических процессов.
Здесь надо оговорить, что в специальном смысле этого слова хаос означает нерегулярное
движение, описываемое детерминистическими уравнениями. Нерегулярное движение
подразумевает невозможность его описания суммой гармонических движений.

Диссипативные системы (И.Пригожин)
Кроме консервативных систем, изучаемых в классической механике, нам нужно рассмотреть
также системы, приводящие к необратимым процессам. Простейшим примером такого рода могут
служить системы с трением.
Важная роль трения, представляющего собой особую форму диссипативного процесса, была
осознана задолго до создания классической механики. Когда Аристотель высказал
предположение, что все подлунные динамические системы в общем случае стремятся к
равновесию, на самом деле он выражал идею о том, что нечто вроде «трения» должно
замедлять движение. В этом плане классический принцип инерции, отражающий основную роль
ускорения, а не скорости, соответствует некоторой идеализации, возникающей в результате
пренебрежения трением.
Начиная с работ Фурье и Клаузиуса, в XIX в. возрос интерес к диссипативным системам,
приводящим к необратимым процессам. Это было довольно естественно с учетом происходившей
тогда промышленной революции. Однако по той же причине диссипацию рассматривали тогда
лишь в связи с исчерпанием доступной энергии.
Интересно, что один из великих древнегреческих философов,. Платон, был глубоко
убежден в том, что как постоянство, так и изменчивость являются составными частями
реальности. Однако в XIX в. возникла конфликтная ситуация. Так, в физике необратимость и
диссипация воспринимались как некоторая деградация, а, с другой стороны, биологическая
эволюция, очевидно, также являющаяся необратимым процессом, ассоциировалась. с
возрастанием сложности. Возможно, благодаря своему технологическому значению механика
жидких сред исторически оказалась первой областью, в которой была полностью осознана
решающая роль диссипативных процессов. Однако, по мере того как постепенно утверждалась
молекулярная концепция строения вещества, аналогичная тенденция получила развитие в
науке, химической кинетике, теории броуновского движения и различных типах транспортных
явлений. Сегодня уже общепризнано, что диссипативные системы представляют собой весьма
широкий и важный класс естественных систем.
Ярче всего различие между консервативными и диссипативными системами проявляется при
попытке макроскопического описания последних, когда для определения мгновенного состояния
системы используются такие коллективные переменные, как температура, концентрация,
давление, конвективная скорость и т. д. При рассмотрении уравнений, управляющих
поведением этих переменных, выясняется следующая их важная особенность: они не
инвариантны относительно операции обращения времени в отличие от уравнений
и .

На этой основе можно ожидать, что чередование соответствующих событий будет необратимым.
Эта ситуация удивительно ярко иллюстрируется на примере химической реакции. Рассмотрим
процесс, описываемый уравнением . Скорость расходования частиц типа А
пропорциональна частоте встреч молекул типов А и В, которая в случае разбавленных систем
пропорциональна произведению их концентраций. Таким образом, имеем
(1)
Очевидно, при обращении времени (t’=-t) и введении обозначений , для концентраций
в зависимости от времени уравнение (1) принимает вид:

Теперь это уравнение описывает процесс, в котором вещество типа А не расходуется, а
производится. Разумеется, такой процесс неэквивалентен описываемому уравнением (1).
В качестве дальнейших примеров диссипативных процессов можно рассмотреть теплопроводность
и диффузию. Как показывает эксперимент, если в однородной жидкости возникает небольшая
неоднородность, то такое возмущение со временем расплывается и постепенно исчезает.
Аналогичная одонозначно направленная эволюция наблюдается в случае небольшого изменения
температуры, внесенного быстро и локально в изотермическую жидкость. Количественное
описание этих явлений, блестяще согласующееся с опытными данными, дается следующими
уравнениями, называемыми соответственно уравнением Фика и уравнением Фурье:
(2)
(3)
где с-концентрация некоторого вещества, растворенного в жидкости, Т- температура, D -
массовый коэффициент диффузии н х-коэффициент температуропроводности. При обращении
времени мы опять получаем совершенно другие законы:

Согласно этим уравнениям, начальное возмущение температуры или концентрации будет не
затухать, а возрастать.
Как концентрация, так и температура являются примерами «четных» переменных, поскольку
знак этих переменных при обращении времени не меняется. Напротив, импульс частиц или
конвективная скорость жидкости являются «нечетными» переменными, поскольку они являются
производными по времени от переменных типа координаты и меняют знак при обращении
времени. Это приводит к следующему общему свойству уравнения эволюции диссипативной
системы. Обозначим полный набор макроскопических переменных такой системы .
Эволюция этих переменных во времени будет описываться системой уравнений:

Здесь функции Fi могут сколь угодно сложным образом зависеть от переменных Х и их
пространственных производных и явным образом-от пространственных координат r и времени
t. Тогда, если мы совершим операцию обращения времени t’= -t в диссипативной
системе, то по меньшей мере одна из функций скоростей , соответствующая четной
переменной должна содержать инвариантную часть, в то время как функция скорости
, соответствующая нечетной переменной , должна содержать часть, меняющую знак при
обращении времени. Примеры функций скоростей первого класса дают правые части уравнений
(1)-(3), примером же второго класса является вклад вязкости в уравнение баланса импульса
жидкости, участвующей в конвективном движении.
Как и в случае консервативных систем, для диссипативных систем также можно ввести
удобное фазовое пространство. Оно включает в себя ансамбль имеющихся переменных и поэтому
становится бесконечномерным пространством в случае непрерывной среды, где различные
характеристики являются пространственно распределенными величинами [см. уравнения (2) и
(3)]. Поэтому удобнее всего работать с фазовым пространством, когда оно содержит
дискретное число переменных, и в особенности когда это число конечно и, желательно,
невелико.

Рис. 1. Представление диссипативной системы в фазовом пространстве,
а — система, описываемая одной переменной в соответствии с уравнением (1),
б-система с двумя переменными, уравнение (5).
Например, в случае уравнения (1) фазовое пространство сводится к линии, на которой и
находится фазовая траектория (рис. 1, а). Менее тривиальным примером является химическая
реакция, описываемая следующей кинетической схемой:
(4)
Соответствующие кинетические уравнения имеют вид
(5)
Фазовые траектории для такой системы показаны на рис. 1, б. Полезно иметь в виду, что
некоторые диссипативные системы можно преобразовать к консервативному виду и привести их
к гамильтоновой форме. Примером может служить знаменитый механизм Лотки-Вольтерра
(6)
В этой системе имеется некоторый нетривиальный интеграл движения, играющий роль
«гамильтониана». И все же, несмотря на свой кажущийся консервативный характер, эта
система неинвариантна относительно обращения времени, поскольку обе переменные Х и Y
являются положительными. Поэтому нет смысла приписывать им свойства, аналогичные импульсу
в клас-сической механике, что необходимо для такой инвариантности.
Пока еще не рассматривался вопрос о связи между диссипативными и консервативными
системами, а также вопрос о возможности перехода от одного описания к другому.

Диссипативные структуры
Диссипативные структуры являются результатом развития собственных внутренних
неустойчивостей в системе. Процессы самоорганизации возможны при обмене энергией и массой
с окружающей средой, т. е. при поддержании состояния текущего равновесия, когда потери на
диссипацию компенсируются извне. Эти процессы описываются нелинейными уравнениями для
макроскопических функций.
Диссипативные структуры можно разделить на:
* временные
* пространственные
* пространственно-временные
Примерами временных структур являются периодические, колебательные и волновые
процессы. Типичными примерами пространственных структур являются: переход ламинарного
течения в турбулентное, переход диффузионного механизма передачи тепла в конвективный.
Характерные примеры: турбулентность, ячейки Бенара и сверхрешетка пор.
Развитие турбулентности начинается при достижении числом Рейнольдса критического
значения. Ламинарное течение становится неустойчивым, возникают стационарные колебания
скорости движения, затем более сложное движение до, все увеличивающимся числом
характерных частот. Это чрезвычайно сложное квазипериодическое движение иногда называют
динамическим хаосом.
Примерами пространственно-временных структур являются режим генерации лазера и
колебательные химические реакции. Возникновение когерентного излучения в лазере
происходит при достижении мощности накачки (подводимой энергии) порогового значения.
Атомы или молекулы рабочего тела лазера, излучавшие до этого независимо друг от друга,
начинают испускать свет согласованно, в одной фазе.
Фазовый переход в физике означает скачкообразное изменение физических свойств при
непрерывном изменении внешних параметров. Неравновесный фазовый переход определяется
флуктуациями. Они нарастают, увеличивают свой масштаб до макроскопических значений.
Возникает неустойчивость и система переходит в упорядоченное состояние. Неравновесные
фазовые переходы различной природы имеют общие характеристики. Прежде всего, упорядочение
связано с понижением симметрии, что обусловлено появлением ограничений из-за
дополнительных связей (корреляций) между элементами системы. Л. Д. Ландау в 1937 г.
предложил общую трактовку фазовых переходов 2-го рода как изменение симметрии. В точке
перехода симметрия меняется скачком. Также общим свойством кинетических фазовых переходов
является наличие фундаментальной макроскопической переменной, позволяющей дать единое
описание процесса упорядочения — параметра порядка. По своему физическому смыслу параметр
порядка — это корреляционная функция, определяющая степень дальнего порядка в системе.

Теория катастроф (Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивость и
катастрофы в науке и технике; Арнольд В.И.Терия катастроф)
Теория катастроф (Шелепин Л.А. Вдали от равновесия)
Теория катастроф
Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике
Арнольд В.И. Терия катастроф
Возникновение диссипативных структур носит пороговый характер. Неравновестная
термодинамика связала пороговый характер с неустойчивостью, показав, что новая структура
всегда является результатом раскрытия неустойчивости в результате флуктуаций. Можно
сказать о «порядке через флуктуации». С математической точки зрения, неустойчивость и
пороговый характер самоорганизации связаны с нелинейностью уравнений. Для линейных
уравнений существует одно стационарное состояние, для нелинейных — несколько. Таким
образом, пороговый характер самоорганизации связан с переходом из одного стационарного
состояния в другое.
Потеря системой устойчивости называется катастрофой. Точнее, катастрофа — это
скачкообразное изменение, возникающее при плавном изменении внешних условий.
Математическая теория, анализирующая поведение нелинейных динамических систем при
изменении их параметров, называется теорией катастроф.
Основой теории катастроф является новая область математики — теория особенностей
гладких отображений, являющаяся далеким обобщением задач на экстремум в математическом
анализе. Начало было положено в 1955 г. американским математиком Г.Уитни. После работ
Р.Тома (давшего теории название) началось интенсивное развитие как самой теории
катастроф, так и ее многочисленных приложений. Значение элементарной теории катастроф
состоит в том, что она сводит огромное многообразие ситуаций к небольшому числу
стандартных схем, которые можно детально исследовать раз и навсегда.
Различают 7 канонических катастроф для функций одной или двух переменных и числа
управляющих параметров, не превышающих 5.
Траектория нелинейной динамической системы в многомерном фазовом пространстве ведет
себя необычным образом. При определенных условиях существует область, которая притягивает
к себе все траектории из окрестных областей. Она была названа «странным аттрактором»
Лоренца. Попадая в нее сколь угодно близкие траектории расходятся и имеют очень сложную и
запутанную структуру. В странном аттракторе Лоренца выбранное наугад решение будет
блуждать и со временем пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора. По топологии
странный аттрактор представляет собой, так называемое, фрактальное множество,
характеризующееся дробной размерностью. Быстрое расхождение двух близких в начальный
момент времени траекторий означает очень большую чувствительность решений к малому
изменению начальных условий. Этим обусловлена большая трудность или даже невозможность
долгосрочного прогноза поведения нелинейных динамических систем.
Теория катастроф определяет область существования различных структур, границы их
устойчивости. Для изучения же динамики систем необходимо знать каким именно образом новые
решения уравнений «ответвляются» от известного решения. Ответ на такие вопросы дает
теория бифуркаций (разветвлений), то есть возникновения нового решения при критическом
значении параметра. Момент перехода (катастрофический скачок) зависит от свойств системы
и уровня флуктуаций.
В реальных условиях при углублении неравновесности в открытой системе возникает
определенная последовательность бифуркаций, сопровождающаяся сменой структур. Типичным
примером такого сценария является развитие турбулентности с чередующимися типами все
более усложняющихся движений. Состояние системы в момент бифуркации является неустойчивым
и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути. Финальным
состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.
Иллюстрацией перехода к нему является логистическое уравнение:
Xn+1=CXn(1-Xn)
Для наглядности рассмотрим биологическую трактовку этого уравнения: изолированно живет
популяция особей нормированной численностью Xn . Через год появляется потомство
численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения — CXn
где коэффициент с определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль (за
счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом -
(CXn)^2. Зависимость численности популяции от параметра с приведена на рисунке.

Линии показывают значения Xn при больших n.
При с < 1 популяция с ростом n вымирает.
В области 1 < с < 3 численность популяции приближается к постоянному значению X0=1-1/C .
Это область стационарных решений.
Затем в диапазоне 3 < с < 3.57 появляются бифуркации, разветвление кривых на две.
Численность популяции колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала
популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год
численность снова становится малой. Далее происходит перекрывание областей различных
решений, и поведение системы становится хаотическим. Динамические переменные Xn принимают
значения сильно зависящие от начальных. При расчетах на компьютере для близких начальных
значений с решения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными,
так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере. М.Фейгенбаум
установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении
периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических,
гидродинамических, химических и т.д. систем. Наряду с последовательностями удвоений
периода (каскадами Фейгенбаума) имеются другие пути перехода к хаосу, когда, например,
длительные периоды упорядоченного движения чередуются со вспышками беспорядка.