Н. М. Калинина
Кыргызско-Российский Славянский университет

Часть 1. Проблемы становления целостного мышления

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Эволюция представлений человечества о познаваемости окружающего мира

2. Парадоксы теоретико-множественного мышления. Теорема Гёделя

3. XIX век — эпоха атеистов, вестников, пророков

4. В поисках смысла истории человечества

5. По ту сторону добра и зла. Анатомия кризиса Фридриха Ницше

6. Великое разъединение, или черный век Кали-Юги

ВВЕДЕНИЕ

Синергетика — это новое, быстроразвивающееся направление, привлекающее большое число ученых из самых разных областей своими научными и мировоззренческими перспективами. Эту привлекательность создают широта самого предмета синергетики, ее междисциплинарный характер, содержание ее методологии, универсальный язык. Не странно ли звучит на этом победном фоне название книги «Оправдание синергетики»? Нуждается ли победитель в оправдании?
Рассмотрим в самых общих чертах, чем занимается эта новая наука, которой едва исполнилось 30 лет.
Синергетика исследует сложные нелинейные системы, состоящие из большого числа элементов, наделенных определенным набором степеней свободы. Эти элементы наделены такими свойствами как устойчивость и изменчивость, линейность и нелинейность, активность и пассивность, однородность и неоднородность, метастабильность, чувствительность к резонансному воздействию и т.д. Весь этот набор свойств элементов приводит при определенных условиях к полной непредсказуемости в поведении сложной системы как единого целого. И эта же система при изменении внешних условий может вести себя совершенно логично, предсказуемо, закономерно Смена этапов предсказуемого и непредсказуемого поведения представляет собой процесс эволюционного продвижения динамичной системы от некоторого прошлого состояния к будущему.
Эволюцию сложного целого можно охарактеризовать как самораспространяющийся, самоподдерживающийся процесс. Для подготовленной среды, способной к самоорганизации, достаточно энергичного толчка — инициирующего импульса, чтобы этот процесс зародился и начал самостоятельно распространяться. Если среда достаточно активна, распространение зародыша (новой структуры как процесса) может стать самоускоряющимся. Переход на режим автокаталитического самоускорения приводит, как правило, к очень быстрому, неуправляемому росту некоторых параметров системы, что, в конечном счете, может завершиться взрывом, то есть саморазрушением развившейся структуры.
Сложные системы, изучаемые синергетикой, являются открытыми по отношению к внешним потокам энергии, вещества, информации. Эти потоки порождают новые структуры, а затем поддерживают их, когда внутренние ресурсы системы истощаются. Циклически вливаемые в систему порции энергии позволяют ей поддерживать то состояние, которое мы называем жизнью. Самораспространяющиеся процессы протекают в системе до тех пор, пока не исчерпаны энергетические ресурсы системы. Без внешней подпитки система рано или поздно переходит в состояние равновесия с окружающей средой, то есть умирает.
Внешние потоки, поддерживающие жизнь сложного целого, называются управляющими параметрами. Фактически управляющие параметры отражают те законы, по которым должна функционировать сложная система в силу своих природных особенностей. Но управляющие параметры имеют свойство время от времени изменять свои значения, уменьшая или увеличивая мощность энергетических потоков, поддерживающих систему, изменяя характеристики частотного спектра этих потоков. Моменты таких изменений в характеристиках управляющих параметров переживаются системой как катастрофа. Она хорошо адаптировалась к прежним условиям, ей было удобно и спокойно, и вдруг все прежнее благополучие рушится, наступает кризис.
Управляющие параметры определяют сроки, к которым система должна успеть перестроиться и стать готовой к приему новых энергий. Перестроится ли система к этим срокам, зависит от состояния системы, от ее способности осознать необходимость такой перестройки. Самым большим препятствием на эволюционном пути системы, порождающим кризисное состояние в моменты перестройки, является инертность системы, ее стремление продолжать движение по уже накатанной дороге. Такая инертность вызывает обратный удар, и чем выше скорость, с какой система продолжает двигаться по уже изжившему себя пути, тем сильнее удар, который она примет на себя. Этот удар в синергетике называется встряхиванием, хаотизацией системы и предназначен он для того, чтобы освободить систему от тех инертных связей и элементов, которые препятствуют ее перестройке.
Те, кто находится внутри системы и не осознает закономерностей своей собственной эволюции, такой удар воспринимают как несчастье, зло, направленное против их благополучия. С точки же зрения тех, кто видит пагубность дальнейшего движения системы по инерции, такое встряхивание является жесткой, но необходимой мерой, которая позволит сделать систему более чувствительной к новым энергетическим потокам, без которых в будущем она просто погибнет. Так зло, являющееся таковым с точки зрения ограниченного сознания, превращается в добро при рассмотрении его с позиций сознания, достигшего более высокого уровня развития.
Апокалиптические времена, переживавшиеся человечеством многократно и переживаемые им в настоящее время, сопровождаются катастрофическими событиями, затрагивающими огромное количество людей. Предназначение этих событий заключается в том, чтобы остановить земное человечество, ставшее необычайно сильным и уверенным в своих достижениях, заставить его задуматься, направить по пути поиска более высоких смыслов земного существования, чем материальное благополучие.
Инертность человеческого мышления порождает мощные обратные удары — это печальная закономерность, но из этой же закономерности следует, что добровольное устремление к преодолению инертности, осознание эволюционных перспектив, расширение сознания позволят человечеству благополучно миновать все будущие кризисные состояния. Если только оно успеет пережить настоящий кризис, не уничтожив жизнь на Земле и не разрушив планету…
Итак, нуждается ли синергетика в оправдании? Наверное, все-таки нуждается. Огромные потоки публикаций, использующих синергетические термины и идеи, применение этих идей во все более и более узких областях знаний приводят к размыванию целостной системы мировоззренческих построений синергетики, погружают неискушенного читателя в мир хаоса синергетических приложений, уводят от главных смыслов, которые должна дать синергетика человечеству. Настоящая книга — это попытка автора показать, в каком направлении должно двигаться сознание человека, опирающееся на синергетическое мировидение и ключевые идеи синергетики, чтобы благополучно миновать «зигзаги» эволюции.

1. ЭВОЛЮЦИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА О ПОЗНАВАЕМОСТИ ОКРУЖАЮЩЕГО МИРА

С Лягушкой из колодца не толкуй о море — ее предел лишь скважина. С букашкой не толкуй о зиме — она знает лишь свое время года. С ограниченным человеком не толкуй о пути, он связан тем, чему его обучили. Ныне, покинув свои берега, ты полюбовался великим океаном и понял свое ничтожество, значит, с тобой можно поговорить о великом законе.
Лао-Цзы

Ты смотришь на звезды, жизнь моя! О, как хотел бы я быть этим звездным тысячеоким небом, чтобы глядеть на тебя.
Платон

Я есмь Путь и Истина…
Иисус Христос

Как в нынешнее время, так и в глубокой древности человечество неоднозначно отвечало на вопрос о реальности и познаваемости окружающей действительности.
Первым из древнегреческих философов, размышлявших над проблемой познания внешнего мира, был Гераклит Эфесский (конец VI — начало V в. до н .э. Гераклит не отрицал существования реального внешнего мира, но утверждал, что все в этом мире непрерывно изменяется — «невозможно дважды вступить в один и тот же поток», поэтому, какие бы факты мы ни собирали об окружающем нас мире, они уже в следующий миг не имеют к нему ни малейшего отношения.
Выдающийся софист Протагор (ок. 480-410 до н.э.) первым сказал, что «о всякой вещи есть два мнения, противоположных друг другу». Но уже в античности против такого подхода выступили Демокрит, Платон, Аристотель, говоря о том, что два противоположных суждения об одной и той же вещи не могут быть истинными. Нам же придется отдать должное Протагору, когда мы познакомимся с выводами логика К. Гёделя, в начале ХХ-го века заставившего научный мира задуматься о том, что между «да» и «нет» существует еще множество разных «полу-да» и «полу-нет».
Протагор, защищая свое положение, говорил о том, что, поскольку высказывания об одной и той же вещи не должны противоречить друг другу, а вместе с тем о каждой вещи возможны два противоположных, притом одинаково истинных мнения, то для принятия решения об истинности того или иного мнения нужно встать на точку зрения той или иной стороны. Следовательно, критерием, мерой истинности суждения следует считать человека. Именно отсюда вытекает знаменитый тезис Протагора: «Человек есть мера всех вещей, существующих, что они существуют, несуществующих же, что они не существуют».
Тем самым знание индивидуализировалось и субъективизировалось. Но если человек — мера всех вещей, то все ставится в зависимость от его оценки, то есть превращается в относительное: знания, этические нормы, представления. Если чувственный мир, как и мир внешний, находится в состоянии постоянного движения и изменения, то все наше знание о нем отрывочно, неполно и несовершенно; мало того, так как феномены этого мира доступны лишь нашим ощущениям и чувственным восприятиям, а эти последние различны у различных индивидов, то это отрывочное, неполное и несовершенное знание не имеет даже объективной достоверности, а лишь субъективную. Истина, таким образом, не только не полна, но и относительна, и не только относительна вообще для всего человечества, но разнится в степени и значении для каждой отдельной личности.
Платон (427-347 до н. э.), продолжая развивать эти взгляды, говорил, что знание материального мира состоит исключительно из чувственных восприятий, а так как одна и та же вещь может восприниматься различно различными субъектами в различное время, то такое знание не в состоянии установить прочных фактов и исчерпать истинную природу вещей. Мир, воспринимаемый нашими чувствами, пестр, многообразен, непрерывно меняется и ненадежен. Поэтому такое неистинное знание является только мнением — чем-то средним между совершенным знанием и полным незнанием. Другими словами, знание — это представления несовершенного, постоянно изменяющегося человека о таком же несовершенном, постоянно меняющемся мире, проходящем промежуточную стадию между бытием и не-бытием.
Однако, в противоположность Протагору, Платон говорил о том, что есть и истинный мир — мир идей, и этот мир неизменен и непреходящ. Однако мир идей доступен не чувствам, а только разуму. Протагор не поднимался выше калейдоскопической игры явлений чувственного мира, поэтому мир идей увидеть не смог. Платон же утверждал, что понять реальное — значит обнажить его, отделив его от видимости, а не облечь в видимость. Именно идеи выражают образцы совершенства, к которому стремится все на свете — и материальное, и этическое, и эстетическое. Идея по отношению к вещам играет такую же роль, какую играют концепции художника или ремесленника по отношению к их произведениям. Идеи суть типы или первообразы, по которым созданы вещи нашего чувственного мира. И подобно тому, как статуи художника суть как бы вещественные копии с их концепций, так и вещи чувственного мира суть не что иное, как вещественные копии с данных идей. Разница лишь та, что в то время как концепции художника или плотника существуют лишь в уме, идеи существуют в реальности. Вещи не обладают никаким действительным бытием; подобно отражению в зеркале, они — неверные, неясные снимки, имеющие существование, да и то призрачное — только благодаря идеям. Вселенная поэтому распадается как бы на два мира: один мир — идей, единственно реальный, неизменный и вечный, а другой — вещей, призрачный, бренный, изменчивый; в первом обитают оригиналы и типы, во втором — копии и снимки; в первом нумены, во втором феномены, в первом — бытие, во втором — становление.
Вот как написано в одном из изданий конца XIX в. об идеях Платона: «Живые прообразы чувственных вещей, идеи, живут в надзвездной сфере, составляя особый мир. Чистые, без вещей, идеи, живут в надзвездной сфере, составляя особый мир. Чистые, без цвета, без формы, без протяжения, восседают они там, как божество, сияя вечной красотой и истиной, не доступные никому, кроме Бессмертного разума. Но с ними обитали и души, перед тем как они ниспосланы были в наши бренные оболочки. Тогда, во время своего обитания в горних областях, они созерцали в немом восторге эти державные идеи, пропитываясь их светом и составляя точные понятия об истине и бытии; теперь же, заключенные в телесную оболочку, как в темницу, они поставлены среди быстро несущегося потока жизни, имея перед своими взорами не вечность, не совершенство, не неизменность, а мелькающие феномены, полные только уродства и непостоянства. Но вместе с тем эти феномены суть бледные копии вечных идей, и перед мысленными взорами впечатлительной души раскрывается — смутно сначала, но яснее потом, другой, лучший мир, в котором она некогда жила и который был ей так дорог. Она начинает вспоминать, как мы начинаем вспоминать родные лица при взгляде на их фотографии, хотя бы от времени выцветшие: образы будят память, и мало-помалу, напрягая все свои силы, душа начинает подмечать знакомый облик идей среди шумного и несвязного вихря вещей и явлений. Чем полнее отрешается она от влияний внешнего мира, тем глубже всматривается она в пеструю игру явлений, тем ярче оживают в ней воспоминания, тем живей встают перед ней давно забытые образы идей. Она все выше и выше поднимается над чувственными восприятиями, чуждыми ей с самого рождения, и начинает постепенно создавать понятия, соответствующие ее воспоминаниям, — понятия, все более и более сложные, все более и более высокие. …
Теория воспоминаний, важная сама по себе, как попытка разрешить основную проблему о философском знании, получает в наших глазах еще большее значение вследствие выводов, которые непосредственно из нее вытекают. Душа, заключенная в тесную оболочку тела, начинает присматриваться к бесконечной смене внешних явлений и улавливать первообразы вещей, которые она некогда видела. Она начинает вспоминать свою первоначальную обитель, где ее жизнь была полна блаженного созерцания вечно сияющих идей: она начинает тосковать и рваться вон из давящей клетки к высоким небесам, к царству Добра, Истины и Красоты. Чем она чувствительнее, тем ярче горят воспоминания и тем сильнее ее жажда возвратиться в свою родную страну. Стены ее темницы заслоняют ей взор, телесные оковы отягчают ей крылья, но тем непреоборимее становятся ее стремления освободиться от связывающих ее пут. Нетерпение растет у нее по мере увеличения ее знаний; презрение и ненависть к чувственным предметам все усиливается, и с затаенной тоской ждет она момента своего освобождения, одержимая одним страстным порывом перешагнуть за пределы земного существования. Небесные мелодии звучат немолчным призывом, и она прислушивается к ним в таком же восторженном экстазе, как святая Цецилия к звукам своего органа, ища за конечным — бесконечное и за смертным — бессмертное» [1].
Платон проводил в связи с проблемой объективного познания внешнего мира следующую аналогию [2]. Представим себе, говорил он, подземную пещеру с широким, но высоким отверстием к свету, а в пещере — людей, находящихся там со дня своего рождения и скованных по рукам и ногам, спиной к передней стене. Сзади них пылает яркий огонь, а между ними и этим огнем, по тропинке, идущей вдоль отверстия, беспрестанно проходят люди, бросая тень в пещеру, на противоположную ей стену. Не будучи в состоянии повернуть голову и не зная, следовательно, что происходит за их спиной, люди в пещере видят одни лишь тени и, естественно, принимают их за действительные фигуры, за реальные существа. Но вот представим себе, что один из этих людей освобождается от цепей и выбирается через отверстие пещеры на открытый воздух, в незнакомый ему мир. В первые моменты, конечно, он ничего, кроме боли в глазах, не испытывает, но затем, мало-помалу привыкая к свету, он начинает присматриваться и видеть целый ряд новых, неизвестных ему вещей — небо, землю, воду, людей, деревья и прочее. Сначала, если его кто-нибудь начнет уверять, что все, что он видит, реальности, а то, что он раньше видел в пещере — одни лишь тени их, он, вероятно, не поверит, подумает, что над ним смеются, и, быть может, еще так обидится, что махнет рукой и полезет обратно в свою родную пещеру. Но предположим, что он — человек недюжинный и что у него хватит мужества выслушивать все эти неприятные ему вещи: он начнет тогда проверять, сравнивать, ощупывать и размышлять и, наконец, согласится, что прежде он жил фантомами, что он знал лишь тени вещей и что только теперь ему удалось постигнуть действительный мир. Быть может, движимый любовью к своим жалким собратьям, он возвратится в подземную мглу и начнет рассказывать про свои впечатления; но они поднимут его на смех, назовут свихнувшимся фантазером, и, если, при переходе от света к мраку, он еще на время ослепнет и не сможет различать даже и тени, проходящие по стене, над ним начнут еще острить и спрашивать, не оставил ли он там, наверху, свой ум и свои глаза и т. д. Смысл этой басни ясен: пещера — это наш видимый мир, тени, проходящие на стене, — суть вещи этого мира, а люди, сидящие там и принимающие эти тени за действительность, — это мы сами, самоуверенные и упрямые слепцы, принимающие вещи чувственного мира за реальность.
На вопрос о том, каково действительное отношение вещей к идеям, Платон отвечает общими словами и говорит, что вещь участвует в идее, что в ней есть нечто из того, что есть идея. Здесь возникает новый вопрос: если идея, как живой тип, по существу своему едина и нераздельна, то как может она войти необходимым элементом во многое и разнообразное, не потеряв в то же время этого единства и нераздельности? Казалось бы, одно из двух: или идея входит в каждую отдельную вещь данной группы целиком, — тогда она перестает быть единой, или она входит в каждую вещь частью, — и тогда она перестает быть нераздельной. Платон не дал ответа на этот вопрос, но на него несколько веков спустя попытался ответить Плотин в своей «Космогонии». Но о Плотине чуть позже, а пока вернемся к Платону.
Если взглянуть на повествование о пещере из нашего, XXI-го века, можно только удивляться тому, насколько близка выраженная в нем идея тем смыслам и образам, которые лежат в основе синергетической концепции мировидения. И в ответ на молчание Платона хочется вспомнить слова из «Корана»:

Как объяснить тебе, что значит
«Судный день»?
И вновь,
Как объяснить тебе, что значит
«Судный день»?

Пока сознание не готово, объяснить невозможно.
Взгляд Платона — это взгляд со стороны, с более высокого уровня и в то же время бессилие перед человеческим непониманием. Так точно, обращаясь из нашего времени к древнему греку или иудею времен Ветхого Завета, мы могли бы с отчаяньем крикнуть: «Я хочу рассказать тебе, что значит мощь согласованного действия. Но как объяснить тебе, что значит лазер?! Как объяснить тебе, что значит когерентность?!». Поэтому лучше не углубляться в разъяснения. Пока достаточно одной идеи.
Нам же, чтобы понять Платона, нужно, подобно жителям пещеры, научиться выходить из мира трехмерного в мир многомерный, нужно понять, что значит расширение сознания, увеличение степеней свободы, единство мира и многое другое. Для того, чтобы вернуться к Платону и по-новому взглянуть на его идеи, человечеству нужно было прошагать путь длиною более чем в два тысячелетия.
А теперь обратимся к современнику Платона — Аристотелю. Аристотель (384 — 322 до н. э.), в противоположность Платону, не только утверждал существование мира, внешнего по отношению к человеку, но и считал, что наши представления о нем получаются путем абстрагирования из него идей, общих различным классам материальных объектов. Истинное знание. по Аристотелю, рождается из чувственного опыта с помощью интуиции и абстракции. Абстрактные идеи не существуют независимо от человеческого разума. В поисках истины Аристотель прибег к так называемым универсалиям — общим качествам, абстрагированным от реальных вещей. Взяв обычные чувственно воспринимаемые свойства вещей, он как бы придал им самостоятельный статус, возвысив до идеальных понятий. Это уже, в отличие от Платона, взгляд снизу, но это взгляд ученого, способного к обобщению, к абстрактному мышлению. И этот взгляд свойствен традиционной науке нашего времени.
Каким же образом совместить, соединить в единое целое положение Гераклита о бесконечной изменчивости материального мира, софизм Протагора о том, что человек есть мера всех вещей, неизменный мир идей Платона, абстрактные идеи человеческого разума Аристотеля? Оставим пока без ответа этот вопрос, вспомним о вреде точных определений и попытаемся сделать так, чтобы ответ сформировался сам собой по мере прохождения от одного параграфа этой книги к другому, от первой главы — к последней.
Плотuн (204 — 270 н. э.), римский философ, основоположник неоплатонизма, крупнейший мыслитель не только позднего эллинизма, но и всей античной философии, обогатил платонизм новыми идеями, рассматривая в качестве высшей субстанции бытия не идеи, как считал Платон, а божественное Первоединое (Абсолют), или Единое, которое может быть определено только как самодовлеющее первоначало, лишенное всяких свойств. Философская задача Плотина заключалась в том, чтобы последовательно показать, как из божественного непроявленного первоединства рождается многообразный проявленный мир.
Истинное начало всего, по Плотину, есть бестелесное и Абсолютно-Единое, простое, то есть не содержащее в себе, с точки зрения законов проявленного мира, никаких различий. Первоединое не имеет ни одной из определенных форм бытия, но в то же время является потенциальной возможностью их всех. В данном случае простое рассматривается как потенциально сложное состояние, не нуждающееся в проявлении своей сложности, поскольку простота Единого — это совершенство. «…Первое начало всегда только одно, и оно по существу своему есть Единое. Если допустить с ним другое такое же начало, то все равно они составляли бы одно и то же Единое начало, так как тут речь идет ведь не о двух телах и не об одном из них, как о первом теле» [3]. Совершенное, соединившись с другим, настолько же совершенным, не изменяет своего состояния.
«…Первоединый производит вторую субстанцию ( , Ум, Мыслящую Первопричину, Божественный Разум), сам оставаясь неподвижным. … Божественный Разум, рождающийся от Первоединого, есть как бы истекающий от него свет, между тем как сам он от этого нисколько не изменяется и остается в покое, подобно тому, как солнце, постоянно повсюду распространяющее свой свет, от этого вовсе не приходит в движение; напротив, свет этот как бы движется вокруг него. … Подобным образом и другие вещи, оставаясь неподвижными, производят из собственного существа вовне разные явления, которые могут быть рассматриваемы как образы той силы, которая их производит и есть для них как бы первообраз» [4]. Так в III-м веке Плотин пытается до человечества, еще не знающего о существовании электромагнитных волн и полей, донести понятие, аналогичное механизму выделения энергии путем излучения.
Мыслящая Первопричина является одновременно и мыслящим, и сущим. Она существует как Ум настолько, насколько она мыслит сущее, а сущее существует как Бытие, насколько оно, будучи мыслимо, дает возможность Уму мыслить и существовать. Представляя собой единство в двойстве, Ум и Сущее не могут существовать друг без друга. Более высокое состояние по сравнению с этим двойством представляет собой чистое единство.
Третьей субстанцией Божественной Триады является Вселенская Душа, которая есть образ Божественного Разума, его осуществленная вовне энергия. Душа сообщает жизнь всей Вселенной и каждому существу в отдельности. Низойдя в мертвенно-неподвижное нечто, в громадную инертную массу, в темную бездну вещества, Душа придала ей движение, превратила ее в мир, который, будучи вечно движим разумной силой Души, стал живым существом. Как бы поселившись в мире, пропитав его животворными силами, Душа сообщила ему смысл, ценность и красоту…
Плотин вводит в качестве наивысших категорий пары противоположностей, без которых невозможно возникновение каких бы то ни было форм, и, соответственно, проявленной Вселенной. Это Ум — Сущее, Различие — Тождество, Движение — Покой. Покой, говорит Плотин, является условием или выражением тождества, а Движение — условием и выражением деятельности ума, которая (деятельность) предполагает различие мыслящего субъекта и мыслимых объектов, без которого она на почве чистого единства и тождества была бы совсем невозможна. Множественность элементов мышления дает категорию Количества и Числа, а их разнообразие дает категорию Качества. Из этих начал, или наивысших категорий, происходит затем все дальнейшее, и все роды и виды вещей.
Плотин говорит также об иерархическом принципе организации Вселенной, о целостности Космоса, о согласованном выполнении всеми его сферами, «из коих каждая заключает в себе другую», единого согласованного плана движения. «Напротив, если бы там каждый ноумен сам по себе был началом, тогда все было бы предоставлено одному случайному совпадению. Спрашивается, что тогда заставило бы их согласиться и соединиться для действия по одному плану, следствием которого могла бы быть гармония неба?» [5]
Так в трактатах Плотина Космос предстает как единая сложная целостная система, наделенная разумом и всеобщей душой. Цель человеческой жизни — восхождение к Первоединому. Задача человеческой души — вспомнить своего Отца, вспомнить Бога, научиться созерцать Его, чтобы увидеть в Нем и самого себя. А для этого, говорит Плотин, надо всецело отрешиться от всего внешнего и углубиться внутрь себя.
Философы и пророки древности посредством различных символов давали намеки, каким образом происходит созерцание Бога, однако в мистериях запрещалось делиться тайнами с непосвященными: поскольку Единое неописуемо и невыразимо для сознания и органов чувств человека, запрещается толковать о божественном с теми, кто не удостоился еще созерцать Его. Плотин, владевший практикой и техникой мистического восхождения к «сопребыванию в божественном» так характеризовал это состояние: «Так как в момент созерцания исчезает всякое «да», и созерцающий настолько отождествляется с созерцаемым, что, собственно, не созерцает его, а сливается с ним воедино, то, понятно, лишь тот может удержать в себе его образ, кто сохранит в целости воспоминание, каким он был сам во время созерцания Единого. А был он тогда един и не сознавал различия ни в себе самом, ни по отношению к иному; в этом состоянии не обнаружили себя ни гнев, ни желание, ни рассудок, ни даже мышление. Можно сказать, он и сам тут как бы исчезает, ибо, восхищенный и исступленный, оказавшись в полном уединении и в совершенной тишине, погрузившись всецело в глубину собственного существа, не обращая внимания ни на что другое, даже на самого себя, он словно столбенеет и обращается в чистый покой. … Собственно, созерцание, зрелище не вполне выражают состояние души в общении с Богом; оно, скорее, экстаз, превращение в нечто простое, прилив силы, стремление к единению, напряжение ума для слияния с тем, что желательно видеть в святилище, а в конце концов полное успокоение; кто рассчитывает как-то иначе узреть Бога, тот едва ли достигнет общения с ним» [6]. Вспомним это описание состояния души, когда будем говорить о явлении когерентности, как об одном из важнейших свойств сложного целого.
В соответствии со своими представлениями о структуре бытия Плотин признавал в качестве основных два способа познания мира: рационалистический и мистический. Главным же он считал мистический метод, то есть познание божественной истины в состоянии откровения, экстаза, а рациональное познание рассматривал лишь как подготовительную ступень к нему.
Идеи неоплатонизма, провозгласившие потребность в откровении и воплотившие как бы капитуляцию рационального исследования перед религией, послужили благодатной почвой для возникновения религиозной философии Средневековья.
С точки зрения своего учения о бытии западная средневековая философия была философией теоцентризма. Она базировалась на мысли о том, что основой, первопричиной всего существующего является Бог. Причем Бог — не только создатель мира и человека, но и постоянный руководитель всей жизни каждого. Человек не только создан Богом, но и подобен ему. Однако природа человека двойственна. В нем есть не только душа, но и тело, не только нечто божественное, духовное, но и нечто телесное, греховное. Поскольку рационально обосновать указанные положения было довольно трудно, суть теории познания средневековой философии сводилась к тому, что истиной может быть признано не только то, что обосновано разумом, но и то, что соответствует внутреннему переживанию человека, его вере. «Верю даже тому, что для разума представляется абсурдным», — исходный принцип средневековой гносеологии.
Элементы рационалистического, научного подхода в эту эпоху проявлялись при толковании библейских образов, при переводе символов на язык логики, абстрактных понятий. В качестве абсолютных истин рассматривались признаваемые церковью положения философии Платона, Аристотеля [7]. Для философии Индии, Китая, мусульманского Востока в это время источниками самого авторитетного или абсолютного знания были Коран, тексты Будды или Конфуция.
В период позднего Средневековья, под влиянием непрекращающегося роста научных знаний, проявилась более гибкая позиция по вопросу соотношения истин, полученных с опорой на веру, и истин, полученных с помощью разума. На это время приходится учение Фомы Аквинского (1225-1274), крупнейшего представителя средневековой западноевропейской философии, обосновавшего возможность гармонии веры и разума при познании мира. Поскольку оба метода — вера и разум — познают один и тот же предмет, они не исключают, а дополняют друг друга. Вера принимает истину, основываясь на чувстве, желании, воле, разум же постоянно сомневается в добытых им истинах, ища доказательств даже такой истины, как бытие Бога.
Понимая, что искренняя вера и духовный опыт доступны далеко не каждому человеку, Ф. Аквинский главное внимание уделял рациональным доказательствам существования Бога. С этой целью он разработал пять широко известных доказательств [8]:
» Первое доказательство основывается на понятии движения. Мир есть движение, причем каждая движущаяся вещь имеет свой источник движения. Но эта цепь не может быть бесконечной. Следовательно, должен быть некий первоисточник, сообщивший начало, давший первотолчок всему движению. Таким первоисточником, первотолчком мог стать только Бог.
» Второе доказательство строится на понятии причины. Мир есть совокупность взаимодействующих причин и следствий. Но в таком случае должна быть исходная, начальная причина всего сущего, первопричина. Такой причиной может быть только Бог.
» Третье доказательство основывается на понятиях случайного и необходимого. В мире много случайного, но есть также и необходимость, закономерность. Законов множество. Но кто же дал миру первый основной закон? Творцом такого закона мог быть только Бог.
» Четвертое доказательство базируется на представлении о совершенстве мира. Мир представляет собой своеобразную многоступенчатую пирамиду, каждая из последующих ступеней которой более совершенная, чем предыдущая. Но в этой пирамиде должно быть высшее, абсолютное совершенство. Это и есть Бог.
» Пятое доказательство отталкивается от понятий целесообразности. Окружающий нас огромный, разнообразный мир един, целесообразен, исполнен глубинного смысла, одухотворен. Каков же источник этой цели и смысла? Таким источником целесообразности мира может быть только Бог.
Но людям хочется эмпирического подтверждения бытия Бога, т.к. привычнее доверять свидетельствам своих чувств, чем абстрактным умозаключениям. В большинстве из нас присутствует Фома Неверующий, а не Фома Аквинский, поэтому и в настоящее время мы готовы повторить известные слова: «…если не увижу на руках Его ран от гвоздей, и не вложу перста моего в раны от гвоздей, и не вложу руки моей в ребра Его, не поверю». Но «блаженны невидевшие и уверовавшие», потому что Мир Высший нельзя познать, используя приемы и представления мира земного.
Если взглянуть на процесс эволюции мировоззрения человечества со времен античной философии и до наших дней, можно отметить, что он имеет циклический характер, обусловленный периодической сменой места духовной и физической составляющих человека на шкале иерархических ценностей общественного сознания. И, как правило, перестановка полюсов на этой шкале происходит в результате достижения такого состояния сознания, когда в прежних мировоззренческих рамках жить становится невозможно.
Эпоха Возрождения (Ренессанс), охватившая период с XIV по начало XVII вв. и зародившаяся в недрах средневекового феодализма, ознаменовала собой именно такой переворот прежней системы ценностей. На смену теоцентризму, проявившемуся в своих крайних выражениях господством церковных догматов, инквизицией, охотой на ведьм, крестовыми походами, притеснением свободной мысли, пришел антропоцентризм. Человек поставил себя на один уровень с Богом в своей иерархии ценностей. Была провозглашена идея достоинства личности, указывающая на особые свойства человека по сравнению с другими существами. Человек свободен и может стать тем, кем пожелает. В своем творчестве он подобен Создателю и призван творить миры в себе и окружающем пространстве. Одним из важнейших аспектов деятельности человека становится развитие научного знания и эффективное применение его на практике.
Но смена представлений о месте Бога и человека происходила в недрах Средневековья, поэтому эпоха Возрождения — это время как счастливых, так и трагических судеб, это время Франческо Петрарки (1304-1374), Леонардо да Винчи (1452-1519), Николая Коперника (1473-1543), Иоганна Кеплера (1571-1630), Галилео Галилея (1564-1642), Джордано Бруно (1548-1600). Это начало времени гуманистического мировоззрения, но это и продолжение времени костров инквизиции, поскольку на первый план выходят революционные взгляды о безграничности космоса, о бесчисленном множестве миров, о Боге, как безличном внутреннем деятельном начале природы.
«Бесконечные миры… все движутся вследствие внутреннего начала, которое есть их собственная душа… и вследствие этого напрасно разыскивать их внешний двигатель». Сейчас мы могли бы назвать такой характер движения процессом самоорганизации, но Джордано Бруно за отказ от церковного образа Бога, как «внешнего двигателя» мира, был сожжен на костре.
Научная революция XVI — XVII вв. привела к систематическому применению в естествознании математических методов. Из ориентации на математику вытекало основное положение рационализма о том, что источником и критерием истины не может быть опыт, поскольку чувственный опыт ненадежен, неустойчив, переменчив. Поэтому, подобно математическому знанию, философское знание должно выводиться из разума и обосновываться им. В это время возникает рационалистический (получивший название картезианского) метод Рене Декарта, в латинском написании Картезия (1596-1650), французского ученого и философа, представляющий собой по существу философское осмысление методологии математики. В работе «Рассуждение о методе» Р. Декарт сформулировал основные правила, которым нужно следовать, чтобы «вести свой разум к познанию истины» [9]:
1. Принимать за истинное то, что самоочевидно, воспринимается ясно и отчетливо и не дает повода сомнению.
2. Каждую сложную вещь следует делить на простые составляющие, доходя до самоочевидных вещей (правило анализа).
3. В познании идти от простых, элементарных вещей к более сложным (правило синтеза).
4. Полностью перечислить, систематизировать как познанное, так и познаваемое, чтобы быть уверенным в том, что ничто не пропущено.
Несмотря на рационалистический характер своих взглядов, Декарт считал, что основные разумные идеи души, главная из которых — идея Бога, не приобретенные, а врожденные. А поскольку человек обладает идеей Бога, то предмет этой идеи существует. Поэтому человеческий разум в состоянии извлечь из себя высшие идеи с помощью «внутреннего» зрения — интеллектуальной интуиции.
В отличие от Декарта Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) был убежден, что врожденные идеи не даны сразу ясно и отчетливо, а находятся в интеллекте в зародышевом состоянии и лишь постепенно развиваются до полного осознания.
Семнадцатому столетию от прошлого достался качественный мир, исследованию которого существенно помогали математические абстракции. Философия ученых того времени заключалась в следующем: законы природы, описывающие наблюдаемые явления на точном языке математики, надлежит формулировать, согласуясь с воспроизводимыми и допускающими экспериментальную проверку явлениями. Из этих законов путем математических рассуждений следует выводить новые законы.
Еще при жизни Галилея его современник Кеплер вывел три знаменитых закона движения планет. Но две области физики — земная и небесная, оказались совершенно независимыми друг от друга. Найти какую-нибудь связь между земными и небесными явлениями стало первоочередной задачей ученых. Справиться с этой задачей было суждено великому английскому ученому Исааку Ньютону (1642-1727).
К тому времени уже были все основания считать, что какой-то принцип, общий для земных и небесных явлений, все же существует. Ньютон превратил общие соображения в четко поставленную математическую задачу и, не вдаваясь в выяснение физической природы силы притяжения, решил эту задачу с помощью им же самим разработанного математического метода. Чтобы подвести прочную основу под свое исследование земных и небесных движений, Ньютон сформулировал в своих «Началах» три закона движения, известные ныне как законы Ньютона (хотя первые два закона были сформулированы еще Декартом и Галилеем) [10]:
1. Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.
2. Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
3. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.
К этим трем законам Ньютон добавил закон всемирного тяготения, который содержал главный его философский и научный вывод: все тела в мире притягиваются друг к другу по одному и тому же закону.
Основная ценность законов Ньютона заключалась в том, что они были применимы к множеству самых разнообразных явлений, как небесных, так и земных. Одни и те же количественные соотношения воплощали в себе общие, универсальные характеристики. Следовательно, знание этих формул можно рассматривать как знание описываемых ими явлений. Однако ряд отклонений в движениях планет Ньютону объяснить так и не удалось.
Более чем сто лет спустя француз Пьер Симон Лаплас (1749-1827) доказал, что величины отклонений в движении небесных тел колеблются в определенных пределах, а не возрастают неограниченно, нарушая регулярность небесных движений. Говоря современным нам языком, можно сказать, что исследования Лапласа позволили человечеству сделать вывод об устойчивости Вселенной.
Своими трудами Ньютон и его последователи явили человечеству новый мировой порядок — Вселенную, поведение которой описывается небольшим числом математических законов, в свою очередь выводимых из некоего общего набора физических принципов, также выражаемых на математическом языке. Ньютон утверждал: мир сотворен по плану и являет собой произведение Создателя, который и заботится о поддержании нескончаемой упорядоченности. Во втором издании «Начал» он писал: «Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого Существа…
Сие управляет миром не как душа мира, а как властитель Вселенной и по господству своему должен именоваться Господь Бог Вседержитель» [11].

И еще: «Таким образом, чтобы сотворить эту [Солнечную] систему со всеми ее движениями, потребовалась причина, принимавшая и сравнивавшая количества материи в нескольких телах Солнца и планет и проистекавшие от этого силы тяготения; расстояния первичных планет от Солнца и вторичных планет [т. е. спутников] от Сатурна, Юпитера и Земли; скорости, с которыми эти планеты могли обращаться вокруг количеств материи в центральных телах. И то, что сравнить и согласовать все это удалось в столь многих телах, свидетельствует, что причина была не слепой или случайной, а весьма искусной в механике и геометрии»" [11].

Математики и физики XVII-XVIII вв. создали великолепные математические теории, основываясь на явлениях, доступных восприятию наших органов чувств. Ко всем этим теориям в равной мере применимо высказывание Аристотеля, утверждавшего, что в человеческом разуме нет ничего такого, чего не было сначала в наших ощущениях. Предсказания, сделанные на основе этих теорий, превосходно согласовывались с опытом. Опыт служил для них своего рода укрепляющим средством. Правда, ученые не могли объяснить, как «действует» гравитация и как распространяется свет. Тем не менее, огромные успехи, достигнутые в описании и точном предсказании множества явлений, привели к тому, что естествоиспытатели перестали думать о физическом механизме явлений и сосредоточили все усилия на их математическом описании. Между тем, кризис математики уже приближался…

Цитируемая литература:

1. Сократ. Платон. Аристотель. Сенека: Биогр. Очерки. — М.: Республика, 1995, — С. 108-109.
2. Там же, с. 104.
3. Плотин. Космогония. Пер. с англ. — М.: REFL-book,K.: Ваклер, 1995. — С. 33.
4. Там же, с. 22.
5. Там же, с. 28
6. Там же, с. 54-55
7. Философия: Учебник для вузов/Под ред. проф. В.Н.Лавриненко, проф. В.П.Ратникова. — М.: Культура и спорт, ЮНИТИ, 1998. — С. 88.
8. Там же, с. 90-91.
9. Там же, с. 120.
10. Клайн М. Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988. — с. 130.
11. Там же, с. 141.

2. ПАРАДОКСЫ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОГО МЫШЛЕНИЯ.
ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ

Все люди почитают то, что познано познанием; а не ведают, что познание начинается лишь после того, как, опираясь на знание, познают непознанное.
Лао-Цзы

Всякая наука настолько наука, насколько в ней заключено математики.
И.Кант

Пускай не смеет и не сможет речь
В словесность бессловесное облечь.
Солги глазам и ясность спрячь в туман -
Живую правду сохранит обман.
Прямые речи обратятся в ложь.
И только притчей тайну сбережешь.
Омар ибн Аль-Фарид

Во второй половине XIX века центральными вопросами математики продолжали оставаться вопросы дифференциального и интегрального исчисления и дифференциальных уравнений, образующие область, которая известна как «математический анализ» или просто «анализ». Она возникла в результате открытий Ньютона и Лейбница и получила мощный импульс от их ближайших последователей, великих математиков XVIII и начала XIX в. — Эйлера, Лагранжа и Лапласа.
Известно, что импульсы к созданию математического анализа были даны геометрическими и механическими задачами — такими, как вычисление площадей фигур (квадратур), длин кривых, моментов инерции, отыскание траекторий и т.п., решать которые прежними средствами было затруднительно или вообще невозможно. Сразу же после своего появления анализ показал себя как исключительный по своим возможностям инструмент. Это могущество метода так увлекло математиков, что они стали интенсивно расширять круг задач, решаемых анализом, и совершенствовать его формулы, способные, казалось, описывать и обсчитывать все на свете.
Расширение сферы приложений анализа и увеличение его популярности заставило наиболее вдумчивых математиков ставить задачу его обоснования, не зависящего от приложений геометрического или механического характера. Внутренняя логика развития этой дисциплины ставила вопрос о строгости ее методов. Возникали вопросы: все ли можно продифференцировать и проинтегрировать, не задумываясь о природе исследуемого явления? Что собой представляет та минимальная величина dx, которой оперирует математический анализ? Есть ли нижний предел у этой величины? Существуют ли верхние пределы интегрирования, или же интегральная сумма не зависит от масштабов анализируемого объекта? Нужно ли при анализе учитывать качественные изменения объекта, обусловленные изменением его количественных характеристик? Примечательно, что к этому времени Гегелем уже был разработан диалектический метод теории познания, включающий в себя в качестве одного из законов переход количественных изменений в качественные. Однако математиками задачи обоснования анализа под таким углом зрения не рассматривались. Они пока искали ответ на вопрос, что представляет собою основной объект математического анализа — действительное число. Решением этой проблемы занялись немецкие математики Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831-1916), Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897).
Заглянем в современный учебник по математике и посмотрим, что представляют собой, по определению, действительные числа.
Действительное число (вещественное число) — число, которое можно представить в виде бесконечной десятичной дроби; число, которое определено дедекиндовым сечением в множестве рациональных чисел. Действительные числа подразделяются на рациональные и иррациональные.
Рациональными числами называются все положительные и отрицательные целые числа и дроби, а также нуль.
Иррациональными числами называются непериодические бесконечные десятичные дроби.
Натуральное число — число, выражающее мощность конечного множества. В зависимости от контекста или одно из чисел 1, 2, 3, … или одно из чисел 0, 1, 2, …
С точки зрения практики для выполнения измерений никаких других чисел, кроме рациональных, нам знать не нужно. Но надо иметь в виду, что задача фактического измерения заданной величины всегда есть неопределенная задача. Пусть, например, нужно измерить длину некоторого прямолинейного отрезка, данного нам физически. Самые его концы всегда несколько неопределенны, ибо всегда можно заменить данный отрезок другим, столь нечувствительно от него отличающимся, что мы не в силах обнаружить этой подмены: для этого достаточно только, чтобы разница длин обоих этих отрезков лежала за порогом чувствительности наших инструментов.
Таким образом, имеется бесчисленное множество рациональных чисел, чрезвычайно близких друг к другу, каждое из которых вполне можно принять за «истинную» длину нашего физического отрезка. Для удобства вычисления полученные значения обычно округляют до очень небольшого количества десятичных знаков измеряемой величины.
Последовательность рациональных чисел сама по себе есть всюду плотная, ибо между двумя такими числами — какими бы близкими друг к другу они ни были — всегда можно найти сколько угодно промежуточных рациональных чисел. Поэтому-то на первый взгляд кажется, что для каких-нибудь новых чисел в последовательности рациональных чисел как будто совсем не остается никакого места.
Однако указанное первое впечатление оказывается глубоко ошибочным, потому что в последовательности рациональных чисел повсюду имеются просветы. Эти просветы полностью заполнены иррациональными числами — бесконечными непериодическими десятичными дробями.
Примеры иррациональных чисел:

= 1, 4142136…
= 3,1415926536…
е = 2,718281828459045…
lg 5 = 0,6989700…

Теперь вернемся во вторую половину XIX-го века. Понятие натурального числа представлялось тогда вполне ясным. Из натуральных чисел в результате деления одного числа на другое получаются рациональные числа — обычные дроби. Но в результате той же процедуры, но с другими натуральными числами, могут получаться и бесконечные дроби — иррациональные числа. Если такая дробь является периодической (например, 0,333…), она отождествляется с рациональным числом (в нашем примере это 1/3), если не периодической — то с числом иррациональным. В теории Вейерштрасса иррациональные числа понимаются как бесконечные непериодические дроби, то есть неограниченно продолжающиеся вереницы цифр (например, десятичных знаков), которые нельзя фактически выписать и вряд ли можно представить в воображении. Вейерштрассовское действительное число — если оно иррационально — нельзя написать на бумаге: не хватит ни бумаги, ни человеческой жизни.
Дедекинд в своей теории отождествил действительные числа с сечениями в области рациональных чисел. Всякое действительное число представляется в виде системы из двух объектов: верхнего и нижнего классов сечения во множестве рациональных чисел, где классы — это множества, мыслимые как некие единичные сущности: «Для всякого сечения А А в множестве вещественных чисел существует вещественное число , которое производит это сечение. Это число будет: 1) либо наибольшим в нижнем классе А, 2) либо наименьшим в верхнем классе А » [1].
Это удается сделать потому, что для сечений оказывается возможным определить операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также отношения равенства и неравенства. При этом сечения, имеющие пограничные числа, отождествляются с рациональными числами, а сечения, не имеющие пограничных чисел, — с иррациональными. Таким образом, Дедекинд придал иррациональным числам совершенно новый смысл, определив их как сечения в области рациональных чисел.
Возникла парадоксальная ситуация: простейший объект математического анализа — действительное число, был определен через более сложный объект — бесконечное множество. Парадокс требовал своего разрешения.
Философской основой научного видения математиков того времени был так называемый математический платонизм. Вспомним, что в своей знаменитой «теории идей» Платон утверждал, что чувственно воспринимаемые объекты есть лишь бледные копии идей («эйдосов»), существующих в неком идеальном мире. Эйдосы существуют там более реально, чем существуют в материальном мире обычные вещи, поскольку обычные вещи имеют дефекты и изъяны, со временем разрушаются и исчезают, а идеи вечны и совершенны.
Математики XIX века, имевшие самые различные философские взгляды, в своем отношении к математическим объектам почти все стояли на точке зрения стихийного платонизма. Эта точка зрения очень четко проявилась в следующих словах одного из виднейших математиков XIX века — Шарля Эрмита (1822-1901): «Я верю, что числа и функции анализа не являются произвольным созданием нашего разума; я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи» [1]. Эти слова означают, что числа и функции похожи не на приборы и инструменты, которые придумали люди, а на виды растений и животных, которые существуют независимо от желания человека и его знания об их существовании и которые человек со временем лишь обнаруживает.
К тому времени математическим объектом, занявшим центральное положение в иерархии «платонических идей» стало «множество». В математической науке наступила эпоха теоретико-множественного мышления. В анализе постоянно встречались множества — множества первообразных, множества решений уравнения, множества интегралов, множества дифференциальных уравнений данного типа, множества самосопряженных операторов, множества квадратичных форм от n переменных и т.д. Идея множества вообще стала казаться понятием самым ясным и доступным среди всех понятий, которыми оперирует математическое мышление.
Большой вклад в разработку теории множеств внес Георг Кантор (1845-1916). Он исследовал свойства абстрактных множеств и расклассифицировал множества в зависимости не от конкретной природы элементов, их составляющих, а от «количества» элементов множества. Кантор разработал изящные способы сравнения множеств по величине и упорядочения множеств, введя центральное понятие своей теории — понятие мощности множества, которое есть некий аналог понятия количества элементов конечного множества. Самым поразительным для сознания ученых оказался тот факт, что множества, несмотря на их бесконечность, могут отличаться друг от друга по своей мощности.
Вскоре выяснилось, что множество действительных чисел (континуум) — далеко не самое мощное: его превосходит по мощности, например, множество всех действительных функций одной переменной, заданных на единичном отрезке. Вообще, Кантор показал, что по множеству данной мощности всегда можно построить еще более мощное множество — для этого достаточно взять множество всех подмножеств данного множества.
В письмах и статьях Кантора, в комментариях к его математическим работам не раз встречаются фразы, из которых можно заключить, что Кантор возводит свою теорию как бы вопреки собственной воле, на каждом этапе работы изумляясь полученному результату, как будто противоречащему интуиции и здравому смыслу. Известно его восклицание по этому поводу: «Вижу, но не верю!».
Но рациональный ум требовал наведения порядка в хаосе всех этих множеств, множеств множеств, множеств множеств множеств… Наибольший вклад в осмысление сложившейся ситуации внес выдающийся немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862-1943). Он рассуждал следующим образом: бесконечные множества не соответствуют ничему реальному в природе. Но ведь и в задачах, где исследуются целые числа, могут в промежуточных фазах вычисления встретиться дроби, которые тоже ничему реальному не соответствуют и которые в окончательный результат не войдут, — они вводятся для удобства вычислений, из соображений формальной простоты и компактности. То же можно сказать и о комплексных числах, которые не описывают процесс, а сокращают путь решения задачи, делают его более лаконичным и простым. Иными словами, кратчайшая дорога, соединяющая области реальные, может пролегать по области «воображаемых» объектов — «идеальных элементов». Следуя этой логике, Гильберт и теоретико-множественные построения объявил лишь вспомогательными элементами науки. Математика может без опаски пользоваться этими элементами, если удастся доказать раз навсегда, что теория, построенная с их участием, не приведет к противоречию. Интуиция подсказывала, что ситуация неоднозначна, поэтому доказательство надежности математики жизненно необходимо. Надежность математики — в ее непротиворечивости, но непротиворечива ли она — это как раз и требовалось доказать.
Гильберт подошел к решению проблемы непротиворечивости математики с позиций формальной логики. В основу ее легла так называемая аксиоматическая теория, представляющая собой формальную систему, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, которые ей удовлетворяют. Основное внимание в рамках этой теории уделялось установлению непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т. д. Знаковые системы рассматривались вне зависимости от содержания, которое может быть в них представлено. Гильберт считал, что мышление, научная работа нуждаются в системе знаков, на которые могут опереться логические рассуждения. Знаки — внелогическая категория, утверждает Гильберт. Для научного мышления представляют ценность не любые знаки, а такие, которые человек может уверенно отличать друг от друга или, наоборот, отождествлять друг с другом — только в этом случае их можно использовать для построения теории. «Только известная часть комбинаций и следствий из физических законов может быть контролируема опытом, — подобно тому, как в моей теории доказательства только реальные высказывания могут быть непосредственно проверяемы» [3].
Основная цель науки, по Гильберту, — познание мира. Но сущность вещей не лежит в их «верхнем слое», непосредственно открытом чувственному восприятию. Поэтому методологически неправильно каждую отдельную формулу и каждый отдельный знак «проверять» сопоставлением с действительными объектами. Теория — вещь гораздо более сложная, чем простое «фотографирование» объектов. Установив правила работы со знаками с помощью известных законов природы или с помощью некоторых гипотез (которые потом могут быть отвергнуты, если теория не оправдает себя), на следующем этапе работы мы можем отвлечься от прежней, внешней реальности и перейти к новой реальности — знаковой системе с ее правилами, которые, хотя и были установлены нами самими, теперь предстают перед нами как объективная реальность. Таким образом, через переход к системе знаков, символов математики пытались с одной стороны, исключить влияние на расчеты каких-либо субъективных факторов, связанных с особенностями чувственного восприятия каждого человека, с другой стороны — ускорить проведение математических операций за счет исключения необходимости сверять каждый шаг в расчетах с опытными данными.
Аксиоматический метод является одним из способов дедуктивного построения научных теорий. В случае дедуктивного вывода следствия содержатся в посылках в скрытом виде, и они должны быть извлечены из них в результате методов логического анализа. Дедуктивный вывод — это путь от общего к частному.
При аксиоматическом методе построения производятся следующим образом:
1. Выбирается некоторое множество принимаемых без доказательств предложений определенной теории (аксиом).
2. Входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории.
3. Фиксируются правила вывода и правила определения данной теории, позволяющие соответственно переходить от одних предложений к другим и вводить новые термины (понятия) в теорию.
4. Все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из (1) на основе (3).
Таким образом, формулы — это конечные (финитные) наборы значков, придуманных самими математиками. Тот факт, что одно утверждение можно вывести из другого, есть просто некая работа с этими формулами, которые не имеют никакого отношения к их смыслу. Все истинные формулы получаются с помощью правил вывода из аксиом, то есть базовых положений, не требующих доказательств. Теперь же требовалось доказать, что в математике не существует ограничений для применения научных знаний, формально выведенных из принятых аксиом, а для этого необходимо было вначале доказать непротиворечивость арифметики, на которой, собственно, и базировался математический анализ.
У Гильберта было глубокое убеждение в том, что можно «финитными» (конечными) средствами доказать непротиворечивость арифметики, после чего и вся математика — с анализом и всеми ее «идеальными элементами» — станет в логическом смысле абсолютно истинной и превратится в инструмент исследования стопроцентной надежности. Гильберт показал, что непротиворечивость геометрии такова же, как и непротиворечивость арифметики, то есть что если арифметика непротиворечива, то непротиворечива и геометрия. Итак, все замкнулось на арифметику.
Но какова «природа» элементов абстрактной, формальной системы? В частности, что такое точки и прямые абстрактной геометрии? Гильберт ответил на эти вопросы с точки зрения аксиоматического метода. Точки, прямые и плоскости он назвал «тремя системами вещей», удовлетворяющих аксиомам геометрии. Таким образом, он объявил аксиомы скрытыми (неявными) определениями основных понятий некоторой абстрактной структуры. Точки, прямые и плоскости — это любые вещи, которые подчинены условиям, что для любых двух точек существует прямая и притом только одна, проходящая через каждую из этих точек; что через прямую и точку, на ней не лежащую, проходит одна и только одна плоскость, и т. д. Но было нечто, что вызывало сомнения. Смущало то, что простые понятия — аксиомы Гильберт определял через понятия более сложные. Так, не зная, что такое прямая, нельзя было понять, что такое точка, не имея представления о том, что такое плоскость, нельзя было дать определение прямой. Но «аксиомы науки суть высшая и наибольшая общность всех суждений, из которых состоит данная наука». А такой общности не получалось.
Анри Пуанкаре (1854-1912), французский математик, одновременно с Энштейном пришедший к основным понятиям специальной теории относительности, так писал о системе Гильберта: «Гильберт старался, так сказать, представить аксиомы в такой форме, чтобы они могли быть прилагаемы лицом, которое не понимало бы в них смысла, потому что никогда не видело ни точки, ни прямой, ни плоскости. Рассуждения, должны, по его мнению, приводиться к чисто механическим правилам; и для того, чтобы строить геометрию, достаточно рабски прилагать эти правила к аксиомам, не зная, что они, собственно, выражают. Таким образом можно было бы построить всю геометрию, я не скажу, ничего в ней не понимая, потому что будет понятно логическое сцепление предложений, но по крайней мере ничего в ней не видя» [4].
Алексей Федорович Лосев (1893-1988), философ, филолог, занимавшийся исследованием диалектических основ математики, протестуя против формализма Гильберта, говорил о том, что принимая геометрические аксиомы в предложенной форме, мы делаем вид, будто не знаем, что такое точка, прямая, плоскость и проч. Но в то же время мы рассуждаем о трехмерном пространстве, следовательно, интуитивно уже знаем, что имеется и двумерное, и одномерное пространство. «Беда только в том, что если действительно стоять на точке зрения абсолютного формализма, то ни из единицы нельзя получить двойку, ни из одномерного пространства нельзя получить двумерное, так как все эти переходы не просто логические. Из того, что существует точка, ровно не следует, что существует и прямая; и из наличия четырех точек не в одной плоскости ровно не следует (формально-логически не следует), что существуют и три точки не на одной прямой или две вообще различные точки. … Все дело в том-то и заключается, что тут не просто формальная связь абстрактных понятий, но интуитивная очевидность и тут даже вовсе не понятия, а математические факты. Только интуитивно одно измерение предполагает другое, так как если мы фиксирует прямую, то тем самым косвенно фиксируем и плоскость, на которой она находится. Но Гильберт изгоняет всякую интуицию» [5].
А. Ф. Лосев вводит в самом общем виде свое определение геометрической аксиомы: «геометрическая совокупность — такая совокупность, в которой абсолютно изолированные элементы даны в своем инобытии. В приведенной конкретизации: абсолютно изолированные элементы суть точки — две, три, четыре (их может быть сколько угодно); совокупность — это отождествление данных точек; инобытие — это общепространственное отождествление точек, общепространственное их объединение» [6].
Инобытие — структура, новое качество, которое возникает при рассмотрении прежде изолированных элементов в виде совокупности. Говоря современным языком, изолированность точек — это хаотическое состояние элементов, набор без определенного смысла; совокупность точек — это упорядоченность, целостность, наличие определенной структуры, придающей этому целому вполне определенное качество.
В 1931 году молодой австрийский математик Курт Гёдель опубликовал найденное им доказательство (мета)теоремы, которая многими рассматривается как поворотный пункт в науке об основаниях математики и в математической логике. Методами, признанными подавляющим большинством математиков совершенно строгими, Гёдель доказал, что в формализованной арифметической системе есть такие формулы, которые по своему содержанию должны быть либо истинными, либо ложными, но которые не могут быть в этой системе ни доказаны, ни опровергнуты. Опираясь на этот результат, названный теоремой о неполноте, Гёдель доказал, что если арифметика и непротиворечива, то ее непротиворечивость нельзя доказать формальными средствами. Другими словами, не существует полной формальной теории, где были бы доказуемы все истинные теоремы арифметики.
Логика — это совокупность правил и процедур, по которым следствия могут быть получаемы из посылок, причем эти правила и процедуры не зависят от содержания посылок и следствий, а также ни от каких субъективных или внешних факторов (настроение, эмоции, погода, время года и пр.), а зависит только от формы выражения. Это значит, что логика слепа к содержанию. Но процесс познания нельзя в целом автоматизировать, поскольку истина по своей сути не формальна, а содержательна.
Вывод о неполноте формальной теории Гёдель сделал, столкнувшись в своих построениях с формулой, представляющей собой метавысказывание о собственной недоказуемости: «Я, формула F, недоказуема». По своей сути эта формула аналогична парадоксальному высказыванию «я лгу». Верить или не верить этому утверждению? Если говорит лжец «я лгу», то он может и солгать, что он лжет. А если «я лгу» говорит человек, не способный солгать? Следовательно, чтобы поверить утверждению «я лгу», мы должны узнать, что собой представляет человек, говорящий эту фразу, а для этого необходимо выйти за пределы системы «слушатель — лжец» и собрать соответствующую информацию.
Предположим, что формула «Я, формула F, недоказуема», доказуема. Тогда, если логико-арифметическая система непротиворечива (то есть все доказуемые в ней формулы истинны), данная формула не может быть доказуемой. Но данная формула не только недоказуема, но и неопровержима, то есть недоказуемо ее отрицание. Таким образом, в принятых рамках эту формулу нельзя ни опровергнуть, ни доказать — это неразрешимая формула. Существование же в формальной системе неразрешимой формулы означает неполноту системы.
Из теоремы Гёделя следует очень важный мировоззренческий вывод: любая теоpетическая модель покоится на утверждениях (аксиомах), пpинципиально недоказуемых в pамках этой модели. Поэтому эти утверждения пpинимаются на веpу. Но в рамках этой же модели невозможно и отрицание принятых утверждений. Следовательно, для доказательства или отрицания принятых аксиоматических утверждений придется стpоить более общую теоpию с новыми аксиомами и т.д.
Современные тенденции в развитии научно-философских знаний об окружающем нас мире, скорее всего, приведут к тому, что в конце концов возникнет ситуация, когда, углубившись в тайны микромира, мы вынуждены будем принять (или не принять) на веру такое понятие как дух, отождествив его со сверхтонкой разумной энергией, а устремившись к космическим высотам, должны будем принять или не принять идею существования Бога, Творца, Высшего Разума. И человечество будет находиться в таком раздвоенном состоянии веры и неверия до тех пор, пока не получит доказательств, переводящих веру в безусловно достоверное знание.
Категорические споры по поводу расхождения в понимании глубочайших основ бытия не утихнут, пока человечество в подавляющей своей массе не сможет «преодолеть себя», выйдя за пределы своего настоящего опыта. Новые знания требуют расширения сознания, пересмотра иерархии ценностей, смены научной парадигмы и т. д. Другими словами, чтобы ответить на вечные вопросы, необходимо суметь посмотреть на себя и на мир, в котором мы живем, со стороны, с более высокого уровня сознания. Показал же этот путь научному миру Курт Гёдель, занимаясь далекими от подобных проблем исследованиями — всего лишь изучая непротиворечивость арифметики. Тем не менее, в его теореме о неполноте кроется огромный заряд антидогматизма, напоминающий о том, что именно ограниченность человеческого разума является причиной иллюзорности окружающего мира. Каждый человек строит определенную модель окружающего мира и живет в ней. Иногда этого оказывается достаточно. Но вся проблема в том, что иллюзорность в восприятии мира порождает иллюзорность целей. Отсюда всевозможные столкновения, конфликты, войны.

Цитируемая литература:

1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, том 1. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. литературы, 1957. — С 23.
2. Бирюков Б.В., Тростников В.Н. Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики (Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики). М.: Знание, 1977 г. — С.
3. Там же, с.
4. Лосев А.Ф. Хаос и структура. М.: Мысль, 1997. — С. 162.
5. Там же, с. 163.
6. Там же, с. 157.