Так, цитированный выше Александров, анализируя проблему соотношения предмета математики как «количественных отношений и форм, взятых в чистом виде» с «реальными формами и отношениями действительности», сделал следующий вывод: «Это и есть коренное (т.е. главное – В.Л.) противоречие в самой сущности математики» [1, с. 70]. Конкретизируя далее это положение, он, в частности, писал: «По содержанию развитие математики определяется ее предметом, но побуждается оно в основном и конечном счете потребностями производства» [1, с. 73].
Таким образом, развитие математики объясняется следующими двумя факторами. Во-первых, внутренней логикой ее развития, т.е. решением проблем ее «чистого предмета», стремлением раскрыть новые закономерности взаимосвязи «чистых форм и отношений» явлений реального мира абстрагировано от их конкретного содержания. Во-вторых, в еще большей мере решением проблемы взаимосвязи данных «чистых форм и отношений» с их конкретным содержанием, т.е. разрешением коренного или главного противоречия математики. Причем, в соответствии с принципами марксистского учения, Александров решающую роль в таком разрешении и в развитии математики отводит «потребностям производства».
Исходя из принципов диалектической методологии, изложенных в [1], такое понимание сущности математики и ее развития будем рассматривать как особую специфическую форму проявления сформулированного А.Ф.Лосевым «основного принципа всякого мышления», т.е. «отождествления и различия» [2, с.144]. А поэтому и как проявление взаимодействия двух всеобщих противоположных тенденций познания, а именно – его движения от конкретного к абстрактному и обратно, а также «оборачивания этих методов», совершаемого интуитивно или осознанно. Особенно следует отметить, как это будет подробнее раскрыто ниже, что именно «чистая математика» сыграла важнейшую роль в историческом становлении теоретического мышления, в той внутренней логике оперирования абстракциями высшего уровня во все большей относительной самостоятельности от практической деятельности. Это и обусловило развитие сциентического направления в науке и философии, а затем и то сциентическо-технократическое направление в деятельности человечества, которое, по сути дела, в основном, продолжает господствовать и поныне. Все это даст возможность рассматривать математику как ту особую важнейшую форму нашего мышления, общие законы которого раскрываются в синергетической теории диалектики. А тем самым и включить ее в современную субординированную систему наших знаний о реальном мире.
Следует также остановиться на том, что разрешение сформулированного выше главного противоречия математики, определяющее ее развитие, далее будет рассматриваться как особая форма разрешения тех важнейших противоречий современной философии, о которых речь шла в [3], прежде всего противоречия между практической и теоретической деятельностью людей, между теми философскими системами, которые исходили из признания приоритета только одной из них. Такой подход направлен на то, чтобы в более систематическом виде включить достижения математики и в разрешение важнейших противоречий современной философии, а тем самым и в оптимизацию разрешения ее основного современного вопроса – выживания и развития человечества.
К более детальному анализу основных исторических форм главного противоречия математики вернемся ниже. Здесь же приступим к рассмотрению, на основе разрешения данного противоречия, проблемы возникновения математики. Прежде всего начнем с анализа основных этапов пред и стории ее возникновения. Так, уже многие насекомые, обладающие примитивными психическими способностями, например, пчелы, могут различать определенное большее или меньшее число одинаковых предметов, т.е. как бы «считать» их и на этой основе осуществлять тот или иной оптимальный выбор данного целесообразного действия из ряда возможных (Р. Шовен. От пчелы и до гориллы.-М.1966. Глава 1). С развитием психики у высших животных и особенно у первых людей данная способность «счета» в выборе целесообразной деятельности стала играть все большую роль.
Вместе с тем, следует отметить, что такой выбор деятельности на основе определенных способностей «математического счета» у живых организмов происходил как чисто стихийный психический процесс раскрытия закономерной связи между общей количественной определенностью объектов деятельности и выбором конкретной деятельности. А у людей эти закономерности и даже сами процессы «счета» на протяжении большей части истории общества не разворачивались в каких-либо формах сознания и речи, т.е. осуществлялись как чисто интуитивные процессы. Поэтому далее, на основе принципов синергетической методологии, попытаемся осуществить первый методологический набросок основных этапов становления математики как «осознанной истории», а также рассмотреть роль каждого из этих этапов в становлении диалектических закономерностей познания (интуитивных и философско-осознанных).
Принципиально новая форма вышеупомянутого «счета» возникает на этапе мифологического мировоззрения людей, когда и появляются первые слова-понятия о числах. Изучение истории становления этих первых арифметических понятий у самых отсталых племен в ХІХ-ХХ веках позволило раскрыть следующую историческую закономерность. Вначале возникли слова, обозначающие некоторое небольшое число предметов только определенного качества, обычно от одного до трех. Так, например, три овцы и три верблюда обозначались разными словами. Большее же количество таких предметов обычно обозначалось словом «много». На последующем историческом этапе развития человеческой речи возникают слова, обозначающие определенное число предметов абстрагировано от какого-либо их особого качества, что присуще и современной «чистой» математике. При этом в историческом развитии сознания уже на мифологическом его этапе происходит становление тех слов-понятий, которые обозначали все большее число предметов практической деятельности людей, а также некоторые первичные арифметические правила взаимосвязи данных чисел. Это, как отмечает например А.Г. Барабашев в своей книге «Диалектика развития математического знания» [5], и явилось важнейшей необходимой предпосылкой на пути к возникновению исторически первой науки – практической математики древних цивилизаций.
Анализ закономерностей становления первых научных форм математического знания играет важную роль и для решения следующих проблем. С позиции принципа совпадения онтогенеза человека с общей тенденцией филогенетического развития человечества раскрытие закономерностей становления исторически первых форм математического знания должно быть использовано и для разработки методик преподавания математики детям на первых стадиях их обучения. Не менее важную роль раскрытие таких закономерностей играет в деле разработки современных проблем связи математики со всей системой знаний о явлениях реального мира и практической целесообразной деятельности людей. А поэтому и в преодолении тех разрывов между высшими уровнями обобщающего теоретического знания и более конкретными знаниями о всех их низших уровнях, включая практическую деятельность людей, которые существуют и в наше время.
В частности это относится и к решению той проблемы взаимосвязи математики с конкретными явлениями, о которой Кант писал следующее: «Этот схематизм нашего рассудка в отношении явлений и их чистой формы (в частности математической – В.Л.) есть скрытое в глубине человеческой души искусство, настоящие приемы которого нам вряд ли когда-либо удастся угадать у природы и раскрыть» [6, т. 3, с. 223]. Подобные взгляды развивали и многие другие мыслители, в том числе и современные.
По сути дела эти взгляды представляют собой конкретизацию широко распространенной точки зрения на соотношение нашего языка (в данном случае математического) с реальной действительностью, о которой, например Мартин Хайдеггер писал: «Суть языка не может быть понята ни одной наукой. Ибо она есть тайна всех тайн» [7, с.170]. Однако, в данной работе как раз осуществляется попытка систематического изложения той новой синергетической методологии, которая раскрывает закономерности этого «схематизма» взаимосвязи как математических, так и всех других понятий высших абстрактных уровней, с конкретными явлениями, с практической деятельностью людей.
Известно, что исторически первая наука – практическая арифметика, появляется в государствах древнейших цивилизаций. Это было обусловлено задачами решения следующих важнейших практических проблем: необходимостью строгого регулирования процессов сбора налогов, распределения собранных средств для более успешного решения важнейших процессов функционирования и развития данного государства, широким развитием торговли как внутри государства, так и в его взаимосвязях с окружающим социальным миром и рядом других [5]. Все это обусловило прежде всего возникновение и развитие так называемой практической арифметики этих цивилизаций. Можно ли практическую арифметику (а затем и практическую геометрию, о чем речь будет идти ниже) рассматривать как науку? Ответ на этот вопрос является дискуссионным. Поскольку главная задача математики в этот период сводилась только к решению практических проблем, то этим она существенно отличается от рассмотренного выше предмета чистой математики, ее внутренней логики, применяемой зачастую независимо от практической деятельности.
Однако, как это попытались доказать некоторые математики и специалисты в области ее философских вопросов, в частности упомянутый Барабашев в цитированной выше книге, практическая математика древних соответствует некоторому общему определению науки. А именно, она также имеет ту свою внутреннюю логику взаимосвязи понятий (в частности чисел), которая в практической математике могла применяться для планирования и предсказания все более отдаленных результатов практической деятельности. Т.е. уже на этом этапе происходит становление все большего относительно самостоятельного оперирования теоретическими понятиями по законам внутренней логики математики в значительной мере абстрагировано от непосредственно практической деятельности.
Наряду с практической арифметикой древних, хотя несколько позже, происходило и становление практической геометрии. Оно было обусловлено главным образом решением проблем производства в тех первых цивилизациях, которые, как известно, возникли в южных странах на землях затопляемых разливами рек. Поскольку конфигурация тех площадей плодородной почвы после прекращения очередного разлива могла существенно изменяться, то это стало главной производственной причиной разработки практической геометрии. Ее основной задачей стало справедливое разделение этих новых конфигураций площадей между теми субъектами, которые выращивали на ней урожай. Об этом свидетельствует и сам термин «геометрия», т.е. буквально – землемерие.
С позиции концепции данной работы о синергетической природе всего реального мира и нашего познания, приведенные выше этапы становления все более высоких «математических способностей» живых организмов и людей будем рассматривать как особые стихийные, а у людей интуитивные диалектико-синергетические формы раскрытия «параметров порядка» в реальном мире и человеческой деятельности. Эти параметры начали играть важную роль в выборе субъектами целесообразной деятельности одного определенного действия из множества других возможных как «неустойчивых траекторий» такого выбора. Анализ специфических форм становления данных стихийных способностей у живых организмов и чисто интуитивных у людей потребует специального исследования. Здесь же отметим, что именно интуитивное мышление людей в его творческой и репродуктивной формах играло, на протяжении значительного исторического периода, по сути дела единственного средства взаимосвязи математических закономерностей, как определенных «параметров порядка» в явлениях реального мира и целесообразной деятельности с ними, с самыми этими конкретными явлениями подчиняющимися тем синергетическим закономерностям, в которых важнейшая роль принадлежала хаотическому началу.
Все это еще раз говорит о синергетической природе интуитивного мышления людей, о его важнейшей роли во взаимодействии людей с любыми объектами окружающего мира подчиняющимися синергетическим закономерностям. Вместе с тем, поскольку прогресс нашего мышления и всей целесообразной деятельности связан с раскрытием тех закономерностей, которые ранее осуществлялись только в интуитивном мышлении, – в осознанно-логической форме [3], то далее попробуем раскрыть как этот прогресс осуществлялся и осуществляется в развитии математики. В этой связи остановимся прежде всего на рассмотрении специфики практической математики, по сравнению с предшествующими формами «математических способностей», как принципиально нового этапа становления логического мышления. Эту специфику можно свести к следующим основным положениям.
В практической математике началось осуществляться как образование понятий все более высокого уровня абстрагирования чисел и т.д., так и раскрытие новых арифметических и геометрических закономерностей взаимосвязи данных понятий, которые использовались для успешного предсказания и планирования все более отдаленных результатов практической деятельности.
Эта важнейшая и все увеличивающая роль внутренней логики практической математики обусловила необходимость подготовки все большего количества тех специалистов, а именно писцов-математиков и жрецов, которые не только применяли достижения данной науки для решения практических проблем, но и занимались дальнейшей ее разработкой, а также обучением практической математике. Последнее обусловило значительное убыстрение темпов развития не только самой этой математики, но и ее практических применений в целесообразной деятельности людей. А тем самым и дальнейший прогресс в развитии общества.
Особенно следует отметить, что дальнейшее развитие относительно самостоятельной от практики внутренней логики практической математики со временем станет одной из главных причин становления тех форм теоретического мышления, которые зачастую стали функционировать уже в основном или даже полностью независимо от практической деятельности. Речь идет о возникновении теоретической математики и первых философских систем, которые вначале у некоторых философов развивались в неразрывном единстве. Так, известно, что один из первых древнегреческих философов и математиков — Фалес, также как и ряд других, обучался у жрецов Египта, владевших основными достижениями практической математики своей эпохи.
Более детальный анализ социальных причин становления все более самостоятельной от практики теоретической мыслительной деятельности также потребует специального исследования. Здесь же отметим, что с гносеологической точки зрения суть этого нового этапа заключается в следующем. На предшествующих этапах становление элементов теоретического мышления было обусловлено практическими задачами и подчинено им. На новом же этапе теоретическое мышление начало играть все более важную самостоятельную роль в деятельности людей. В связи с разделением деятельности людей на практическую и теоретическую в древней Греции возникли два важных понятия – «техне» и «фюсис». Первое из них обозначало такие виды деятельности как мастерство, умение, искусство [8, с. 654]. Оно включало в себя деятельность ремесленников, земледельцев, архитекторов и т. д. Позже на этой основе возникли понятия «техника» и «технология». Им противопоставлялось понятие «фюсис» (позже – латинское «физика»). Книгу Аристотеля под последним названием «открывает комплекс естественно-научных сочинений», который посвящен «фундаментальным понятиям учения о природе» [8, с. 692]. Затем на основе этого учения появилось понятие «метафизика» (буквально – после физики) как «первая философия …,познающая высшие принципы бытия» [8, с. 357]. Таким образом, уже древнегреческие мыслители сформировали проблему соотношения практической и теоретической деятельности людей, решение которой и на последующих исторических этапах развития философии и всего общества, включая и современное, играло и играет важнейшую роль.
Однако, в соответствии с названием данного раздела работы, здесь мы остановимся только на анализе проблемы роли математики в становлении философии и их взаимосвязи. Прежде всего следует отметить, что все увеличивающаяся роль внутренней логики практической математики стала одной из главных причин возникновения первых философских систем как теоретико-рефлексивного анализа существовавших в то время религиозно-мифологических учений, т.е. возникновения принципиально новой формы мировоззрения, его развития. Тем самым важнейшая и все увеличивающаяся роль внутренней логики практической математики, а также и зачатков других наук, обусловили то, что на определенном историческом этапе возникло стремление раскрыть подобным способом и определенные закономерности взаимосвязи основных понятий мировоззрения, их субординацию. Это следует рассматривать и как становление тех определенных форм содержательно-логической систематизации данных понятий, категорий в каждом из философских учений, которые начали играть важнейшую роль в их дальнейшем развитии, а поэтому, в убыстрении темпов развития мировоззренческих учений.
Все более увеличивающаяся роль относительно самостоятельной от практики внутренней логики развития практической математики явилась и той важнейшей причиной, которая обусловила становление теоретической математики как принципиально нового этапа развития этого вида знания. Его суть заключается в том, что проблемы, которые возникали в процессах анализа внутренней логики развития математики, стали часто решаться независимо от их практического применения. Это и обусловило возникновение той «чистой математики», предмет которой был сформулирован Александровым, а также и тех новых теоретических методов, которые стали играть роль внутренней логики ее развития.
3.2 . РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ ПОСТОЯННЫХ И ПЕРЕМЕН — НЫХ ВЕЛИЧИН В СВЕТЕ СИНЕРГЕТ ИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ МИРА
Приступая к анализу становления основных исторических этапов теоретической математик, будем прежде всего опираться на работу В.Э.Войцеховича «Становление и развитие математической теории» [9]. Развивая в ней идеи выдающегося математика А.Н.Колмогорова, он разработал концепцию о наличии трех основных этапов такого становления: 1) «Элементарная математика постоянных величин». 2) «Математика переменных величин». 3. «Современная математика» [9, с.24]. Конечно, как это будет раскрыто ниже, такая периодизация нуждается не только в своей конкретизации, но и в существенном уточнении с позиций предлагаемой в данной работе методологии. Исходя из этого, начнем наш анализ становления системы элементарных постоянных величин как исторически первого этапа теоретической математики.
Как известно, первым создателем учения о теоретической математике считается Пифагор. Причем, свое учение о теоретической арифметике он рассматривал и как сущность всей философии. Как писал Аристотель, Пифагор считал, что «все есть число», что именно числа и их соотношения дают возможность понять порядок и гармонию реального мира, объяснить его единство, все его закономерности. В этой связи Энгельс писал о пифагорейцах: «Подобно тому как число подчинено определенным законам, так подчинена им вселенная. Этим впервые высказывается мысль о закономерности вселенной» [10, т. 20,с. 503]. Тем самым это и явилось важнейшей причиной становления философии, которая раскрывает всеобщие закономерности реального мира и человеческой деятельности.
Как отмечал Евклид, пифагорейцы считали, что «единица есть то, через что каждое из существующих считается единым». Таким образом, число «один» пифагорейцы стали рассматривать как высший абстрактный уровень раскрытия сущности единства любого отдельного явления, включая и мир в целом. Отсюда следовало также, что законы мира определяются в конечном счете соотношением единиц. Позже, развивая эти идеи, Н.Кузанский рассматривал «символы математики» как «тождество само по себе» [11, с. 24]. Тем самым он считал, что математические символы представляют собой отражение тех общих свойств и отношений явлений реального мира, которые, абстрагируясь от их различий, раскрывают тождественное в этих явлениях, их свойствах и отношениях. Пифагору приписывается и раскрытие теоремы о соотношении катетов прямоугольного треугольника с его гипотенузой. Стремясь применить арифметику к объяснению конкретных явлений, пифагорейцы раскрыли некоторые важные закономерности в отдельных областях реального мира. Например, что гармоническое созвучие издают одинаково натянутые струны, длины которых относятся между собою как целые числа, в частности 1 к 2 – октава, 3 к 2 – квинта, а также и ряд других закономерностей.
Все это дает возможность рассматривать учение пифагорейцев как исторически первую попытку математической редукции. А тем самым осуществлять сведение сущности человеческих знаний о конкретных явлениях к их общим арифметическим фундаментальным закономерностям. Поскольку идеи как математического, так и других форм подобного сведения до сих играют важную роль, то в данной работе следует рассмотреть – каким образом те общие принципы диалектического сведения-выведения, раскрытые в монографии [1], конкретизируются в математической области современного знания о природе и обществе.
Таким образом, математические символы арифметики (а затем и геометрии) раскрывали высший уровень «тождества самого по себе» любых явлений, а соотношение таких символов (которое также стало выражаться определенными новыми символами) раскрывало такой же абстрактный уровень законов чистой математики о соотношении явлений реального мира, которые являлись тождественными для любых его областей. Все это обусловило то, что развитие теоретической математики уже в древней Греции сопровождалось становлением классической формальной логики как науки об общих законах оперированием в нашем мышлении не только с математическими, но и с любыми другими самотождественными объектами реального мира. В монографии [1] было обосновано, что эта формальная логика представляет собою идеализацию процессов нашего содержательного мышления, а поэтому и некоторіх из тех его общих закономерностей, которые раскрываются в современной синергетике. Поэтому далее будет осуществлена попытка конкретизации такого понимания формальной логики и математики в плане анализа истории их развития, особенно применительно к раскрытию роли их современного состояния в решении острейших проблем человечества.
Несколько позже теоретической арифметики в древней Греции возникает и теоретическая геометрия. Причем, она стала играть еще более важную роль в дальнейшем развитии как математики [3, с. 49], так и философии. Известно, что у входа в философскую академию Платона, являвшегося и основателем теоретической геометрии, была надпись: «Сюда запрещен вход тому, кто не знает геометрию». Почему именно геометрия стала играть важнейшую роль в развитии древнегреческой философии?
С. А. Яновская писала в этой связи, что если арифметика той эпохи оперировала только с дискретными числами по определенным «жестким алгоритмам» [12, с. 165], то в отличие от этого «в геометрии мы имеем дело уже с непрерывными величинами», с понятием «числа-меры» применительно к измерению этих величин [12, с. 166]. Таким образом если «диалектически мыслящий Декарт», ввел в алгебру понятие переменной величины, то задолго до этого в древней геометрии стало разрабатываться близкое к нему понятие непрерывной величины. Все это дает возможность рассматривать уже методы и методологию древнегреческой геометрии как важнейшую форму диалектического сведения и выведения. Так, Яновская отмечает, что в отличие от «жестких алгоритмов» арифметики той эпохи, «в геометрии мы имеем дело с алгоритмами сводимости» [12, с. 180].
Сущность такой сводимости в геометрии Евклида она поясняет следующим образом. Постулаты геометрии «формализуют точные задачи, которые признаны им за уже решенные» [12, с. 178] (или, добавим, как признанные абсолютно очевидными истинами, не требующими доказательств). Поэтому «ее теоремы должны доказываться исходя из постулатов и аксиом геометрии…» [12, с. 166]. Поскольку же во многих теоремах геометрии раскрывались те закономерности, которые часто явно соотносились с пространственными соотношениями явлений реального мира, то именно геометрия рассматривалась уже Платоном как важнейшее средство разработки диалектического восхождения от конкретного к абстрактному и наоборот. Тем самым речь идет о становлении того принципиально нового этапа развития человеческого познания, на котором происходит переход от чисто интуитивных диалектических процессов взаимосвязи конкретного и абстрактного (в том числе и в раскрытии «жестких алгоритмов» древней арифметики) к раскрытию диалектико-логических закономерностей этих переходов сначала в специально-геометрической, а затем и их обобщения в диалектической философии.
Раскрытие в геометрии вышеупомянутых методов сводимости сыграло важнейшую роль в становлении того диалектического принципа предельного обобщения, посредством которого раскрываются глубоко скрытые от нас сущности явлений реального мира, включая их тождественную субстанциональную основу. Поэтому А.Ф.Лосев писал о «зрелом Платоне», что он рассматривал предельные обобщения «как абсолютную реальность, как мир субстанций» [13, с. 35]. В этой связи и Яновская пишет о важной роли такого «предельного обобщения» в изменении непрерывных величин в математике, которое приводит к введению понятия «бесконечной величины», а также к обобщению данного процесса в философской категории «бесконечность». При этом особое внимание она уделяет анализу положения Аристотеля о том, что «бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным» [12, с. 168]. Все это свидетельствует о том, что уже мыслители той эпохи раскрывали важнейшие диалектические закономерности связи бесконечного и конечного, тождественного и различного, сущности и ее проявлениий.
Поэтому следует отметить, что уже Платон, причем опять таки в значительной мере на основе философского обобщения достижений современной ему геометрии, стал и разработчиком обратного метода движения познания – от абстрактного к конкретному. В связи с этим Лосев отмечал, что Платон рассматривал «знание как умение», что «подлинное знание» является «умением владеть и обязательно пользоваться предметом знания» [13, с. 14]. Поэтому Лосев пишет, что у Платона «диалектика представляет собою умение возводить частное к общему и из общего выводить частное» [14, с. 15]. Именно посредством данных методов, получивших наименование восхождения от конкретного к абстрактному и от абстрактного к конкретному, но, конечно, в их современной диалектико-синергетической форме [1], в данной работе будет осуществлена попытка методологической систематизации математических знаний как «исторической теории». (А в последующей главе — и систематизация всех социальных наук, а также ненаучных видов знаний о реальном мире и человеческой деятельности).
Вместе с тем уже Платон внес важнейший вклад и в развитие внутренней логики теоретической геометрии. Он, в частности, раскрыл ряд таких ее закономерностей, которые получили свою содержательную конкретизацию в физике и ряде других наук только спустя две с лишним тысячи лет позже. Это является одним из ярких примеров той роли метода математической гипотезы, который до сих пор играет важнейшую роль в познании реального мира. Все эти и немало других заслуг Платона дали возможность Гейзенбергу считать его самым великим мыслителем всех времен.
Выдающуюся роль в развитии теоретической математики, в первую очередь геометрии, сыграл Евклид. Он впервые систематизировал положения последней аксиоматическим методом, т.е. путем выведения ее теорем из исходных постулатов и аксиом. Такой метод построения первой научной теории стал на многие века идеальным образцом для других точных наук. В своем дальнейшем развитии и усовершенствовании этот метод и сейчас играет важнейшую роль в развитии многих наук. Поэтому далее следует проанализировать аксиоматический метод с позиции разрабатываемой здесь методологии. Прежде всего, это будет касаться его анализа как особой формы разрешения сформулированного выше главного противоречия математики, т.е. взаимосвязи внутренней логики построения и развития математических теорий с количественными и пространственными соотношениями конкретных явлениях реального мира.
Как известно, в разрешении любого диалектического противоречия возникает две противоположные тенденции, обусловленные стремлением каждой из его сторон к достижению своего приоритета по отношению к другой, а нередко – и полного уничтожения другой противоположности. Это относится и к разрешению главного противоречия математики, ее развития. Так, увеличение роли внутренней логики чистой математики обусловило становление в ней, а затем и в других точных науках, тех методов, которые выводили теорию из исходных принципов в соответствии с правилами формальной логики во все большей самостоятельности от конкретно-содержательных знаний об объектах этих теорий. Последнее относится и к развитию аксиоматического метода.
Так, многие методологи, например В. И. Кураев [15, с. 24-27], пишут о трех основных этапах становления этого метода. Первый – это содержательная аксиоматика Евклида, в которой и аксиомы и правила логического вывода рассматривались как интуитивно очевидные истины, не требующие доказательств. Кроме того, Евклид в своем методе «при дедуцировании из аксиом других геометрических утверждений вводит дополнительные (помимо принятой системы аксиом) интуитивно очевидные допущения как геометрического, так и логического характера» [15, с. 24]. Второй этап формализации «связан с осознанием необходимости исключения геометрической очевидности, но еще продолжает опираться на интуитивное понимание логики» [15, с. 25]. И только на третьем этапе «формализации подвергаются все элементы научной теории, дедуктивная форма теории здесь полностью отвлекается от конкретного содержания ее понятий» [15, с. 27].
Все это относится и к формализации законов самой формальной логики, к развитию тех способностей человеческого мышления, которые обусловливают переход от содержательных приемов решения каких-либо проблем к решению задач чисто формальными методами [16, с. 101-102]. В литературе неоднократно отмечалось, что уже Лейбниц наметил идею чисто логической разработки математики, независимой от интуиции, совершил первую попытку облечь в математическую форму любые логические процессы, а тем самым, намного опередил науку своего времени, стал предтечей создания математической логики. Такие видные методологи науки как Н. Бурбаки, М. Борн и ряд других подчеркивали важнейшее значение для развития математики и других наук становления все более четко формализованных методов [16, с. 102].
В этой связи в развитии математики и других точных наук широкое распространение получила тенденция к полной формализации этих наук. Это, как пишет известный методолог математики Морис Клайн, относится и к так называемому формалистическому обоснованию математики [17, с. 284-293]. Более того, данная тенденция стала распространяться и на все человеческое познание, а тем самым и на построение философских теорий, например в логическом позитивизме, неопозитивизме и некоторых других системах. Однако односторонняя ошибочность этой тенденции давно раскрыта. Так, Мирослав Попович, подчеркивая роль формализации как «мощного средства анализа», пишет, что «применяя данное средство», мы иногда «упускаем самое главное в смысловых отношениях» [18, с. 175]. Яновская отмечала, что «строгая последовательность выведения может принести – и действительно принесла – только вред прогрессу развития науки» [12, с. 249]. Действительно, при глубоком анализе какой-либо научной теории, в том числе и математической, мы всегда обнаруживаем противоречия между ее содержанием и формализованным изложением. Такие противоречия в знаниях о ее предмете, отмечает Яновская, возникают «как только существенными оказываются именно те стороны, от которых мы отвлеклись (в идеализации), огрубив его» [12, с. 234].
Исходя из разрешения упомянутого выше главного противоречия в развитии математики, односторонность и органичность абсолютизации роли одной стороны этого противоречия, в данном случае роли формализации чистой математики, будем рассматривать как причину обусловившую становление другой точки зрения, опирающейся на признание приоритетной роли противоположной стороны данного противоречия, т.е. содержательно-математические знания о реальных объектах мира и соответствующие этому формы познания. Так, еще до раскрытия Гёделем и другими мыслителями невозможности полной формализации даже простейших математических теорий, возникло так называемое интуиционистское направление обоснования математики. Интуиционисты, в отличие от формалистов, как пишет Клайн, считали, что логическая «непротиворечивость математики очевидна…, ибо ее гарантирует человеческий разум, постигающий истины на интуитивном уровне» [17, с. 321].
Тем самым они рассматривают «непротиворечивость» и «истинность» математики не в ее формально-логической непротиворечивости, а в том, что ее применение играет важнейшую роль в достижении тех результатов нашей целесообразной деятельности, которые не требуют формально-логического доказательства, т.е. являются интуитивно очевидными. Тем самым концепцию интуитивизма следует рассматривать как новый шаг в раскрытии единства содержательно-интуитивного и формализованного в развитии математики. А также – и как особую форму известного принципа, согласно которому именно практическая деятельность является, в конце концов, критерием истинности всех видов познания, в том числе и математического. И хотя интуиционисты признавали определенную ценность методов формализации математических знаний, однако они рассматривали последние как играющие сугубо второстепенную роль в сравнении с интуитивным математическим творчеством. Так, известнейший математик ХХ в. Р. Том писал, что формализованные «математические структуры – это самая пустая, самая поверхностная, самая бесперспективная для математики часть этой науки» [19, с. 90].
В своей книге «Математика. Утрата определенности», Клайн уделил важнейшее внимание анализу той «яростной борьбы между формалистами и интуиционистами», которая, в тоже время, обусловила в значительной мере дальнейшее развитие математики [17, с. 251-299]. В частности Яновская отмечала, что ряд советских математиков (Н. А. Шанин, А. Н. Колмогоров и др.), исходя из диалектико-материалистических представлений о математике, разрабатывали так называемое конструктивное ее направление, в котором осуществлялась и определенная попытка синтеза некоторых интуиционистских и формалистических методов. Например, это относится к тому, что «интуиционистская логика может быть истолкована как исчисление задач о построении объекта» [12, с. 185], (речь идет о таком построении математических объектов). Однако обоснование математики до сих пор является сложнейшей дискуссионной проблемой. В соответствии с разрабатываемой в монографии концепции синергетической диалектики, в частности с ее принципа «новой телеологии», т.е. наличием тенденции к становлению более сложно организованных систем и все более совершенных форм познания и целесообразной деятельности. Основные исторические этапы становления математической науки следует разделить на следующие.
1. Возникновение практической математики древних как результата существенно нового этапа развития человеческой творческой интуиции. А именно – раскрытие на этом этапе определенных арифметических и геометрических абстракций и закономерностей их взаимосвязи, а также применение последних для усовершенствования практической деятельности. Тем самым уже практическая математика древних явилась важнейшим этапом развития, во-первых, стихийно-интуитивного мышления людей осуществляющего восхождение от конкретного знания к абстракциям все более высокого уровня и обратно, общие закономерности которого были раскрыты в двух первых главах. Во-вторых, исторически первой формой становления все более относительно самостоятельной от практики внутренней логики научного мышления.
Тем самым практическую математику древних будем рассматривать как ту существенно новую ступень развития как интуитивного, так и логической форм мышления людей, на котором взаимопереходы этих форм осуществлялись посредством этой более высокой формы интуитивного мышления. В этой связи еще раз отметим важнейшую роль человеческого интуитивного мышления, его развития в становлении новых более совершенных форм целесообразной деятельности. А тем самым – синергетический характер нашей интуиции, которая всегда играла и играет важнейшую роль в оптимизации выбора «одной из неустойчивых траекторий из множества возможных» в любой проблемной ситуации. Причем такой процесс включает в себя сложную взаимосвязь упорядочивающего и хаотического начал реального синергетического мира.
2. Второй основной, т.е. теоретический, этап становления математической науки следует рассматривать, в соответствии с пригожиновским принципом «новой телеологии», как результат стремления к разворачиванию интуитивных форм диалектического мышления в осознанно-логические. Процессы такого разворачивания прежде всего начали осуществляться в виде упомянутых выше алгоритмов сводимости-выводимости в геометрии. Затем они стали распространяться и на аксиоматическое построение других математических знаний, а значительно позже и других наук. Особенно важно отметить, что именно обобщение данных специально-диалектических геометрических закономерностей сводимости-выводимости, уже начиная с Платона, начало играть важнейшую роль в становлении общефилософских диалектических методов восхождения от конкретного к абстрактному и наоборот. Поэтому далее следует более детально остановиться на взаимосвязи общедиалектических методов восхождения от конкретного к абстрактному и обратно с их проявлениями в развитии математики.
Значительный вклад в развитие упомянутых диалектических идей внес Аристотель. Резко критикуя Платона за абсолютизацию последним роли общего, абстрактного по отношению к единичному, конкретному, он разработал ряд важных диалектических закономерностей и взаимосвязи этих парных категорий. В этой связи следует подчеркнуть, что Эвклид, впервые систематически разработавший в своей геометрии «алгоритмы сводимости-выводимости», писал, что он опирался на методологию Аристотеля. Поскольку Аристотель, как известно, был и первым систематизатором законов формальной логики, то именно в его учении впервые возникла и проблема соотношения диалектической и формальной логик. И хотя в своих разных трудах Аристотель разрабатывал закономерности обеих этих логик, однако, как например отмечает А.С.Ахманов, систематически проблему их соотношения он так и не исследовал [20]. Тем самым взаимопереходы между этими логиками Аристотель осуществлял еще на основе интуитивно-очевидных, т.е. не развернутых в специальных языково-логических формах, закономерностей. Лишь значительно позже проблема такого соотношения как в философии, так и в математике стала предметом специальных исследований. Поскольку разработка данной проблемы играет большую роль в разрешении важнейшего и острейшего противоречия между сциентическо-технократическим и духовно-гуманистическим направлениями деятельности современного человечества, то следует подробнее остановиться на анализе тех диалектических идей, которые внесли значительный вклад в понимание соотношения формализованного и содержательного в развитии математики.