А как же «горизонт прогноза»? Дело в том, что теоремы, которые доказывают математики, в основном относятся к средним величинам, к тому случаю, когда «сани» очень долго ездят вдоль аттрактора. Помнится, Алису очень удивило, что в Стране Чудес есть «очень странное место». Такие «странные места» могут существовать и в тех пространствах, где обитают странные аттракторы. Попав в них, мы получаем завидную возможность предсказать свою будущность на довольно большой срок. Просто эти места надо уметь искать. Или другая возможность — научить компьютер выделять наиболее существенные вещи из огромного потока информации.
Наверное, читателю не надо объяснять, что к нашему «рынку» все это совершенно неприменимо. Ведь не надо учить механику для строительства воздушных замков или посещать курсы кройки, чтобы newpage noindent сшить платье на голого короля. Лучше по-свойски выпить с самим королем или, на худой конец, с его первым замом.
В нелинейной науке есть много глубоких серьезных проблем. Здесь надо считать, доказывать теоремы, искать новые подходы. Хотя и старые не так уж плохи. В самом деле, не так давно шахматная программа выиграла у Гарри Каспарова. Как тут не вспомнить уверенные заявления пятилетней давности, что это не может случиться, потому, что не может случиться никогда. Как не упомянуть философов и методологов, горячо обсуждавших лет 15 назад вопрос, может ли машина мыслить. А ведь одна из ведущих шахматных программ была создана силами четырех студентов, развивавших известные подходы. Нормальная наука, как ее называют специалисты по науковедению, которой занимается вторая голова, — вещь серьезная.
И, наконец, третья голова. В сущности, она самая главная. Она отвечает не на те вопросы, на которые отвечать приятно и полезно, а на те, на которые нужно. Именно поэтому нелинейная наука интенсивно развивается, например, в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша Академии наук. Этот институт известен крупным вкладом в реализацию космической и ядерной программ, в становление вычислительной математики и программирования, в другие проекты национального масштаба. Дело в том, что на множество вопросов, связанных с прогнозом, нам было бы очень желательно знать ответы. И как можно быстрее. Некоторые работы, выполненные в Институте, и обсуждаются в этой книге.
Вы заметили, что детективы и традиционные фантастические романы на книжных полках потеснили книги в жанре «фэнтези»? В них создаются иные миры, построенные по иным законам, и далее «проигрывается» жизнь в этих мирах. Вероятно, это симптом неблагополучия.
Как это ни банально звучит, так, как мы живем, жить нельзя. Немножко можно, а долго нельзя. Как бы Вы отнеслись к человеку, который получает 100 тыс. в месяц, а тратит миллион? Но именно так живет человечество, которое лишь на одну десятую использует возобновляемые источники энергии. А невозобновляемые источники, как это ни странно, не возобновляются.
За последние 20 лет конфликты и региональные войны заставили покинуть родные места 13 млн. человек, число «экологических беженцев» за тот же срок превысило 10 млн. При американской бомбардировке Нагасаки число убитых и раненых составило около 140 тыс. человек. В результате аварии на химическом заводе в Бхопале это число превысило 220 тыс. Человечество играет в очень опасную игру. Оно ведет свой корабль со спокойствием и уверенностью невежды.
Каковы сценарии развития человечества, отдельных стран и регионов? Что будет, если в стране не будет высшего образования? Где поворотные пункты (точки бифуркации) в истории, в геополитике, в смертельно опасной гонке вооружений и разорительной для отдельных стран «гонке разоружений»? На эти вопросы и призвана отвечать третья голова.
Модели, созданные на основе нелинейной науки, предложенные американским ученым Дж.Майер-Крессом и его коллегами, стали в свое время важным аргументом в пользу отказа от первоначальных планов СОИ. Выяснилось, что развертывание такой системы не повысит, а существенно понизит безопасность США. В этой модели есть чувствительность к начальным данным. Малые причины могут иметь большие и трагические последствия.
Другая, недавно предложенная концепция — теория самоорганизованной критичности,- устанавливает глубокую аналогию между сходом снежных лавин, колебаниями курсов акций, землетрясениями, техногенными катастрофами и проблемами, возникающими при хранении ядерных арсеналов. Третьей голове есть что сказать об «окнах уязвимости» нашей цивилизации и возможных альтернативах.
Впрочем, третьей голове приходится хуже других. Чтобы погубить дело, надо сделать его «престижным». Вспомните 70-е годы. Энтузиасты создавали новую науку — экологию. Спорили, мечтали. А сейчас … Выдающимися знатоками экологии вдруг оказались незадачливые генсеки и отставные премьеры. Специалистов как-то незаметно оттеснили. Сейчас то же самое происходит с «безопасностью», «устойчивым развитием», «планированием будущего». Это «идет». Под это «дают». Но будущее слишком серьезная вещь, чтобы отдавать его в руки временщиков от политики и науки.
Примерно такие слова авторам приходится говорить студентам физтеха, польстившимся на слова «хаос» и «нелинейная наука». И почти все твердо решают иметь дело со второй головой. Это — отражение отношения к науке в обществе. В обществе, где сегодня не любят смотреть ни на звезды, ни под ноги. Но времена меняются.
Глава 1.
Синергетика и изменение взгляда на мир
1.1 Нелинейная динамика и двор Хаоса
1.2 Структуры, самоорганизация, нелинейная динамика
1.2 Структуры, самоорганизация, нелинейная динамика
Время простых вопросов
Самая большая беда для науки — превратиться в моду.
С.Цвейг
Молодость научного направления связана с чувством удивления и с парадоксами. Задается простой вопрос. На него дается очевидный ответ, который оказывается неверным. Это и ведет к размышлениям. Поэтому попробуем вначале удивиться.
Представьте себе, что мы находимся на побережье небольшого острова в океане, длина побережья которого … бесконечна. Такого не бывает, скажет здравомыслящий читатель. И окажется не прав. Рис.5 показывает, как можно построить такую фигуру.
Рис. 5. Несколько первых шагов в последовательности, приводящей к построению острова Коха, который имеет ограниченную площадь и бесконечный периметр.
На первом шаге берем обычный равносторонний треугольник (см. рис.5). Потом на каждой стороне достраиваем по треугольнику, сторона которого в три, а значит, площадь в девять раз меньше, чем у исходного. И так далее. То, что получится после бесконечного количества таких шагов, называется островом Коха. Почему его побережье бесконечно? Это очень просто. На втором шаге периметр фигуры увеличится в 4/3 раза. На третьем — еще в 4/3. Это произошло потому, что каждый отрезок мы заменили ломаной, длина которой в 4/3 раза больше. А (4/3)n при n, стремящемся к бесконечности, конечно, тоже стремится к бесконечности. Если вспомнить знакомую из школьных времен геометрическую прогрессию, то можно убедиться, что площадь острова Коха конечна.
Теперь представим себе, что мы решили измерить периметр острова Коха, пользуясь линейкой определенной длины. При этом мы, конечно, будем заменять сложную изрезанную береговую линию ломаной со звеньями, не меньшими, чем наша линейка, как это всегда делают географы. Измеренный периметр будет зависеть от длины линейки. Это кажется совершенно неожиданным. Но действительно, чем меньше длина линейки, тем больше измеренная длина побережья. Простейшая процедура измерения длины оказывается совсем не так проста, как кажется вначале.
Остров Коха обладает еще одной забавной особенностью. Допустим, что мы фотографируем этот остров в океане из космоса. Мы можем фотографировать с любым увеличением, но часть побережья будет тем меньше, чем больше увеличение. И мелкие детали в крупном масштабе, естественно, будут теряться. Типичная картина, которую мы увидим, показана на рис.6. В крупном масштабе видим большой зубец и несколько маленьких. Увеличим маленький зубчик. То есть, по существу, увеличим маленький прямоугольничек до размеров первоначального. Опять выделим маленький прямоугольник, опять увеличим и опять увидим то же самое … И так до бесконечности. Это свойство выглядеть в любом, сколь угодно мелком масштабе примерно одинаково сейчас называется масштабной инвариантностью, а множества, которые им обладают, — фракталями. Можно спросить, как же характеризовать фракталы, если, как в сказке про Алису, размеры становятся какими-то зыбкими, ненадежными и начинают зависеть от размеров линейки?
Рис. 6. Фракталы обладают масштабной инвариантностью — при увеличении мы вновь и вновь видим одну и ту же картину. Побережье острова Коха в разных масштабах, на каждом следующем рисунке левый прямоугольник показан в увеличенном виде.
На это математики могут ответить просто и остроумно:»Важна не сама длина, а то, как она зависит от размеров линейки, т.е. важно некое число, называемое фрактальной размерностью». Для отрезка — 1, для квадрата — 2, для куба — 3. Для фракталов — дробное число. Отсюда и само название «фрактали», происходящее от английского «fractal» — дробный, неполный, частичный. Например, для острова Коха оно лежит между 1 и 2. Такое значение как будто говорит, что это уже не обычная кривая, но еще не плоскость.
Мы надеемся, после чтения всего написанного наш читатель не утратил способности здраво рассуждать. А для того, чтобы эту способность обострить, пусть он представит, что авторы этих строк просят скромную, а может быть, и не очень скромную сумму, например, на исследования фрактальной геометрии. Наверное, сначала возникнет настроение, точно выраженное словами одного грибоедовского героя:»Ну нет, ученостью меня не обморочишь», а потом и первое конкретное возражение:»Если все так просто, как здесь написано, то неужели об этом раньше не знали?».
Конечно, знали. Первый пример фрактала придумал классик математического анализа Вейерштрассе еще в прошлом веке. Так же, как к береговой линии острова Коха, к этой линии нельзя провести касательную ни в одной точке. Такие функции не имеют производной. Они вызывали у современников резкое чувство протеста. Блестящий математик Эрмит писал своему коллеге Стильтьесу:»… С омерзением и ужасом отворачиваюсь от этой зловредной язвы — непрерывных функций, нигде не имеющих производных».
И тут, наверное, рождается второе возражение:»Все это очень занятно. Но, конечно, фракталы не имеют никакого отношения к математическому моделированию реальных объектов и тем более к природе. Да и вообще математика не является естественной наукой. И ее роль не следует переоценивать». Это сильное возражение. Оно лежит в русле классической научной традиции. Следуя традиционным канонам, ценность такого математического «монстра» в познании реальности очень невелика. И хотя уже в начале нашего века французский физик Ж.Перрен высказал мысль о том, что фракталы будут полезны во многих физических задачах, в частности, связанных с броуновским движением, к фракталам относились как к забавной математической безделице.
Ситуация кардинально изменилась с появлением в 1977 г. книги Б.Мандельброта «Форма, случай и размерность». В ней, собственно, и было введено слово «фракталы» и показано, что существование фрактальных множеств позволяет объяснить, а в некоторых случаях и предсказать экспериментальные результаты, полученные в разных областях. Среди них — космология, теория турбулентности, химическая кинетика, физика полимеров, теория просачивания жидкости и еще десятки других. В последние годы к ним прибавились физиология, физика полупроводников, теория роста городов.
Более того, даже остров Коха имеет непосредственное отношение к реальности. Английские военные топографы еще до войны заметили, что длина побережья Великобритании зависит от длины линейки, которой ее измеряют. Аналогичная зависимость определяет длину некоторых рек, побережье многих островов, путь, проходимый частицей при броуновском движении, и многое другое.
Еще пример. Оказалось, что при вытеснении жидкостью с малой вязкостью другой жидкости, с большой вязкостью, первоначально плоская поверхность раздела переходит в поверхность, напоминающую пальцы перчатки. Такие структуры получили название вязких пальцев. Последовательное дробление кончиков пальцев приводит к возникновению фрактальных кластеров. Анализ этого явления и способов борьбы с ним очень важен для приложений. Пальцы наблюдаются при закачке воды под давлением в нефтеносный пласт для повышения нефтеотдачи. Но из-за описанного эффекта вода просачивается значительно дальше, чем хотелось бы, и на поверхность выкачивается смесь, содержащая в основном воду.
Остров Коха показывает, что периметр фигуры может быть никак не связан с ее площадью. Точно так же можно построить тело с конечным объемом и бесконечной площадью поверхности. А теперь вспомним школьную химию, в которой говорится, что большинство технологических процессов требует катализа, и что в большинстве случаев он происходит на поверхности катализатора. Теперь представим себе, что нам удается создавать частицы катализатора, в определенном интервале масштабов устроенные как фракталы с бесконечной площадью. Уже появились первые сообщения о работах экспериментаторов, двигающихся по этому пути.
Этот путь от парадоксального математического объекта к обнаружению новых явлений природы в самых разных областях становится все более традиционным для неклассической науки. Именно это позволило создать новый междисциплинарный подход — теорию самоорганизации, или синергетику. В ее основе, как догадался читатель, глубокая аналогия между математическими моделями, возникающими в различных областях. Еще недавно синергетику воспринимали как моду или игру ума. Однако умение давать глубокие ответы на простые вопросы, обнаружение ряда замечательных эффектов заставили воспринимать этот подход всерьез.
Синергетика — это нелинейная наука. Десятки международных журналов, посвященных нелинейной науке, большое количество конференций указывают на растущий интерес к этой области знания. Одним из основоположников нелинейной науки можно считать Анри Пуанкаре. На заре нашего века он высказал мысль, что в будущем удастся предсказать новые явления природы, исходя из самых общих представлений о математических моделях, описывающих изучаемые объекты. Можно сказать, что сегодня мы стали свидетелями того, как это пророчество сбывается.
И еще одно направление синергетики, которое нам кажется очень важным. Оно родилось еще из одного простого вопроса. Тех, кто впервые знакомится с информатикой, обычно поражает несоответствие между огромным количеством информации, которое содержится в цветном изображении, и скромным объемом, который может быть отведен под него в головном мозге. Вывод из этого несоответствия прост: информация в мозге обрабатывается и хранится совсем не так, как в компьютере. Вероятно, мозг выделяет что-то наиболее важное в каждом изображении, сцене, переживании, с чем и имеет дело в дальнейшем. При таком подходе главной проблемой становится научить вычислительную машину выделить необходимое и забыть ненужное.
Взгляните на рис.7. Чтобы «запомнить» стандартным способом эту картину, нарисованную на экране компьютера, нужно хранить более одного мегабайта информации. Однако если выделить «самоподобные» элементы в этом изображении с помощью методов фрактальной геометрии, достаточно одного килобайта. Причем, это число не зависит от размеров экрана. Оно останется тем же самым, если рисовать этот узор, а может быть дракона, с гораздо большим числом деталей. Здесь информацию удается сжать более чем в тысячу раз.
Рис. 7. Пример изображения, при хранении которого информация может быть сжата более чем в 1000 раз.
Хорошо было бы научиться сжимать информацию и для всех других изображений. Трудно переоценить важность этой проблемы. С сейсмических станций, спутников, метеостанций поступает гигантский объем информации. Широкое использование томограмм, энцефалограмм и кардиограмм, снимаемых в течение больших интервалов времени, сделали современные больницы крупными поставщиками данных. Одна из принципиальных задач синергетики — научиться эффективно хранить, перерабатывать, передавать и анализировать большие информационные потоки.
Среди придуманных миров
Среди миров, в мерцании светил Одной звезды я повторяю имя … Не потому, чтоб я ее любил, А потому, что я томлюсь с другими.
И.Анненский
Опять простой вопрос. Почему ученым вообще удается что-либо описать и понять? Почему простые модели и теории работают в нашем безумно сложном мире? Один из ответов, предлагаемых нелинейной наукой, таков: все дело в том, что происходит самоорганизация. Сложные системы имеют очень много степеней свободы. Однако все устроено так, что в процессе эволюции выделяется несколько главных, к которым подстраиваются все остальные. Эти главные степени свободы называют параметрами порядка. Когда этих параметров немного, есть шанс описать сложную систему просто. Вот два примера самоорганизации, показывающие, что это явление может быть очень полезным или, напротив, не очень полезным.
Организм обладает гигантским числом степеней свободы. Однако, чтобы поднести ложку ко рту, нам не надо думать о всех или управлять ими. При выработке навыков они подстраиваются к основным, за которыми и надо следить. Возникает иерархическая структура управления и взаимосвязей, которые физиологи называют синергиями (в переводе с греческого это означает совместное действие). Другой пример самоорганизации — это возникновение иерархии в стае волков или в колонии, на вершине которой стоят «паханы», определяя поведение «шестерок» и других членов иерархии.
Рис. 8. Формы структур, возможные в некоторой среде, в которой есть только процессы горения и теплопроводности. На рис.a показано, как они выглядят в пространстве (x, y, t). На рис.б представлен аналог географической карты, показывающей все структуры, которые могут возникать в такой среде. Жирные точки и сплошные линии соответствуют максимумам, кружочки и пунктир — минимумам. Крестиком помечена точка, к которой в процессе эволюции будет сходиться волна горения. Тонкая линия — контур структуры на уровне половины высоты.
Самые простые примеры самоорганизации, в которых удалось разобраться лучше, чем в остальных, дают некоторые системы из физики, химии, биологии. События в них развиваются не только во времени, но и в пространстве. Всех их роднит одна черта. Представим себе диффузию, порожденную случайным блужданием множества частиц, вообразим поразительно сложные траектории частиц жидкости или огромное множество химических реагентов, причудливо превращающихся друг в друга, или множество людей, пользующихся городским транспортом. Казалось бы, здесь все совершенно случайно, или, как говорят физики, имеет место хаос на микроуровне. И во всех этих случаях средние величины ведут себя вполне детерминированным образом. Хаос на микроуровне может приводить к упорядоченности на макроуровне. Но какой странной может быть эта упорядоченность! Реакция в пробирке может пойти по колебательному пути — раствор в пробирке может, например, начать периодически менять свой цвет. Транспортные потоки распределятся в соответствии с вполне определенными строгими законами. А если диффузия происходит в некоторой горящей среде, то могут возникнуть причудливые структуры. Например, такие, как показано на рис.8. На нем представлена пространственная форма волн горения растущей амплитуды, сходящихся к центру симметрии и сохраняющих свою конфигурацию. Может быть, они похожи на таинственные симметриады, вырастающие из океана на планете Солярис? Изучение этих и некоторых других структур, не простое дело. Оно требует разработки новых математических методов и широкого использования компьютеров, однако подчас оказывается очень поучительным.
Имея дело с процессами, которые разворачиваются во времени и пространстве, мы сталкиваемся с новым элементом реальности — формой возникающих структур. Мысли о совершенстве формы, соразмерности гармонии были одним из ключевых мотивов в познании природы.
Идея о связи геометрии с идеальными объектами, лежащими в основе мироздания, восходит к Платону. Эта идея была возрождена В.Гейзенбергом, намечавшим контуры будущей единой теории поля и элементарных частиц. Именно в различии формы электронных облаков в странном мире, придуманном Э.Шредингером и другими создателями квантовой механики, кроется разгадка многих парадоксов атомной физики.
В той необычной вселенной, где существуют структуры, показанные на рис.8, форма также играет ключевую роль. Она показывает, по каким законам простые структуры могут быть объединены в сложные. Форма определяет существование структуры. Замечательный факт, что для создания сложной структуры, развивающейся во времени, надо верно угадать ее форму. Количество вложенной энергии не играет здесь никакой роли.
Множество причудливых конфигураций вначале порождало у исследователей иллюзию того, что в этой вселенной можно построить структуры любой сложности. И одним из ключевых результатов анализа стало доказательство того, что в этой среде могут быть построены только эти структуры и никакие другие. Есть правила запрета. Попытки что-либо «навязать» этой системе или действовать методом проб и ошибок обречены на провал.
Не правда ли, здесь много аналогий? С экономическими, социальными, экологическими системами, где попытки «перестроить» или «создать заново», поразительно редко приводят к положительным результатам. С современной медициной, обратившейся к сверхслабым, «резонансным» воздействиям на организм, подчас более эффективным, чем сильнодействующие препараты. С философией Древнего Востока, где во главу угла ставилось выявление внутренних потенций целого и следование им.
Наш мир слишком сложен. В нем много законов сохранения. События в нем разворачиваются в гигантском интервале пространственных и временных масштабов. В нем поразительным образом сочетаются случайность и закономерность. И чтобы разобраться в нашем мире, очень полезно строить другие миры. Причудливые, необычные, парадоксальные. Наверное, это сродни искусству, где через уникальное и единичное удается постичь всеобщее, где гипербола и гротеск позволяют увидеть что-то важное и необычное. При этом дистанция между неведомым и очевидным подчас оказывается поразительно малой.
Итак, еще один мир. Его придумал в 1970 г. английский математик Джон Конвей и назвал игрой «Жизнь». Название связано с тем, что она имитирует рост, распад и различные изменения в популяции живых организмов. В эту игру читатель может поиграть, ничего не зная о каких-либо уравнениях, не пользуясь компьютером, а имея под рукой лишь лист бумаги в клетку. Хотя на компьютере все выглядит, конечно, красивее.
Рассматривается бесконечная плоская решетка квадратных ячеек — клеток. Время в этой игре дискретно (t=1,2…). Клетка может быть живой или мертвой. Изменение ее состояния в момент (t+1) определяется состоянием ее соседей в момент t (соседей у каждой клетки 8, из них 4 имеют с ней общие ребра, а 4 — только вершины). Правила таковы.
Если клетка мертва в момент времени t, она оживает в момент (t+1) тогда и только тогда, когда трое из ее восьми соседей были живы в момент t.
Если клетка была жива в момент времени t, она погибает в момент (t+1) тогда и только тогда, когда меньше, чем две, или больше, чем три соседние клетки, были живы в момент t.
Рис. 9. Столкновение планера со стационарной структурой в игре «Жизнь».
Чтобы читатель почувствовал, насколько причудливо могут развиваться события в этом мире, проследим за судьбой только одной конфигурации. Некоторые из «моментальных снимков» ее эволюции показаны на рис.9. «Домик» из четырех клеток в отсутствие движущейся структуры «планера» стоял бы на месте, не меняясь со временем. «Планер» двигался бы по диагонали, повторяя свою конфигурацию через каждые четыре шага. Однако им суждено было столкнуться. Число клеток вначале растет, захватывая все большую площадь, а потом уменьшается. Когда эволюция закончена, возникает несколько конфигураций, от времени не зависящих, и других, которые повторяют себя на каждом втором шаге. (Их называют «мигалками», на рис.9, соответствующем моменту времени t=182, они выглядят как три расположенные в ряд или в столбик живые клетки. На следующем шаге по времени «ряды» превратятся в «столбики», а «столбики» в «ряды», затем все повторится.)
Видно, что эволюция в этой игре с примитивными правилами, с локальными связями, включающими только ближайших соседей, может быть довольно сложной. Но этого мало. Математики доказали, что эта эволюция может быть сколь угодно сложной. Эта игра эквивалентна универсальной вычислительной машине. В принципе, имея достаточно большую область из таких клеток, с ее помощью можно проводить вычисления, как на компьютере.
Главной тенденцией в электронике стала миниатюризация. Возможно, в будущем элементы компьютеров станут сравнимы с размерами молекул, и связи в них будут возможны только самые простые, локальные. (Впрочем, тогда бы пришлось подумать о радиационных повреждениях, которые бы могли выводить их из строя. Ведь в отличие от живых организмов, электронные схемы не умеют корректировать, «лечить» тонкие повреждения на микроуровне. Пока не умеют.) Возможно, тогда такие игры, как «Жизнь», станут полезными для микроэлектроники.
Сейчас они полезны, например, при создании новых физических теорий. Вот только два примера, связанных с игрой «Жизнь».
Работа компьютера характерна тем, что мы не можем предсказать результат действия ряда программ, не выполнив их полностью. Такие алгоритмы называют вычислительно неприводимыми. Любая величина в нашем мире может быть измерена с конечной точностью, с конечным числом десятичных цифр. Существуют законы природы, определяющие программы, алгоритмы, по которым производятся действия с этими числами. Поэтому американский исследователь С.Уолфрем предлагает взглянуть на наш мир, как на гигантский компьютер. По его мысли, те процессы, в моделировании которых успехи невелики (а это хаотические турбулентные течения, вихри в атмосфере, экономические системы, биологическая эволюция), описываются неприводимыми алгоритмами. Не правда ли, рискованный полет — от игры «Жизнь» до прогнозов погоды?
Другая теория, называемая теорией самоорганизованной критичности, обязанная своим появлением анализу игры «Жизнь» и другим играм такого типа, сейчас завоевывает все больше приверженцев. Ее результаты используют сегодня в космологии, гидродинамике, в геофизике для прогноза землетрясений и во многих других областях.
Модели такого сорта применяют, например, при анализе химических реакций на поверхности. В модели, исследованной М.С.Шакаевой, существует только три уровня концентрации. В этой модели также обнаружены движущиеся конфигурации — «планеры». На рис.10 показаны два таких «планера» и «моментальный снимок» того, что произошло после столкновения. Не правда ли красиво?
Рис. 10. Столкновение двух «планеров» в среде, имитирующей колебательные химические реакции.
Нелинейные среды с положительной обратной связью
В химии, физике, биологии есть много примеров самоорганизации, но в очень редких случаях разработаны математические модели этих процессов. Ведь речь идет о понимании и копировании на моделях механизмов самоорганизации. Так, например, в замечательной колебательной химической реакции Белоусова-Жаботинского остаются плохо известными детали промежуточных реакций, их константы, хотя сама возможность колебательного режима следует из анализа упрощенных математических моделей. Например, из анализа математических моделей, построенных А.Д.Караваевым, работающим в лаборатории В.П.Казакова в институте органической химии Уфимского научного центра, следует, что изменение некоторых констант реакций на миллионные доли процента может радикально изменить тип наблюдаемого хаотического режима.
Само явление красиво, непривычно и потому загадочно. В пробирке (определенное время) периодически пробегает волна изменения цвета. Это означает, что хаотически движущиеся атомы и молекулы становятся периодически участниками каких-то согласованных процессов, которые, вероятно, очень быстро (как цепная реакция) развиваются и охватывают огромное число элементов среды, обеспечивая единое коллективное поведение. Не правда ли, достаточно глубокая аналогия с разнородным поведением людей, со своими интересами и волнами моды, социальными течениями, войнами и революциями, втягивающими огромные массы людей, часто даже против их воли?
Многие важнейшие открытия в науке 20-го столетия связаны с выявлением эффектов согласованного поведения (синергизмом) на макроуровне совокупностей отдельных элементов (атомов, электронов, клеток, особей), хаотически ведущих себя на микроуровне.
Например, в лазере возникает согласованный процесс излучения возбужденными атомами света одной длины волны и, главное, с одной фазой. Для обычного света характерны колебания электромагнитных волн разной длины и хаотическим образом меняющимися фазами (благодаря хаотическому поведению атомов-излучателей).
К согласованному поведению огромного числа элементов среды относятся возникновение смерчей в воздухе, конвективные ячейки на Солнце (гранулы), течения в океане и циклоны в атмосфере. Самопроизвольно возникающее согласованное поведение наблюдается и среди клеток организмов в процессе морфогенеза, среди элементов биоценозов или в социальных сообществах.
Но как объяснить и смоделировать новые свойства у образующегося целого? Как описать их структуры, их размер, форму или, возможно, спектр форм; законы их развития, вхождения в новые целостности и причины распада? Здесь новые возможности в понимании этих процессов дало применение нелинейных математических моделей и вычислительный эксперимент. Последнее связано с недостаточным развитием даже в современной математике аналитических методов исследования нелинейных моделей.
Важно отметить, что много новых явлений нелинейного мира было открыто в результате решения важных практических задач, в самой гуще научных, технических, военных проектов и исследований. Сюда, прежде всего, можно отнести задачи расчета процессов в атомных и водородных бомбах, ядерных реакторах. Среди других решенных задач можно выделить изучение различных явлений физики плазмы, процессов в установках управляемого термоядерного синтеза. Прогноз погоды, расчеты обтекания ракет, самолетов, автомобилей. Оптимизация процессов добычи нефти, процессов в лазерах и режимов работы реактивных двигателей. Расчеты траекторий ракет и возможностей космических полетов с посадкой и управлением роботами на Луне и Марсе. Несколько позднее были изучены модели ядерной зимы, проблемы потери контроля в СОИ, проведены расчеты многочисленных экономических, биологических, медицинских, социальных и экологических моделей.
Иногда высказывается мнение:»Да, ЭВМ, моделирование, вычислительный эксперимент применяется во многих областях техники и науки в разных странах мира. Но вот синергетика — это очередное поветрие западной мысли в России». Как уже показано выше, развитие нелинейной математики, синергетики, а с ними и нового взгляда на мир и условия жизни в нем — не очередная мода, а естественная стадия развития науки и культуры.
Но давайте все же на нескольких примерах покажем, что теория диссипативных структур, которую сейчас почти всегда в России связывают с работами А.Тьюринга, И.Пригожина, Г.Хакена, независимо развивалась в СССР и достигла больших результатов, как в области понимания механизмов самоорганизации, так и в практическом их применении в передовых областях науки и техники. Мало того, были открыты новые физические явления парадоксального характера и сформулированы неожиданные закономерности мира нелинейных процессов. В ряде случаев разработан новый аналитический, а не только численный, аппарат исследования нелинейных моделей. Так, например, в Институте Прикладной Математики АН СССР (теперь ИПМ им. М.В.Келдыша РАН), являвшемся в СССР пионером в области исследований с применением ЭВМ в новых областях техники и науки, совместно с ИТПМ (Новосибирск) СО АН СССР в начале 70-х годов было сделано открытие эффекта Т-слоя. Температурный слой (Т-слой) — это самоподдерживающаяся диссипативная структура, т.е. локализованная на массе низкотемпературной плазмы область повышенной температуры, эффективно взаимодействующая с магнитным полем. Эффект ее самопроизвольного или индуцированного возникновения, а также условия и механизмы, обуславливающие это явление, были вначале установлены с помощью расчетов на ЭВМ и теоретического анализа модели процессов в плазме, затем зарегистрированы в Комитете по делам открытий в СССР как открытие N55, и, наконец, через несколько лет обнаружены в натурном эксперименте.
Обратим внимание, что первое издание на русском языке книги П.Гленсдорфа, И.Пригожина «Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций» вышло в 1973 г., а французский вариант был издан немногим раньше. Насколько плохо работы И.Пригожина и его сотрудников по диссипативным структурам были известны в СССР, можно судить по тому сопротивлению физической общественности, с которым были восприняты статьи и доклады исследователей Т-слоя в ведущих научных центрах и на международных конференциях. Хотя в СССР, так же как в США и Европе, интенсивно проводились работы по физике плазмы, и в линейном приближении давно были выявлены теоретиками многочисленные типы неустойчивостей, но никто теоретически не мог ответить на вопрос, что с этими неустойчивостями будет на развитой нелинейной стадии. Каковы будут размеры возникших структур, их форма, как они будут взаимодействовать друг с другом, какова физика плазмы со структурами? Хотя в целом ряде натурных экспериментов наблюдались структуры в диссипативной плазме, но их адекватного теоретического, а в большинстве случаев даже компьютерного, обоснования не существовало.
Однако, через несколько лет открытие Т-слоя, сделанное, можно сказать, не на кончике пера, а на экране компьютера, было почти одновременно обнаружено несколькими группами экспериментаторов. Использование эффекта Т-слоя позволило создать опытные установки нового типа магнитно-гидродинамических генераторов с заметно большим коэффициентом полезного действия, непосредственно превращающих энергию потока плазмы в электрический ток. Позднее вышли несколько работ соавтора открытия Т-слоя В.С.Соколова с сотрудниками, дающие новые нетрадиционные объяснения природы хромосферных вспышек на Солнце и сопровождающих их явлений через эффект Т-слоя.
Другой пример — возникновение и разработка в работах научной школы академика А.А.Самарского в ИПМ АН СССР и на ВМК МГУ новых парадоксальных представлений синергетики, связанных с изучением явлений, сопровождающих развитие в нелинейной среде режимов с обострением. Любопытно отметить, что физическая и математическая теория режимов с обострением возникла на острие исследований по лазерному термоядерному синтезу.
Весьма небольшая часть работ, иллюстрирующих сказанное и отражающая применение компьютерного моделирования нелинейных процессов, приведена в списке литературы к введению.
Когда слушают на «репетиции» доклад студента или аспиранта, которому предстоит защищать диплом или диссертацию, то часто советуют обо всем упомянуть кратко, а на одном результате остановиться детальнее. Последуем и мы этому традиционному совету. Обсудим несколько подробнее теорию нелинейных сред с положительной обратной связью.
Эта теория весьма велика. Только представителям научной школы, работавшим над этими проблемами в Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН, Московском физико-техническом институте и Московском государственном университете принадлежит здесь около 500 работ. Построенная теория активно использовалась при исследовании задач физики плазмы, анализе проектов управляемого термоядерного синтеза, проблем лазерной термохимии и ряда других. Она привела к постановке многих необычных математических задач, решения которых обладают парадоксальными свойствами. Построенная теория послужила основой для интересных философских интерпретаций. Здесь же мы остановимся лишь на нескольких важных идеях и некоторых результатах, существенных для последующего изложения.
Принципиальным понятием в классической механике является материальная точка. Изменение ее состояния определяется вторым законом Ньютона, а само состояние полностью характеризуется шестью числами. Три числа задают координаты точки и три — ее скорость. При этом большинство рассматриваемых объектов было таково, что преобразование
+t,
где некоторая постоянная скорость, не меняет хода процессов в них (математики говорят, что законы механики инвариантны относительно группы преобразований Галилея). При получении многих фундаментальных результатов естествознания, начиная с описания траекторий планет, традиционным предположением было допущение о несущественности диссипативных процессов, связанных с рассеиванием энергии. К ним относятся теплопроводность, трение, вязкость. Эти представления вошли в кровь и плоть современной науки и техники. В особенности, предположение о возможности описать объект с помощью конечного набора чисел (математики называют это гипотезой о конечномерности фазового пространства). Действительно, трудно представить себе, что, познавая мир, человек вынужден иметь дело с бесконечным набором параметров. Каковы эти числа и откуда они берутся, также на заре классической механики было понято.
Однако уже Лапласом для описания реальности было введено новое фундаментальное понятие — сплошная среда. Это понятие является ключевым при описании процессов, которые развертываются не только во времени, но и в пространстве. При этом приходится считать, что для описания состояния каждой точки нужно знать несколько чисел.
В жидкости, например — пять, характеризующих давление, температуру и три компоненты скорости. Если в вакууме распространяется электромагнитная волна, то нужно 6 чисел, три определяют электрическое поле и три магнитное, и т.д. Объекты такого типа принято называть распределенными в отличие от сосредоточенных, состояние которых характеризует конечный набор чисел. Для описания таких систем Лапласом был предложен новый класс математических моделей — уравнения в частных производных. С помощью этого языка сформулированы выдающиеся достижения нашей цивилизации — уравнения гидродинамики, уравнения Максвелла, уравнение Шредингера.
Распределенные системы или сплошные среды являются одним из наиболее сложных и интересных объектов современного естествознания. Представление о сложности процессов, которые могут иметь место в таких системах, дают картины течений жидкости (см. рис.11). Обратим внимание на причудливую геометрию наблюдаемого явления, на спонтанно возникающую упорядоченность, структуры. С более глубоким пониманием пространственно-временных процессов связан ряд высоких технологий и многие фундаментальные научные проблемы. Более глубокое понимание нерегулярных, турбулентных течений жидкости открыло бы дорогу к более быстрым и экономичным кораблям и самолетам. Совершенствование компьютеров и огромного большинства электронных систем неразрывно связано с технологией создания структур на микроуровне. Наконец, переход с молекулярного уровня на клеточный, на котором, вероятно, ждут разгадки многих тайн живого, связан с анализом не только временной, но и пространственной организации в сложной химической машине, каковой является клетка. И это только начало огромного списка. В этом списке есть и проблемы, непосредственно касающиеся будущего человечества. К уравнениям в частных производных, описывающим распределенные системы, относится ряд математических моделей демографии, социологии, экономической географии, науковедения. Их начали применять при описании исторических процессов.
Рис. 11. Во многих течениях возникают различные типы упорядоченности: a — вихревая дорожка Кармана, появляющаяся при обтекании кругового цилиндра; б — конвективные валики, наблюдаемые в подогретом снизу слое жидкости; в — неустойчивость Бенара, приводящая к образованию шестигранных ячеек [28].