ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ: ОТ БЫТИЯ К СТАНОВЛЕНИЮ

Ныне мы твердо знаем, что живем в мире, где сосуществуют в неразрывной связи различные времена и ископаемые различных эпох.

Теперь перед нами возникает новый вопрос. Мы уже говорили о том, что жизнь стала казаться столь же «естественной, как свободно падающее тело». Что общего между естественным процессом самоорганизации и свободно падающим телом? Какая связь может существовать между динамикой, наукой о силах и траекториях, и наукой о сложности и становлении, наукой о жизненных процессах и о естественной эволюции, частью которой они являются? В конце XIX в. необратимость связывали с трением, вязкостью и теплопроводностью. Необратимость была первопричиной потерь и непроизводительных расходов энергии. Тогда, к началу XIX в., необратимость еще можно было приписывать неполноте наших знаний, несовершенству наших машин и утверждать, будто природа в основе своей обратима. Теперь это безвозвратно ушло в прошлое: ныне даже физика говорит нам, что необратимые процессы играют конструктивную и неоценимую по значимости роль.

Тут мы и подходим к вопросу, уклониться от которого более невозможно. Как соотносятся между собой новая наука о сложности и наука о простом, элементарном поведении? Какая связь существует между столь противоположными взглядами на природу? Не означает ли все это, что существуют две теории, две истины для одного мира? Но как такое возможно?

В определенном смысле мы возвращаемся к самым истокам современной науки. Теперь, как и во времена Ньютона, сошлись лицом к лицу две науки: наука о гравитации, описывающая подчиненную законам вневременную природу, и наука об огне, химия. Ныне мы понимаем, почему первый синтез, достигнутый наукой, ньютоновский синтез, не мог быть полным: описываемые динамикой силы взаимодействия не могут объяснить сложное и необратимое поведение материи. Ignis mutat res — огонь движет вещами. Согласно этому древнему высказыванию, химические структуры — творение огня, результат необратимых процессов. Как преодолеть брешь между бытием и становлением — двумя противоречащими друг другу понятиями, одинаково необходимыми для достижения согласованного описания того странного мира, в котором мы живем?

Глава 7. ПЕРЕОТКРЫТИЕ ВРЕМЕНИ
1. Смещение акцента

Уайтхед некогда писал о том, что «столкновение теорий — не бедствие, а благо, ибо открывает новые перспективы»1. Если это утверждение верно, то в истории науки можно указать считанное число случаев, когда новая перспектива была столь же многообещающей, как и та, которая открылась при непосредственном столкновении двух миров: мира динамики и мира термодинамики.

Ньютоновская наука была вершиной, завершающим синтезом, увенчавшим столетия экспериментирования и теоретических исследований, происходивших в различных направлениях, но метивших в одну точку. То же можно было бы утверждать и относительно термодинамики. Рост науки не имеет ничего общего с равномерным развертыванием научных дисциплин, каждая из которых в свою очередь подразделяется на все большее число водонепроницаемых отсеков. Наоборот, конвергенция различных проблем и точек зрения способствует разгерметизации образовавшихся отсеков и закутков и эффективному «перемешиванию» научной культуры. Поворотные пункты в развитии науки приводят к последствиям, выходящим за рамки чистой науки и оказывающим влияние на всю интеллектуальную среду. Верно и обратное: глобальные проблемы часто были источниками вдохновения в науке.

Столкновение теорий, конфликт между бытием и становлением свидетельствуют о том, что новый поворотный пункт уже достигнут и возникла настоятельная необходимость в новом синтезе. Такой синтез обретает свою форму в наше время, столь же неожиданную, как и все предыдущие синтезы. Мы снова являемся свидетелями замечательной конвергенции исследований, каждое из которых вносит свой вклад в выяснение природы трудностей, присущих ньютоновской концепции научной теории.

Ньютоновская наука претендовала на создание картины мира, которая была бы универсальной, детерминистической и объективной, поскольку не содержала ссылки на наблюдателя, полной, поскольку достигнутый уровень описания позволял избежать «оков» времени.

Упомянув о времени, мы подходим к самому существу проблемы. Что такое время? Следует ли нам принять ставшее традиционным после Канта противопоставление статического времени классической физики субъективно переживаемому нами времени? Вот что пишет об этом Карнап:

«Эйнштейн как-то заметил, что его серьезно беспокоит проблема «теперь». Он пояснил, что ощущение настоящего, «теперь», означает для человека нечто существенно отличное от прошлого и будущего, но это важное отличие не возникает и не может возникнуть в физике. Признание в том, что наука бессильна познать это ощущение, было для Эйнштейна болезненным, но неизбежным. Я заметил, что все происходящее объективно может быть описано наукой. С одной стороны, описанием временной последовательности событий занимается физика, с другой стороны, особенности восприятия человеком времени, в том числе различное отношение человека к прошлому, настоящему и будущему, может быть описано и (в принципе) объяснено психологией. Но Эйнштейн, по-видимому, считал, что эти научные описания не могут удовлетворить наши человеческие потребности и что с «теперь» связано нечто существенное, лежащее за пределами науки»2.

Интересно отметить, что Бергсон, избравший в определенном смысле иной путь, также пришел к дуалистическому заключению (см. гл. 3). Подобно Эйнштейну, Бергсон начал с субъективного времени и, отправляясь от него, двинулся к времени в природе, времени, объективированному физикой. Но, с точки зрения Бергсона, такая объективизация лишила время прочной основы. Внутреннее экзистенциальное время утратило при переходе к объективированному времени свои качественные отличительные свойства. По этой причине Бергсон ввел различие между физическим временем и длительностью — понятием, относящимся к экзистенциальному времени.

Но на этом история не кончается. Как заметил Дж. Т. Фрезер, «последовавшее разделение на время ощущаемое и время понимаемое является клеймом научно-промышленной цивилизации, своего рода коллективной шизофренией»3. Как мы уже отмечали, там, где классическая наука подчеркивала незыблемость и постоянство, мы обнаруживаем изменение и эволюцию. При взгляде на небо мы видим не траектории, некогда восхищавшие Канта ничуть не меньше, чем сам пребывающий в нем моральный закон, а некие странные объекты: квазары, пульсары, взрывающиеся и разрывающиеся на части галактики, звезды, коллапсирующие, как нам говорят, в «черные дыры», которые безвозвратно поглощают все, что в них попадает.

Время проникло не только в биологию, геологию и социальные науки, но и на те два уровня, из которых его традиционно исключали: микроскопический и космический. Не только жизнь, но и Вселенная в целом имеет историю, и это обстоятельство влечет за собой важные следствия.

Первая теоретическая работа, в которой космологическая модель рассматривалась с точки зрения общей теории относительности, была опубликована Эйнштейном в 1917 г. В ней Эйнштейн нарисовал статическую, безвременную картину мира Спинозы, своего рода миросозерцание в переводе на язык физики. И тогда случилось неожиданное: сразу же после выхода в свет работы Эйнштейна стало ясно, что, помимо найденных им стационарных решений, эйнштейновские уравнения допускают и другие нестационарные (т. е. зависящие от времени) решения. Этим открытием мы обязаны советскому физику А. А. Фридману и бельгийцу Ж. Леметру. В то же время Хаббл и его сотрудники, занимаясь изучением движения галактик, показали, что скорость дальних галактик пропорциональна расстоянию до них от Земли. В рамках теории расширяющейся Вселенной, основы которой были заложены Фридманом и Леметром, закон Хаббла был очевиден. Тем не менее на протяжении многих лет физики всячески сопротивлялись принятию «исторического» описания эволюции Вселенной. Сам Эйнштейн относился к нему с большой осторожностью. Леметр часто рассказывал, что, когда он пытался обсуждать с Эйнштейном возможность более точного задания начального состояния Вселенной в надежде найти объяснение космических лучей, Эйнштейн не проявил никакого интереса.

Ныне мы располагаем новыми сведениями о знаменитом реликтовом излучении — «свете», испущенном при взрыве сверхплотного файербола, с которого началась наша Вселенная. По иронии истории, Эйнштейн (в известной мере против собственной воли) стал Дарвином физики. Дарвин учил, что человек составляет неотъемлемую часть биологической эволюции; и Эйнштейн учил, что человек неразрывными узами связан с эволюцией Вселенной. Идеи Эйнштейна привели его к открытию «нового континента», и это открытие было для него столь же неожиданным, как открытие Америки для Колумба. Подобно многим физикам своего поколения, Эйнштейн исходил в своей деятельности из глубокого убеждения в существовании в природе фундаментального простого уровня. Однако ныне этот уровень становится все менее доступным эксперименту. Единственные объекты, поведение которых действительно «просто», существуют в нашем мире на макроскопическом уровне. Классическая наука тщательно выбирала объекты изучения именно на этом промежуточном уровне. Первые объекты, выделенные Ньютоном, действительно были простыми; свободно падающие тела, маятник, движение планет. Однако, как мы знаем теперь, эта простота отнюдь не является отличительной особенностью фундаментального: она не может быть приписана остальному миру.

Достаточно ли этого? Мы знаем ныне, что устойчивость и простота являются скорее исключением, чем правилом. Следует ли просто отбросить претендующие на всеобщность тоталитарные притязания концептуализации, применимые в действительности лишь к простым и устойчивым объектам? Нужно ли проявлять столь большую заботу о том, чтобы согласовать динамику и термодинамику?

Не следует забывать слова Уайтхеда, справедливость которых непрестанно подтверждается историей науки: столкновение теорий не бедствие, а благо ибо открывает новые перспективы. Различные авторы довольно часто высказывали мысль о том, что мы из практических соображений игнорируем те или иные проблемы: поскольку те основаны на трудно реализуемых идеализациях. В начале XX в. некоторые физики предлагали отказаться от детерминизма на том основании, что он недостижим в реальном опыте4. Действительно, мы уже говорили о том, что точные положения и скорости молекул в большой системе никогда нельзя считать известными. Поэтому точно предсказать будущую эволюцию системы невозможно. Впоследствии Бриллюэн попытался подорвать детерминизм, апеллируя к истине на уровне здравого смысла. Точное предсказание, рассуждал он, требует точного знания начальных условий, а за это знание нужно платить. За точное предсказание, необходимое для того, чтобы детерминизм «работал», необходимо платить бесконечно большую цену.

Подобные возражения при всей их разумности не оказывают особого влияния на концептуальный мир динамики. Не проливают они новый свет и на реальность. Кроме того, усовершенствования в области технологии могут все больше приближать нас к идеализации, требуемой классической динамикой.

В отличие от таких возражений доказательства «невозможности» имеют фундаментальные значения. Каждое из них открывает какую-то неожиданную внутреннюю структуру реальности, обрекающую на провал чисто умозрительные построения. Такие открытия исключают возможность проведения операции, ранее считавшейся (по крайней мере в принципе) возможной. «Ни один двигатель не может иметь коэффициент полезного действия, который бы превышал единицу», «ни один тепловой двигатель не может производить полезную работу, если он не находится в контакте с двумя источниками (нагревателем и холодильником)», — примеры двух утверждений о невозможности, которые привели к глубокой перестройке системы понятий.

В основе термодинамики, теории относительности и квантовой механики лежат открытия невозможности, установление пределов амбициозных притязаний классической физики. Эти открытия ознаменовали в свое время конец целых направлений в естествознании, достигших своих пределов. Ныне они предстают перед нами в ином свете — не как конец, а как начало, как новая, открывающаяся перспектива. В гл. 9 мы увидим, что второе начало термодинамики выражает «невозможность» даже на микроскопическом уровне, но и здесь эта недавно открытая невозможность становится исходным пунктом для возникновения новых понятий.

2. Конец универсальности
Научное описание должно соответствовать источникам, доступным наблюдателю, принадлежащему тому миру, который он описывает, а не существу, созерцающему наш мир «извне». Таково одно из фундаментальных требований теории относительности. Она устанавливает предел скорости распространения сигнала, который не может быть превзойден ни одним наблюдателем. Скорость света с в вакууме (с=300 000 км/с) — предельная скорость распространения всех сигналов. Эта предельная скорость играет весьма важную роль: она ограничивает ту область пространства, которая может влиять на точку нахождения наблюдателя.

В ньютоновской физике нет универсальных постоянных. Именно поэтому она претендует на универсальность, на применимость независимо от масштаба объектов: движение атомов, планет и небесных светил подчиняется единому закону.

Открытие универсальных постоянных произвело коренной переворот в бытующих взглядах. Используя скорость света как эталон для сравнения, физика установила различие между малыми и большими скоростями (последние приближаются к скорости света).

Аналогичным образом постоянная Планка h позволила установить естественную шкалу масс объектов. Атом уже не мог более считаться крохотной планетной системой: электроны принадлежат к иному масштабу масс, чем планеты и все тяжелые медленно движущиеся макроскопические объекты, включая нас самих.

Универсальные постоянные не только разрушили однородность Вселенной введением физических масштабов, позволяющих устанавливать качественные различия между отдельными типами поведения, но и привели к новой концепции объективности. Ни один наблюдатель не может передавать сигналы со скоростью, большей, чем скорость света в вакууме. Исходя из этого постулата, Эйнштейн пришел к весьма замечательному выводу: мы не можем более определить абсолютную одновременность двух пространственно разделенных событий; одновременность может быть определена только относительно данной системы отсчета. Подробное изложение теории относительности увело бы нас слишком далеко от основной темы, поэтому мы ограничимся лишь одним замечанием. Законы Ньютона отнюдь не предполагают, что наблюдатель — «физическое существо». Объективность описания определяется как отсутствие всякого упоминания об авторе описания. Для «нефизических» разумных существ, способных обмениваться сигналами, распространяющимися с бесконечно большой скоростью, теория относительности была бы неверна. То обстоятельство, что теория относительности основана на ограничении, применимом к физически локализованным наблюдателям, существам, могущим находиться в один момент времени лишь в одном месте, а не всюду сразу, придает физике некую «человечность». Это отнюдь не означает, будто физика субъективна, т. е. является результатом наших предпочтений и убеждений. Физика по-прежнему остается во власти внутренних связей, делающих нас частью того физического мира, который мы описываем. Наша физика предполагает, что наблюдатель находится внутри наблюдаемого им мира. Наш диалог с природой успешен лишь в том случае, если он ведется внутри природы.

3. Возникновение квантовой механики
Теория относительности изменила классическое представление об объективности. Но она оставила неизменной другую принципиально важную отличительную особенность классической физики — претензию на «полное» описание природы. Хотя после создания специальной теории относительности физики уже не могли апеллировать к демону, наблюдающему всю Вселенную извне, но еще обращались к всевышнему — математику, который, по словам Эйнштейна, изощрен, но не злонамерен и не играет в кости. Считалось, что всеведущий математик владеет «формулой Вселенной», включавшей в себя полное описание природы. В этом смысле теория относительности была продолжением классической физики.

Первой физической теорией, действительно порвавшей с прошлым, стала квантовая механика. Она не только поместила нас в природу, но и присвоила нам атрибут «тяжелые», т. е. состоящие из макроскопически большого числа атомов. Дабы придать большую наглядность физическим следствиям из существования такой универсальной постоянной, как скорость света, Эйнштейн вообразил себя летящим верхом на фотоне. Но, как показала квантовая механика, мы слишком тяжелы для того, чтобы ездить верхом на фотонах или электронах. Мы не можем заменить те эфемерные существа, которым дано оседлать фотон, не можем отождествить себя с ними и описать, что бы они думали, если бы были наделены способностью мыслить, и что бы они ощущали, если бы могли чувствовать.

История квантовой механики, как и история любой концептуальной инновации, сложна и полна неожиданных событий. Это история логики, следствия из которой были извлечены после того, как она возникла, вызванная к жизни настоятельной потребностью эксперимента, в сложной политической и культурной обстановке5. Не имея возможности сколько-нибудь подробно останавливаться на истории квантовой механики, мы хотим лишь подчеркнуть ту роль, которую она сыграла в наведении моста между бытием и становлением — главной темы книги.

Своим рождением квантовая механика отчасти обязана стремлению физиков преодолеть пропасть, отделявшую бытие от становления. Планка интересовало взаимодействие между веществом и излучением. Он намеревался осуществить для взаимодействия вещества со светом такую же программу, какую Больцман осуществил для взаимодействия вещества с веществом, а именно: построить кинетическую модель необратимых процессов, приводящих к равновесию6. К своему удивлению, Планк обнаружил, что достичь согласия с экспериментальными результатами в условиях теплового равновесия можно, лишь приняв гипотезу о том, что обмен энергией между веществом и излучением происходит только дискретными порциями, пропорциональными новой универсальной постоянной. Эта универсальная постоянная h служит мерой для порций энергии.

И в этом случае, как и во многих других, попытка понять природу необратимости способствовала существенному прогрессу физики.

Открытие дискретности, или квантованности, энергии оставалось вне связи с другими физическими явлениями до тех пор, пока Эйнштейн не предложил первую общую интерпретацию постоянной Планка. Эйнштейн понял, к сколь далеки идущим последствиям приводит открытие Планка для природы света, и выдвинул радикально новое понятие: дуализм волна — частица (для света).

В начале XIX в. физики наделяли свет волновыми свойствами, проявляющимися в таких явлениях, как дифракция и интерференция. Но в конце XIX в. были открыты новые явления. Самым важным из новых открытий по праву считается фотоэлектрический эффект — испускание электронов поверхностью металла в результате поглощения света. Объяснить новые экспериментальные результаты традиционными волновыми свойствами света было трудно. Эйнштейн разрешил проблему фотоэлектрического эффекта, предположив, что свет может быть и волной, и частицей и что обе «ипостаси» света связаны между собой постоянной Планка. Точный смысл нашего утверждения состоит в следующем. Световая волна характеризуется частотой v и длиной волны l. Постоянная Планка позволяет переходить от частоты и длины волны к таким механическим величинам, как энергия e и импульс р. Соотношения между v и l, а также между e и р очень просты (e=hv, p=h/l), и оба содержат постоянную Планка h, Через двадцать лет после Эйнштейна Луи де Бройль обобщил дуализм волна — частица со света на материю. Это открытие послужило исходным пунктом современной формулировки квантовой механики.

В 1913 г. Нильс Бор установил связь новой квантовой физики со строением атомов (а впоследствии и молекул). Исходя из дуализма волна — частица, Бор показал, что существует дискретная последовательность орбит электронов. При возбуждении атома электрон прыжком переходит с одной орбиты на другую. В этот самый момент атом испускает или поглощает фотон, частота которого соответствует разности энергии, характеризующей движение электрона по каждой из двух орбит. Эта разность вычисляется по формуле Эйнштейна, устанавливающей соотношение между энергией и частотой.

Наступили решающие 1925-1927 годы — «золотой век» физики7. За этот короткий период Гейзенберг, Борн, Иордан, Шредингер и Дирак превратили квантовую механику в непротиворечивую новую теорию. Дуализм волна — частица Эйнштейна и де Бройля эта теория органично включила в схему новой обобщенной формы динамики: квантовой механики. Для нас существенна концептуальная новизна квантовой механики.

Первая и, пожалуй, наиболее существенная особенность этой теории состояла в ее новой, неизвестной в классической физике формулировке, которая понадобилась для того, чтобы ввести в теоретический язык квантование. Атом (и это весьма существенно!) может находиться лишь на дискретных энергетических уровнях, соответствующих различным орбитам электронов. Это, в частности, означает, что энергия (или гамильтониан) не может быть функцией только координат и импульса, как в классической механике (в противном случае, придавая координатам и импульсам значения, близкие к исходным, мы могли бы непрерывно изменять энергию, в то время как эксперимент показывает, что существуют лишь дискретные энергетические уровни).

Итак, от традиционного представления о гамильтониане как о функции координат и импульса, необходимо отказаться и заменить его чем-то новым. Основная идея квантовой механики состоит в том, что гамильтониан так же, как и другие величины классической механики, например координаты q или импульсы р, надлежит рассматривать как операторы. Переход от чисел к операторам — одна из наиболее дерзких идей в современной науке, и нам хотелось бы обсудить ее более подробно.

Сама по себе эта идея очень проста, хотя на первый взгляд кажется несколько абстрактной: оператор (математическую операцию, производимую над некоторым объектом) необходимо отличать от объекта, на который он действует, — от функции. Выберем, например, в качестве математического оператора дифференцирование (взятие производной) d/dx. Действуя нашим оператором на какую-нибудь функцию (например, на х2), мы получим новую функцию (в данном случае 2х). Некоторые функции ведут себя при дифференцировании особым образом. Например, производная от e3x равна 3e3x, т. е. отличается от исходной функции только численным множителем (равным в нашем примере 3). Функции, переходящие под действием оператора (с точностью до численного множителя) в себя, называются собственными функциями данного оператора, а численные множители, на которые они умножаются, — собственными значениями оператора.

Каждому оператору соответствует определенный набор собственных значений, который называется спектром. Если собственные значения образуют дискретную последовательность, то спектр дискретный. Например, существует оператор, имеющий собственными значениями все целые неотрицательные числа: 0, 1, 2, … Спектр может быть и непрерывным, например, состоять из всех чисел, заключенных между 0 и 1.

Основная идея квантовой механики сводится к следующему: всем физическим величинам классической механики в квантовой механике соответствуют «свои» операторы, а численным значениям, принимаемым данной физической величиной, — собственные значения ее квантовомеханического оператора. Подчеркнем одну важную особенность квантовой механики: различие, проводимое в ней между понятием физической величины (представимой оператором) и принимаемыми этой величиной численными значениями (представимыми собственными значениями оператора). В частности, энергии в квантовой механике соответствует оператор гамильтониан, а энергетическим уровням (наблюдаемым значениям энергии) — собственные значения спектра гамильтониана.

Введение операторов распахнуло перед физиками ворота в неожиданно богатый и разнообразный микроскопический мир, и нам остается лишь сожалеть, что мы не можем уделить больше места такой увлекательной области пауки, как квантовая механика, в которой творческое воображение и экспериментальное наблюдение столь успешно сочетаются друг с другом. Подчеркнем лишь, что микроскопический мир подчиняется законам, имеющим качественно новую структуру. Тем самым раз и навсегда кладется конец всем надеждам на создание единой концептуальной схемы, общей для всех уровней описания.

Новый математический язык, изобретаемый для преодоления вполне определенных трудностей, может способствовать открытию новых областей исследования, полных неожиданностей, превосходящих самые смелые ожидания своих создателей. Так было с дифференциальным исчислением, лежащим в основе классической динамики. Так было и с теорией операторов. Квантовая теория, созданная в ответ на насущную потребность объяснения новых, неожиданных экспериментальных открытий, — вскоре превратилась в почти необозримую terra incognita — бескрайний простор для исследований.

Ныне, через более чем пятьдесят лет после введения операторов в квантовую механику, их значение по-прежнему остается предметом горячих дискуссий. Исторически введение операторов связано с существованием энергетических уровней, но теперь операторы применяются даже в классической физике. Их значение намного превзошло ожидания основателей квантовой механики. Операторы ныне вступают в игру всякий раз, когда по той или иной причине приходится отказываться от понятия динамической траектории, а вместе с ним и от детерминистического описания траектории.

4. Соотношения неопределенности Гейзенберга
Мы видели, что в квантовой механике каждой физической величине соответствует оператор, который действует на функции. Особенно важную роль играют собственные функции и собственные значения интересующего нас оператора. Собственные значения соответствуют допустимым численным значениям величины. Рассмотрим теперь более подробно квантовомеханические операторы, связанные с координатами q и импульсами р (как показано в гл. 2, эти величины — канонические переменные).

В классической механике координаты и импульсы независимы в том смысле, что мы можем приписывать координате любое численное значение совершенно независимо от того, какое значение приписано нами импульсу. Но существование постоянной Планка h приводит к уменьшению числа независимых переменных. Об этом можно было бы догадаться, исходя из соотношения Эйнштейна-де Бройля l=h/p, связывающего длину волны с импульсом: постоянная Планка есть отношение длины волны частицы (тесно связанной с понятием координаты) к ее импульсу. Следовательно, координаты и импульс квантовомеханической частицы уже более не являются независимыми переменными, как в классической механике. Операторы, соответствующие координатам и импульсам, как объясняется во всех учебниках квантовой механики, могут быть представлены либо только в координатах, либо только в импульсах.

Важно подчеркнуть, что во всех этих случаях в представление оператора входят только однотипные величины (либо только координаты, либо только импульсы), но не координаты и импульсы одновременно. В этом смысле можно утверждать, что в квантовой механике число независимых переменных вдвое меньше, чем в классической.

Из соотношения между операторами в квантовой механике вытекает одно фундаментальное свойство: два оператора — qоп и роп — не коммутируют, т. е., действуя на одну и ту же функцию операторами qопроп и ропqоп, мы получим различные функции. Некоммутационность операторов координат и импульсов приводит к весьма важным следствиям, так как только коммутирующие операторы допускают общие собственные функции. Таким образом, невозможно указать функцию, которая была бы одновременно собственной функцией координаты и импульса. Из определения координаты и импульса в квантовой механике следует, что не существует состояний, в которых эти две физические величины (т. е. координата q и импульс р) имели бы вполне определенное значение. Эту ситуацию, неизвестную в классической механике, выражают знаменитые соотношения неопределенности Гейзенберга. Мы можем измерять координату и импульс, но неопределенности в их значениях Dq и Dр связаны между собой неравенством Гейзенберга DqDр?h. Если неопределенность Dq в положении частицы сделать сколь угодной малой, то неопределенность Dр в ее импульсе обратится в бесконечность, и наоборот.

О соотношениях неопределенности Гейзенберга написано много, и мы сознательно переупрощаем их изложение. Нам хотелось лишь, чтобы читатель мог составить хотя бы общее представление о новых проблемах, возникших в связи с использованием операторов.

Соотношение неопределенности Гейзенберга с необходимостью приводит к пересмотру понятия причинности. Мы можем определить координату с абсолютной точностью, но в тот момент, когда это происходит, импульс принимает совершенно произвольное значение, положительное или отрицательное. Это означает, что объект, положение которого нам удалось измерить абсолютно точно, тотчас же перемещается сколь угодно далеко. Локализация утрачивает смысл: понятия, составляющие самую основу классической механики, при переходе к квантовой механике претерпевают глубокие изменения.

Столь необычные следствия из квантовой механики были неприемлемы для многих физиков, в том числе и для Эйнштейна. Для доказательства их абсурдности было предложено и поставлено немало экспериментов. Предпринимались также попытки минимизировать концептуальные изменения, вызванные квантовой механикой. В частности, высказывалась мысль о том, что основания квантовой механики каким-то образом связаны с возмущениями, вносимыми в процессе наблюдения. Предполагалось, что система обладает внутренне вполне определенными механическими параметрами — координатами и импульсами, но в процессе измерения некоторые из этих параметров становятся неопределенными, и неравенство Гейзенберга выражает лишь связь между возмущениями, вносимыми в систему при измерении. Тем самым классический реализм в основе своей сохранялся бы в неприкосновенности, и мы лишь добавляли к нему позитивистское определение. Такая интерпретация слишком узка. Не квантовый процесс измерения вносит возмущения в значения координат и импульсов. Отнюдь нет! Постоянная Планка вынуждает нас к пересмотру традиционных представлений о координатах и импульсах. Такой вывод подтверждается недавними экспериментами, поставленными для проверки гипотезы о скрытых переменных, выдвинутой для восстановления позиций классического детерминизма8. Результаты экспериментов подтвердили правильность поразительных следствий из квантовой механики.

Из того, что квантовая механика вынуждает нас говорить менее определенно о локализации объекта, следует, как часто подчеркивал Нильс Бор, необходимость отказа от классической физики. Для Бора постоянная Планка определяет взаимодействие между квантовой системой и измерительным устройством как единым целым, включая взаимодействие в процессе измерения, в результате которого мы получаем возможность приписывать измеряемым величинам численные значения. Все измерения, по Бору, подразумевают выбор измерительного устройства, выбор вопроса, на который требуется дать ответ. В этом смысле ответ, т. е. результат измерения, не открывает перед нами доступ к данной реальности. Нам приходится решать, какое измерение мы собираемся произвести над системой и какой вопрос наши эксперименты зададут ей. Следовательно, существует неустранимая множественность представлений системы, каждое из которых связано с определенным набором операторов.

В свою очередь это влечет за собой отход квантовой механики от классического понятия объективности, поскольку с классической точки зрения существует единственное объективное описание. Оно является полным описанием системы «такой, как она есть», не зависящим от выбора способа наблюдения.

Бор всегда подчеркивал новизну, нетрадиционность позитивного выбора, производимого при квантовомеханическим измерении. Физику необходимо выбрать свой язык, свой макроскопический измерительный прибор. Эту идею Бор сформулировал в виде так называемого принципа дополнительности9, который можно рассматривать как обобщение соотношений неопределенности Гейзенберга. Мы можем измерить либо координаты, либо импульсы, но не координаты и импульсы одновременно. Физическое содержание системы не исчерпывается каким-либо одним теоретическим языком, посредством которого можно было бы выразить переменные, способные принимать вполне определенные значения. Различные языки и точки зрения на систему могут оказаться дополнительными. Все они связаны с одной и той же реальностью, но не сводятся к одному-единственному описанию. Неустранимая множественность точек зрения на одну и ту же реальность означает невозможность существования божественной точки зрения, с которой открывается «вид» на всю реальность. Однако принцип дополнительности учит нас не только отказу от несбыточных надежд. Бор неоднократно говорил, что от размышлений над смыслом квантовой механики голова у него идет кругом, и с ним нельзя не согласиться: у каждого из нас голова пойдет кругом, стоит лишь оторваться от привычной рутины здравого смысла.

Реальный урок, который мы можем извлечь из принципа дополнительности (урок, важный и для других областей знания), состоит в констатации богатства и разнообразия реальности, превосходящей изобразительные возможности любого отдельно взятого языка, любой отдельно взятой логической структуры. Каждый язык способен выразить лишь какую-то часть реальности. Например, ни одно направление в исполнительском искусстве и музыкальной композиции от Баха до Шёнберга не исчерпывает всей музыки.

Мы стремились всячески подчеркнуть важность введения операторов, ибо они позволили нам достаточно убедительно показать: реальность, изучаемая физикой, есть не что иное, как конструкция нашего разума, а не только данность. Необходимо проводить различие между абстрактным понятием координаты или импульса, представляемых математически операторами, и их численной реализацией, достигаемой посредством эксперимента. Одна из причин противопоставления «двух культур», по-видимому, кроется в убеждении, что литература соответствует некоторой концептуализации реальности, чему-то вымышленному, в то время как наука выражает объективную реальность. Квантовая механика учит нас, что ситуация не столь проста. Существенный элемент концептуализации подразумевается на всех уровнях реальности.

5. Временная эволюция квантовых систем
Перейдем теперь к рассмотрению временной эволюции квантовых систем. В квантовой механике, как и в классической, основную роль играет гамильтониан. Как мы уже знаем, в квантовой механике гамильтониан-функция заменяется гамильтониан-оператором Hоп. Этот оператор энергии выполняет весьма важную миссию: с одной стороны, его собственные значения соответствуют энергетическим уровням, с другой стороны, как и в классической механике, гамильтониан определяет временную эволюцию системы. В квантовой механике аналогом канонических уравнений классической механики является уравнение Шредингера, которое описывает временную эволюцию функции ?, задающей квантовое состояние системы как результат действия на волновую функцию ? гамильтониана Hоп (существуют и другие формулировки квантовой механики, но мы не будем приводить их здесь). Термин волновая функция выбран для того, чтобы еще раз подчеркнуть столь важный для всей квантовой физики дуализм волна — частица. Напомним, что ? — амплитуда волны, эволюционирующей в соответствии с зависящим от типа частицы уравнением, задаваемым гамильтонианом. Как и канонические уравнения классической физики, уравнение Шредингера описывает обратимую и детерминистическую эволюцию. Обратимое изменение волновой функции в квантовой механике соответствует обратимому движению вдоль траектории. Если волновая функция в данный момент времени известна, то уравнение Шредингера позволяет вычислить значение, принимаемое ею в любой другой момент времени как в прошлом, так и в будущем. С этой точки зрения ситуация в квантовой механике вполне аналогична ситуации в классической механике. Столь тесная аналогия объясняется тем, что время не входит в соотношения неопределенности в квантовой механике. Время в квантовой механике — число, а не оператор, тогда как в соотношения неопределенности Гейзенберга могут входить только операторы.

Квантовая механика использует лишь половину переменных классической механики, поэтому классический детерминизм становится неприменимым, и в квантовой физике центральное место занимают статистические соображения. В соприкосновение с ними мы вступаем через интенсивность волны |?|^2 (квадрат амплитуды).

Стандартная статистическая интерпретация квантовой механики сводится к следующему. Рассмотрим собственные функции какого-нибудь оператора (например, оператора энергии Hоп) и соответствующие им собственные значения. В общем случае волновая функция ? не является собственной функцией оператора энергии, но представима в вмде суперпозиции собственных функций. Вес («важность»), с которым каждая собственная функция входит в эту суперпозицию, позволяет вычислять вероятность появления соответствующего собственного значения.

Здесь мы снова сталкиваемся с весьма важным отклонением от классической теории: предсказуемы только вероятности, а не отдельные события. Второй раз за историю физики вероятности были привлечены для объяснения некоторых фундаментальных свойств природы. Впервые вероятности использовал Больцман в своей интерпретации энтропии. Однако предложенная Больцманом интерпретация отнюдь не исключала субъективную точку зрения, согласно которой «только» ограниченность наших знаний перед лицом сложности системы служит препятствием на пути к полному описанию. (Как мы увидим в дальнейшем, это заблуждение ныне вполне преодолимо.) Как и во времена Больцмана, использование вероятностей в квантовой механике оказалось неприемлемым для многих физиков (в том числе и для Эйнштейна), стремившихся к «полному» детерминистическому описанию. Как и в случае необратимости, ссылка на неполноту и ограниченность нашего знания, казалось, позволяла найти выход из создавшегося затруднения: ответственность за статистический характер квантовомеханического описания так же, как некогда за необратимость, возлагалась на нашу неспособность охватить все детали поведения сложной системы.

И здесь мы снова подошли к проблеме скрытых переменных. Однако, как уже говорилось, из-за отсутствия сколько-нибудь убедительного экспериментального подтверждения от идеи введения скрытых переменных пришлось отказаться. Фундаментальная роль вероятностей в квантовой механике постепенно получила всеобщее признание.

Существует лишь один случай, когда уравнение Шредингера приводит к детерминистическому предсказанию: так бывает, когда волновая функция ?, представимая, вообще говоря, в виде суперпозиции собственных функций, сводится к одной-единственной функции. В частности, при идеальном процессе измерения система может быть приготовлена таким образом, чтобы результат данного измерения был предсказуем. Тогда систему будет описывать единственная собственная функция и поведение системы станет достоверно предсказуемым: она будет находиться в собственном состоянии, соответствующем результату измерения.

Процесс измерения в квантовой механике имеет особое значение, и поныне вызывающее значительный интерес. Предположим, что мы начали с волновой функции, которая является в действительности суперпозицией собственных функций. В результате процесса измерения этот единственный набор систем, представимых одной и той же волновой функцией, заменяется набором волновых функций, соответствующих различным собственным значениям, которые могут быть измерены. На языке квантовой механики это означает, что измерение переводит одну волновую функцию («чистое» состояние) в смесь («смешанное» состояние).

Бор и Розенфельд[10] неоднократно отмечали, что каждое измерение содержит элемент необратимости, т. о. апеллировали к необратимым явлениям (таким, как химические процессы), соответствующим записи, или регистрации, данных. Запись сопровождается усилением, в результате которого микроскопическое явление производит эффект на макроскопическом уровне, т. е. на том самом уровне, на котором мы считываем показания измерительных приборов. Таким образом, измерение предполагает необратимость.

В определенном смысле это утверждение было справедливо и в классической физике. Но проблема необратимого характера измерения в квантовой механике приобрела большую остроту, поскольку затрагивает вопросы на уровне формулировки квантовой механики.

Обычный подход к этой проблеме сводится к утверждению о том, что у квантовой механики нет иного выбора, как постулировать сосуществование двух первичных и не сводимых друг к другу процессов: обратимой и непрерывной эволюции, описываемой уравнением Шредингера, и необратимой и дискретной редукции волновой функции к одной из входящих в нее собственных функций в момент измерения. Возникает парадокс: обратимое уравнение Шредингера может быть проверено лишь с помощью необратимых измерений, которые это уравнение, по определению, не может описывать. Следовательно, квантовая механика не может быть замкнутой теорией.

Столкнувшись со столь большими трудностями, некоторые физики в очередной раз попытались искать убежище в субъективизме, утверждая, что мы сами (наше измерение и даже, по мнению некоторых, наш разум) определяем эволюцию системы, нарушающую естественную «объективную» обратимость11. Другие физики пришли к выводу, что уравнение Шредингера «не полно» и в него необходимо ввести новые члены, которые бы учитывали необратимость измерения. Предлагались и менее правдоподобные решения проблемы, такие, как гипотеза многих миров Эверетта (см. книгу д’Эспаньи, указанную в прим. 8). Однако для нас сосуществование в квантовой механике обратимости и необратимости свидетельствует о том, что классическая идеализация, описывающая мир как замкнутую систему, на микроскопическом уровне невозможна. Именно это имел в виду Бор, когда заметил, что язык, используемый нами для описания квантовой системы, неотделим от макроскопических понятий, описывающих функционирование наших измерительных приборов. Уравнение Шредингера описывает не какой-то особый уровень реальности. В его основе лежит скорее предположение о существовании макроскопического мира, которому принадлежим мы сами.

Таким образом, проблема измерения в квантовой механике является аспектом одной из проблем, которым посвящена наша книга, — взаимосвязи между простым миром, описываемым гамильтоновыми траекториями и уравнением Шредингера, и сложным макроскопическим миром необратимых процессов.

В гл. 9 мы увидим, что необратимость входит в классическую физику, когда идеализация, в основе которой заложено понятие траектории, становится неадекватной. Проблема измерения в квантовой механике допускает решение того же типа12. Действительно, волновая функция представляет максимум того, что нам известно о квантовой системе. Как в классической физике, объект этого максимального знания удовлетворяет обратимому эволюционному уравнению. В обоих случаях необратимость возникает, когда идеальный объект, соответствующий максимальному знанию, подлежит замене менее идеализированными понятиями. Но когда это происходит? Наступление такого момента зависит от физических механизмов необратимости, к которым мы еще вернемся в гл. 9. Но предварительно нам необходимо резюмировать некоторые другие особенности возрождения современной науки.

6. Неравновесная Вселенная
Две научные революции, описанные в этой главе, начались с попыток включить в общую схему классической механики универсальные постоянные с и h. Это повлекло за собой далеко идущие последствия, частично описанные выше. Вместе с том нельзя не отметить, что другие аспекты теории относительности и квантовой механики свидетельствуют об их принадлежности к мировоззрению, лежащему в основе ньютоновской механики. В особенности это относится к роли и значению времени. Коль скоро в квантовой механике волновая функция известна в нулевой момент времени, ее значение ? (t) определено в любой момент времени t, как в прошлом, так и в будущем. Аналогичным образом в теории относительности статический, геометрический характер времени часто подчеркивается использованием четырехмерных обозначений (трех пространственных измерений и одного временного). Как точно заметил Минковский в 1908 г., «отныне пространство само по себе и время само по себе должны обратиться в фикции и лишь некоторый вид соединения обоих должен еще сохранить самостоятельность»13.

Но за последние пятьдесят лет ситуация резко изменилась. Квантовая теория стала основным средством при рассмотрении элементарных частиц и их превращений. Описание фантастического многообразия элементарных частиц, обнаруженных за последние годы, увело бы нас далеко в сторону от нашей основной темы.

Напомним лишь, что, опираясь на квантовую механику и теорию относительности, Дирак предсказал существование античастиц: каждой частице с массой m и зарядом е соответствует античастица с массой m и зарядом противоположного знака. Предвидение Дирака подтвердилось: к настоящему времени на ускорителях высоких энергий получены позитроны (античастицы электронов), антипротоны. Антиматерия стала обычным предметом исследования в физике элементарных частиц. При столкновении частицы и античастицы аннигилируют с выделением фотонов — безмассовых частиц света. Уравнения квантовой теории симметричны относительно замены частицы — античастицы или, точнее, относительно более слабого требования, известного под названием СРТ-симметрии. Несмотря на СРТ-симметрию, между частицами и античастицами в окружающем нас мире существует замечательная дисимметрия. Мы состоим из частиц (электронов, протонов). Что же касается античастиц, то они остаются своего рода лабораторными «раритетами». Если бы частицы и античастицы сосуществовали в равных количествах, то все вещество аннигилировало бы. Имеются веские основания полагать, что в нашей Галактике антиматерия не существует, но не исключено, что она существует в других галактиках. Можно представить себе, что во Вселенной действует некий механизм, разделяющий частицы и античастицы и «прячущий» последние где-то далеко от нас. Однако более вероятно, что мы живем в несимметричной Вселенной, в которой материя преобладает над антиматерией.

Как такое возможно? Модель, объясняющая наблюдаемую ситуацию, была предложена А. Д. Сахаровым в 1966 г.14 В настоящее время проблема отсутствия симметрии в распределении материи и антиматерии усиленно разрабатывается. Существенным элементом современного подхода является утверждение о том, что в момент образования материи Вселенная должна была находиться в неравновесных условиях, поскольку в состоянии равновесия из закона действия масс, о котором шла речь в гл. 5, следовало бы количественное равенство материи и антиматерии.

В этой связи мы хотели бы подчеркнуть, что неравновесность обретает ныне новое, космологическое измерение. Без неравновесности и связанных с ней необратимых процессов Вселенная имела бы совершенно иную структуру. Материя нигде не встречалась бы в заметных количествах. Повсюду наблюдались бы лишь флуктуации, приводящие к локальным избыткам то материи, то антиматерии.

Из механистической теории, модифицированной с учетом существования универсальной постоянной h, квантовая теория превратилась в теорию взаимопревращений элементарных частиц. В ходе предпринятых в последнее время попыток построить единую теорию элементарных частиц высказывалась гипотеза о том, что все элементарные частицы материи, включая протон, нестабильны (правда, время жизни протона достигает коллосальной величины — 1030 лет). Механика, наука о движении, вместо того чтобы соответствовать

фундаментальному уровню описания, низводится до роли приближения, годного лишь вследствие огромного времени жизни таких элементарных частиц, как протоны.

Аналогичным трансформациям подверглась и теория относительности. Как мы уже упоминали, теория относительности начинала как геометрическая теория, сильно акцентировавшая свой безвременной характер. Ныне теория относительности является основным инструментом исследования тепловой истории Вселенной, позволяющим раскрыть те механизмы, которые привели к наблюдаемой ныне структуре Вселенной. Тем самым обрела новое звучание проблема времени, необратимости. Из области инженерии, прикладной химии, где она была сформулирована впервые, проблема необратимости распространилась на всю физику — от теории элементарных частиц до космологии.

Если к оценке квантовой механики подходить, имея в виду главную тему нашей книги, то основной заслугой ее следует считать введение вероятности в физику микромира. Вероятность, о которой идет речь, не следует путать со стохастическими процессами, описывающими химические реакции (о них мы рассказали в гл. 5). В квантовой механике волновая функция эволюционирует во времени детерминистическим образом, за исключением тех моментов, когда над квантовой системой производится измерение.

Мы видим, что за пятьдесят лет, прошедших со времени создания квантовой механики, исследования неравновесных процессов показали, что флуктуация, стохастические элементы важны даже в микроскопическом масштабе. На страницах нашей книги мы уже неоднократно говорили о том, что продолжающееся ныне концептуальное перевооружение физики ведет от детерминистических обратимых процессов к процессам стохастическим и необратимым. Мы считаем, что в этом процессе квантовая механика занимает своего рода промежуточную позицию: она вводит вероятность, но не необратимость. Мы ожидаем (и в гл. 9 будут приведены некоторые основания для этого), что следующим шагом будет введение фундаментальной необратимости на микроскопическом уровне. В отличие от попыток восстановить классическую ортодоксальность с помощью скрытых переменных мы считаем, что необходимо еще дальше отойти от детерминистических описаний и принять статистическое, стохастическое описание.

Глава 8. СТОЛКНОВЕНИЕ ТЕОРИЙ
1. Вероятность и необратимость
Мы увидим, что почти всюду физик очистил свою науку от использования одностороннего времени, как бы сознавая, что эта идея привносит антропоморфный элемент, чуждый идеалам физики. Тем не менее в нескольких важных случаях одностороннее время и односторонняя причинность возникали, словно по волшебству, но, как будет показано, всякий раз в поддержку какой-нибудь ложной теории.

Г. Н. Льюис[1]

Закон монотонного возрастания энтропии — второе начало термодинамики — занимает, как мне кажется, высшее положение среди законов природы. Если кто-нибудь заметит вам, что ваша любимая теория Вселенной не согласуется с уравнениями Максвелла, то тем хуже для уравнений Максвелла. Если окажется, что ваша теория противоречит наблюдениям,- ну что же, и экспериментаторам случается ошибаться. Но если окажется, что ваша теория противоречит второму началу термодинамики, то у вас не останется ни малейшей надежды: ваша теория обречена на бесславный конец.

А. С. Эддингтон[2]

Предложенная Клаузиусом формулировка второго начала термодинамики сделала очевидным конфликт между термодинамикой и динамикой. Вряд ли найдется в физике другой такой вопрос, который бы обсуждался чаще и активнее, чем соотношение между термодинамикой и динамикой. Даже теперь, через сто пятьдесят лет после Клаузиуса, этот вопрос продолжает вызывать сильные эмоции. Никто не остается нейтральным в конфликте, затрагивающем самый смысл реальности и времени. Следует ли нам отказаться от динамики, матери современного естествознания, в пользу какого-нибудь варианта термодинамики? «Энергетисты», пользовавшиеся большим влиянием к конце XIX в., считали отказ oт динамики необходимым. Нельзя ли как-нибудь «спасти» динамику, сохранить второе начало и вместе с тем не нарушить величественное здание, воздвигнутое Ньютоном и его последователями? Какую роль может играть энтропия в мире, описываемом динамикой?

Мы уже упоминали об ответе на этот вопрос, который был дан Больцманом. Знаменитое соотношение Больцмана S KlnP связывает энтропию и вероятность: энтропия возрастает потому, что возрастает вероятность. Сразу же подчеркнем, что в этом плане второе начало имело бы огромное практическое значение, но не было бы столь фундаментальным. В своей превосходной книге «Этот правый, левый мир» Мартин Гарднер пишет: «Некоторые явления идут в одну сторону не потому, что не могут идти в другую, а потому, что их протекание в обратом направлении весьма маловероятно»3. Усовершенствуя наши возможности измерять все менее и менее вероятные события, мы могли бы достичь такого положения, когда второе начало играло бы сколь угодно малую роль. Такой точки зрения придерживаются некоторые современные физики. Но Макс Планк считал иначе:

«Нелепо было бы предполагать, что справедливость второго начала каким бы ни было образом зависит от большего или меньшего совершенства физиков и химиков в наблюдательном или экспериментальном искусстве. Содержанию второго начала нет дела до экспериментирования, оно гласит in nuce (в самом главном): «В природе существует величина, которая при всех изменениях, происходящих в природе, изменяется в одном и том же направлении». Выраженная в таком общем виде, эта теорема или верна, или не верна; но она остается тем, что она есть, независимо от того, существуют ли на Земле мыслящие и измеряющие существа и если они существуют, то умеют ли они контролировать подробности физических или химических процессов на один, два или сто десятичных знаков точнее, чем в настоящее время. Пределы для этого начала, если только они действительно существуют, необходимо должны находиться в той же области, в которой находится и его содержание, — в наблюдаемой природе, а не в наблюдающих людях. Обстоятельства нисколько не изменяются от того, что для вывода начала мы пользуемся человеческим опытом; для нас это вообще единственный путь для исследования законов природы»4.

Взгляды Планка не получили особого распространения среди его современников. Как уже отмечалось, большинство физиков склонны были считать второе начало следствием приближенного описания, вторжения субъективных взглядов в точный мир физики. Эту точку зрения отражает, например, знаменитое высказывание Борна: «Необратимость есть результат вхождения элемента нашего незнания в основные законы физики»5.

В настоящей главе мы намереваемся осветить некоторые основные этапы в развитии интерпретации второго начала. Прежде всего необходимо понять, почему эта проблема оказалась столь трудной. В гл. 9 мы изложим новый подход, из которого, как нам хотелось бы надеяться, читателю станут ясны и принципиальная новизна, и объективное значение второго начала. Вывод, к которому мы придем, совпадает с точкой зрения Планка. Мы покажем, что второе начало, отнюдь не разрушая величественное здание динамики, дополняет его существенно новым элементом.

Прежде всего необходимо пояснить установленную Больцманом связь между вероятностью и энтропией. Воспользуемся для этого моделью урн, предложенной П. и Т. Эренфестами6. Рассмотрим N предметов (например, шаров), распределенных между двумя контейнерами (урнами) А и В. Предположим, что через одинаковые промежутки времени (например, через секунду) мы извлекаем наугад шар либо из урны А, либо из урны В и перекладываем его в другую урну. Пусть через п шагов в урне А находится k шаров, а в урне В — остальные N-k шаров. Тогда на (n+1)-ом шаге в урне A может оказаться либо k-1, либо k+1 шаров и вероятность перехода равна k/N для kRk-1 и 1-k/N для kRk+1. Предположим, что мы продолжаем извлекать шары наугад из урн и перекладывать их в другую урну. Мы ожидаем, что в результате перекладывания шаров установится наиболее вероятное их распределение по урнам в смысле Больцмана. Если число шаров N достаточно велико, то шары с наибольшей вероятностью распределятся между урнами А и В поровну: в каждой урне по N/2 шаров. В этом нетрудно убедиться, проделав соответствующие вычисления или выполнив экспериментальную проверку.

Модель Эренфестов — простой пример марковского процесса (или цепи Маркова), названного так в честь выдающегося русского математика академика А. А. Маркова, одним из первых исследовавшего такие процессы (Пуанкаре был вторым). Кратко отличительную особенность марковских процессов можно сформулировать следующим образом: вероятности переходов однозначно определены и не зависят от предыстории системы. Цепи Маркова обладают замечательным свойством: их можно описать с помощью энтропии. Пусть P(k) — вероятность найти k шаров в урне A. Вероятности Р(К) можно сопоставить H-функцию, свойства которой в точности совпадают со свойствами энтропии, рассмотренной нами в гл. 4. На рис. 25 показано, как H-функция изменяется во времени. Мы видим, что она изменяется монотонно, как и энтропия изолированной системы.

Правда, H-функция убывает, а энтропия S возрастает, но так происходит «по определению»: H играет роль — S.

Математический смысл H-функции заслуживает того, чтобы рассмотреть его более подробно: H-функция служит мерой отклонения вероятностей в данный момент времени от вероятностей в равновесном состоянии (когда число шаров в каждой урне равно N/2). Рассуждения, используемые в модели урн Эренфестов, допускают обобщение. Рассмотрим разбиение квадрата, т. е. разделим квадрат на некоторое число непересекающихся областей. Нас будет интересовать распределение частиц по квадрату. Пусть Р(k, t) — вероятность найти частицу в области k (в момент времени t), а Рравн(k) — вероятность найти частицу в области k в равновесных условиях. Предполагается, что, как и в модели урн, вероятности переходов существуют и однозначно определены. По определению, H-функция задается выражением

Заметим, что в правую часть входит отношение P(k,t)/Pравн(k). Предположим, что мы разделили квадрат на восемь непересекающихся клеток и Рравн(k)=1/8. Пусть в момент времени t все частицы находятся в первой клетке. Тогда P(1,t)=1, a во всех остальных клетках вероятности P(k,t) равны нулю. Следовательно, H=ln(1/(1/8))=ln8. Со временем частицы распределяются по клеткам равномерно, и P(k,t)=Pравн(k)=1/8. H-функция при этом обращается в нуль. Можно показать, что H-функция убывает монотонно, как это изображено на рис. 25. (Доказательство этого утверждения приводится во всех учебниках по теории стохастических процессов.) Именно поэтому H-функция играет роль «негэнтропии» — S. Монотонное убывание H-функции имеет очень простой смысл: оно отражает и служит мерой прогрессирующего выравнивания неоднородностей в системе. Начальная информация утрачивается, и система эволюционирует от «порядка» к «беспорядку».

Заметим, что марковский процесс включает в себя флуктуации. Это отчетливо видно на рис. 24. Подождав достаточно долго, мы могли бы вернуться в исходное состояние. Следует, однако, подчеркнуть, что речь идет о средних: монотонно убывающая Hм-функция может быть выражена через распределения вероятностей, а не через отдельные события. Именно распределение вероятностей эволюционирует необратимо (в модели Эренфестов функция распределения равномерно стремится к биномиальному распределению). Следовательно, на уровне функций распределения цепи Маркова приводят к однонаправленности во времени.

Стрела времени характеризует различие между цепями Маркова и временной эволюцией в квантовой механике, в которой волновая функция (самым непосредственным образом связанная с вероятностями) эволюционирует во времени обратимо. Это также один из примеров тесной взаимосвязи между стохастическими процессами, например цепями Маркова, и необратимостью. Однако возрастание энтропии (или убывание H-функции) основывается не на стреле времени, заложенной в законах природы, а на нашем решении воспользоваться знанием, которым мы располагаем в настоящем, для предсказания поведения в будущем (но не в прошлом). Вот что говорит об этом в присущей ему лапидарной манере Гиббс:

«Но хотя по отношению к математическим построениям различие между предшествующими и последующими событиями и может являться несущественным, по отношению к событиям реального мира дело обстоит совершенно иначе. В тех случаях, когда мы используем ансамбли для вычисления вероятностей событий, происходящих в реальном мире, нельзя забывать о том, что если вероятности последующих событий довольно часто можно определить, зная вероятности предшествующих, то лишь в весьма редких случаях удается определить вероятности предшествующих событий, зная вероятности последующих, ибо лишь чрезвычайно редко можно обоснованно исключить из рассмотрения априорную вероятность предшествующих событий»7.

Асимметрия между прошлым и будущим — важный вопрос, бывший и продолжающий оставаться предметом оживленного обсуждения8. Теория вероятностей ориентирована во времени. Предсказание будущего отлично от восстановления хода событий задним числом. Если бы этим отличием все и ограничилось, то нам не оставалось бы ничего другого, как принять субъективную интерпретацию необратимости, так как различие между прошлым и будущим оказалось бы зависимым только от нас. Иначе говоря, при субъективной интерпретации необратимости (к тому же подкрепляемой сомнительной аналогией с теорией информации) «ответственность» за асимметрию во времени, характеризующую развитие системы, возлагается на наблюдателя. А так как наблюдатель не может «одним взглядом» определить положения и скорости всех частиц, образующих сложную систему, ему не известно мгновенное состояние системы, содержащее в себе ее прошлое и будущее; он не в состоянии постичь обратимый закон, который позволил бы предсказать развитие системы от одного момента времени к следующему. Наблюдатель не может также производить над системой такие манипуляции, какие производил максвелловский демон, способный разделять быстро и медленно движущиеся частицы и вынуждать систему к антитермодинамической эволюции от менее к более неоднородному распределению температуры9.

Термодинамика по-прежнему остается наукой о сложных системах, но с указанной точки зрения единственной специфической особенностью сложных систем является то, что наше знание о них ограниченно и неопределенность со временем возрастает. Вместо того чтобы распознать в необратимости связующее звено между природой и наблюдателем, ученый вынужден признать, что природа лишь отражает его собственное незнание. Природа безответна. Необратимость, отнюдь не способствуя укреплению наших позиций в физическом мире, представляет собой не более чем отзвук человеческой деятельности и ее пределов.

Против подобной точки зрения сразу же можно возразить. Приведенные выше интерпретации исходят из того, что термодинамика должна быть столь же универсальной, как и наше незнание. Но тогда должны существовать только необратимые процессы. Именно это и является камнем преткновения всех универсальных интерпретаций энтропии, уделяющих основное внимание нашему незнанию начальных (или граничных) условий. Необратимость — не универсальное свойство. Чтобы установить связь между динамикой и термодинамикой, необходим физический критерий, который позволил бы нам различать обратимые и необратимые процессы.

К этому вопросу мы вернемся в гл. 9. А пока обратимся снова к истории науки и к пионерским работам Больцмана.

2. Больцмановский прорыв
Свои основные результаты Больцман получил в 1872 г., за тридцать лет до того, как были открыты цепи Маркова. Больцман намеревался дать «механическую» интерпретацию энтропии. Иначе говоря, если в цепях Маркова вероятности перехода заданы извне (как в модели Эренфестов), их в действительности необходимо связать с динамическим поведением системы. Эта проблема настолько захватила Больцмана, что он посвятил ей большую часть своей научной жизни. В его «Статьях и речах» есть такие строки:

«Если вы меня спросите относительно моего глубочайшего убеждения, назовут ли нынешний век железным веком или веком пара и электричества, я отвечу не задумываясь, что наш век будет называться веком… Дарвина»10.

Идея эволюции неотразимо влекла к себе Больцмана. Его мечтой было стать Дарвином эволюции материи.

Первый шаг на пути к механистической интерпретации энтропии состоял во введении в физическое описание некогда отброшенного представления о столкновении атомов и молекул и тем самым в создании базы для статистического описания. Этот шаг был сделан Клаузиусом и Максвеллом. Так как столкновения — явления дискретные, их можно сосчитать и оценить среднюю частоту. Мы можем также классифицировать столкновения, например отнести к одному классу столкновения, в результате которых рождается частица с заданной скоростью v, а к другому — столкновения, в результате которых частица со скоростью v исчезает, превращаясь в частицы с другими скоростями (т. е. разделить столкновения на прямые и обратные)11.

Максвелла интересовало, можно ли указать такое состояние газа, в котором столкновения, непрестанно изменяющие скорости молекул, не сказываются более на эволюции распределения скоростей, т. е. на среднем числе молекул, движущихся с любой из скоростей. При каком распределении скоростей последствия различных столкновений в целом по ансамблю взаимно компенсируются?

Максвелл показал, что такое особое состояние (состояние термодинамического равновесия) наступает, когда распределение скоростей принимает хорошо известную форму колоколообразной, или гауссовой, кривой — той самой, которую основатель «социальной физики» Кетле считал подлинным выражением случайности. Теория Максвелла позволяет весьма просто интерпретировать основные законы поведения газов. Повышение температуры соответствует увеличению средней скорости молекул и тем самым энергии, связанной с их движением. Эксперименты с высокой точностью подтвердили распределение Максвелла. Оно и поныне служит основой решения многочисленных задач в физической химии (например, при вычислении числа столкновений в реакционной смеси).

Больцман, однако, вознамерился пойти дальше. Ему хотелось описывать не только состояние равновесия, но и эволюцию к равновесию, т. е. эволюцию к максвелловскому распределению. Он решил выявить молекулярный механизм, соответствующий возрастанию энтропии, механизм, вынуждающий систему стремиться к переходу из произвольного распределения скоростей к равновесному.

Характерно, что Больцман подошел к решению проблемы физической эволюции не на уровне индивидуальных траекторий, а на уровне ансамбля молекул. Руководствуясь интуитивными соображениями, Больцман избрал подход, адекватный замыслу повторить в физике то, что Дарвин свершил в биологии, убедительно доказав: движущая сила биологической эволюции — естественный отбор — может быть определена не для отдельной особи, а лишь для популяции. Следовательно, естественный отбор — понятие статистическое.

Полученный Больцманом результат допускает сравнительно простое описание. Эволюция функции распределения f(v,t) скоростей v в некоторой области пространства в момент времени t представима в виде суммы двух эффектов: число частиц, имеющих в момент времени t скорость v, изменяется в результате как свободного движения частиц, так и столкновений между ними. Изменение числа частиц вследствие свободного движения нетрудно вычислить с помощью классической динамики. Оригинальность метода Больцмана связана с оценкой второго эффекта: изменения числа частиц за счет столкновений. Чтобы избежать трудностей, неизбежно возникающих при прослеживании движения (не только свободного, но и при взаимодействии) по траекториям, Больцман воспользовался понятиями, аналогичными тем, которые были описаны в гл. 5 (при рассмотрении химических реакций), и занялся вычислением среднего числа столкновений, приводящих к рождению или уничтожению молекулы со скоростью v.

Здесь снова мы имеем два процесса, действие которых противоположно: прямые и обратные столкновения. В результате прямого столкновения молекул со скоростями v’ и v» возникает («рождается») молекула со скоростью v. В результате обратного столкновения молекулы со скоростью v с молекулой со скоростью v’» скорость первой изменяется — молекула со скоростью v исчезает («уничтожается»). Как и в случае химических реакций (см. гл. 5, разд. 1), частота столкновений считается пропорциональной произведению числа молекул, участвующих в столкновении. (Разумеется, исторически метод Больцмана (1872) предшествовал методу химической кинетики.)

Результаты, полученные Больцманом, совершенно аналогичны результатам теории цепей Маркова. Мы снова вводим функцию HHH. На этот раз она относится к распределению скоростей f. Она представима в виде H= o flnfdv. Как и в предыдущем случае, H-функция может только убывать со временем до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие и распределение скоростей не перейдет в распределение Максвелла.

В последние годы многочисленные проверки монотонного убывания H-функции были проведены с помощью моделирования на ЭВМ. Все они подтвердили предсказание Больцмана. И поныне кинетическое уравнение Больцмана играет важную роль в физике газов. Оно позволяет вычислять коэффициенты переноса (например, коэффициенты теплопроводности и диффузии) в хорошем соответствии с экспериментальными данными.

Но особенно велико достижение Больцмана с концептуальной точки зрения: различие между обратимыми и необратимыми процессами, лежащее, как мы видели, в основе второго начала термодинамики, Больцман низвел с макроскопического на микроскопический уровень. Изменение распределения скоростей из-за свободного движения молекул соответствует обратимой части, а вклад, вносимый в изменение распределения столкновениями, — необратимой части. Именно в этом и был, с точки зрения Больцмана, ключ к микроскопической интерпретации энтропии. Принцип молекулярной эволюции сформулирован! Легко понять, что это открытие обладало неотразимой привлекательностью для физиков, разделявших идеи Больцмана, в том числе Планка, Эйнштейна и Шредингера12.

Больцмановский прорыв стал решающим этапом в формировании нового научного направления — физики процессов. Временную эволюцию в уравнении Больцмана больше не определяет гамильтониан, зависящий от типа сил. В больцмановском подходе движение порождают функции, связанные с процессом, например сечение рассеяния. Можно ли считать, что проблема необратимости решена и что теории Больцмана удалось свести энтропию к динамике? Ответ однозначен: нет, желанная цель не достигнута. Впрочем, вопрос этот столь важен, что заслуживает более подробного рассмотрения.

3. Критика больцмановской интерпретации
Возражения против теории Больцмана появились сразу же после выхода его основной работы в 1872 г. Действительно ли Больцману удалось «вывести» необратимость из динамики? Каким образом обратимые законы движения по траекториям могут порождать необратимую эволюцию? Не противоречит ли кинетическое уравнение Больцмана динамике? Нетрудно видеть, что симметрия уравнения Больцмана не согласуется с симметрией классической механики.

Мы уже видели, что в классической динамике обращение скорости (vR-v) приводит к такому же результату, как и обращение времени (tR-t). Это — основная симметрия классической динамики, и можно было бы надеяться, что кинетическое уравнение Больцмана, описывающее, как изменяется во времени функция распределения, обладает такой же симметрией. Но в действительности все обстоит иначе: вычисленный Больцманом столкновительный член инвариантен относительно обращения скорости. Эта несколько неожиданная инвариантность имеет простой физический смысл: в больцмановской картине нет никакого различия между столкновением, обращенным в будущее, и столкновением, обращенным в прошлое. Именно на этой идее основано возражение Пуанкаре против вывода уравнения Больцмана, предложенного самим Больцманом. Правильные вычисления не могут приводить к заключениям, противоречащим исходным допущениям13, 14. Но, как мы видели, симметрия кинетического уравнения, выведенного Больцманом для функции распределения, противоречит симметрии классической динамики. Следовательно, заключает Пуанкаре, Больцман не сумел «вывести» энтропию из динамики. Где-то в своих рассуждениях он ввел нечто новое, чуждое динамике. Следовательно, выведенное Больцманом уравнение в лучшем случае может рассматриваться лишь как феноменологическая модель, полезная, но не имеющая прямого отношения к динамике. Таково было также возражение Цермело (1896), выдвинутое против теории Больцмана.

С другой стороны, возражение Лошмидта (1876) позволило установить границы применимости кинетической модели Больцмана. Лошмидт заметил, что модель Больцмана перестает выполняться после обращения скоростей, соответствующего преобразованию vR-v.

Поясним суть возражения Лошмидта с помощью мысленного эксперимента. Предположим, что газ находится сначала в неравновесном состоянии и эволюционирует до момента времени t0. В момент времени t0 обратим все скорости. Тогда система вернется в начальное состояние. Следовательно, больцмановская энтропия при t=0 и t=2t0 должна быть одинакова.

Число таких мысленных экспериментов легко можно было бы приумножить. Предположим, что при t=0 у нас имеется смесь водорода и кислорода. Через какое-то время образуется вода. Если обратить все скорости, то смесь вернется в исходное состояние: вода исчезнет, останутся только водород и кислород.

Интересно, что в лаборатории или в численном моделировании обращение скоростей — вполне выполнимая операция. Например, на рис. 26 и 27 H-функция Больцмана вычислена для двухмерных твердых сфер (дисков). В начальный момент времени диски располагаются в узлах квадратной решетки с изотропным распределением cкоростей. Результаты вычислений совпадают с предсказаниями Больцмана.

Если через пятьдесят или сто столкновений (в разреженном газе это соответствует 10-6с) обратить скорости, то получается новый ансамбль15. После обращения скоростей H-функция Больцмана уже не убывает, а возрастает.

Аналогичная ситуация возникает при определенных условиях в реальных экспериментах со спиновым эхом и эхом в плазме: на ограниченных интервалах времени наблюдается «антитермодинамическое», в смысле Больцмана, поведение системы.

Важно отметить, что эксперимент по обращению скоростей тем труднее, чем позже происходит обращение скоростей (т. е. чем больше время t0).

Восстановить свое прошлое газ может лишь в том случае, если он «помнит» все, что с ним произошло в интервале времени от t=0 до t=t0. Для этого необходимо какое-то «хранилище» информации. В роли такого хранилища, или памяти, выступают корреляции между частицами. К вопросу о корреляциях мы вернемся в гл. 9. Пока же заметим, что именно это соотношение между корреляциями и столкновениями было недостающим звеном в рассуждениях Больцмана. Когда Лошмидт в полемике с Больцманом указал на это обстоятельство, Больцман вынужден был признать правоту своего оппонента: обратные столкновения «ликвидируют последствия» прямых столкновений и система должна возвращаться в начальное состояние. Следовательно, H-функция должна возрастать от конечного значения к начальному. Таким образом, обращение скоростей требует проведения различия между ситуациями, к которым рассуждения Больцмана применимы, и ситуациями, в которых те же рассуждения неверны.

После того как эта проблема была поставлена (1894), выяснить природу ограничения оказалось. совсем не трудно16,17. Применимость статистического подхода Больцмана зависит от предположения о том, что перед столкновением молекулы ведут себя независимо друг от друга. Это предположение относительно начального состояния газа известно под названием гипотезы молекулярного хаоса. Начальное состояние, возникающее в результате обращения скоростей, не удовлетворяет гипотезе молекулярного хаоса. Если систему заставить эволюционировать «вспять во времени», то создается новая ситуация, аномальная в том смысле, что некоторым молекулам, сколь бы далеко друг от друга они ни находились в момент обращения скоростей, предопределено встретиться в заранее установленный момент времени и подвергнуться заранее установленному преобразованию скоростей.

Обращение скоростей порождает высокоорганизованную систему, и гипотеза молекулярного хаоса перестает выполняться. Различные столкновения, как бы под влиянием предустановленной гармонии, порождают поведение газа, которое внешне вполне «целенаправленно».

Но это еще не все. Что означает переход от порядка к хаосу? В предложенной Эренфестами модели урн ответ ясен: система эволюционирует до тех пор, пока распределение шаров не становится равномерным. В других случаях ситуация не столь проста. Мы можем воспользоваться численным моделированием и начать со случайного распределения взаимодействующих частиц. Со временем (на какое-то мгновение) может образоваться правильная решетка. Происходит ли в этом случае переход от порядка к хаосу? Ответ на этот вопрос далеко не очевиден. Для того чтобы понять порядок и хаос, нам необходимо прежде всего определить те объекты, к которым мы применяем эти понятия. Переход от динамики к термодинамике, как показал Больцман, совершается особенно легко в разреженных газах. Но в плотных системах, где молекулы взаимодействуют между собой, переход этот не столь очевиден.

Именно из-за трудностей, возникающих при рассмотрении плотных систем с взаимодействующими частицами, яркая пионерская теория Больцмана осталась незавершенной. 4. Динамика и термодинамика — два различных мира

Мы уже упоминали о том, что траектории несовместимы с понятием необратимости. Но поведение траекторий — отнюдь не единственный язык, на котором мы можем сформулировать динамику. В качестве альтернативы сошлемся на теорию ансамблей, развитую Гиббсом и Эйнштейном7,18 и представляющую особый интерес при изучении систем, состоящих из большого числа молекул. Существенно новым элементом в теории ансамблей Гиббса-Эйнштейна явилась возможность сформулировать динамическую теорию независимо от точного задания каких бы то ни было начальных условий.

В теории ансамблей физические системы рассматриваются в фазовом пространстве. Динамическое состояние точечной частицы (материальной точки) определяется ее положением (вектором с тремя компонентами) и импульсом (тоже вектором с тремя компонентами). Такое состояние можно представить двумя точками (каждая из которых принадлежит «своему» трехмерному пространству) или одной точкой в шестимерном пространстве координат и импульсов. Это и есть фазовое пространство. Геометрическое представление динамических состояний одной точечной частицы обобщается на случай произвольной системы п частиц. Для того чтобы задать состояние такой системы, необходимо указать nr6 чисел, или точку в 6n-мерном фазовом пространстве. Эволюции во времени системы п частиц будет соответствовать траектория в фазовом пространстве.

Мы уже говорили о том, что точные начальные условия макроскопической системы никогда не известны. Однако ничто не мешает нам представить систему ансамблем точек, т. е. «облаком» точек, соответствующих различным динамическим состояниям, совместимым с той информацией о системе, которой мы располагаем. Каждая область фазового пространства может содержать бесконечно много представляющих точек. Их плотность служит мерой вероятности найти рассматриваемую систему в данной области. Вместо того чтобы рассматривать бесконечно много дискретных точек, удобнее ввести непрерывное распределение представляющих точек в фазовом пространстве. Пусть r(q1, …, q3n, p1, …, p3n) — плотность распределения представляющих точек в фазовом пространстве, где q1, …, q3n — координаты п точек, a p1, …, p3n — импульсы тех же точек (каждая точка имеет три координаты и три импульса). Плотность r есть плотность вероятности найти динамическую систему в окрестности точки q1, …, q3n, p1, …, p3n фазового пространства.

При таком подходе плотность r может показаться идеализацией, искусственной конструкцией, а траектория точки в фазовом пространстве «непосредственно» соответствующей описанию «естественного» поведения системы. Но в действительности идеализацией является точка, а не плотность. Дело в том, что начальное состояние никогда не бывает известно с бесконечной степенью точности, позволяющей стянуть область в фазовом пространстве в отдельную точку. Мы можем лишь определить ансамбль траекторий, выходящих из ансамбля представляющих точек, соответствующих тому, что нам известно относительно начального состояния системы. Функция плотности r отражает уровень наших знаний о системе: чем точнее знания, тем меньше область в фазовом пространстве, на которой плотность отлична от нуля, т. е. та область, где может находиться система. Если бы плотность была равномерно распределена по всему фазовому пространству, то утверждать что-либо относительно состояния системы было бы невозможно. Она могла бы находиться в любом из состояний, совместимых с ее динамической структурой.

При таком подходе точка соответствует максимуму знания, которым мы можем располагать о системе. Такой максимум есть результат предельного перехода, все возрастающей точности нашего знания. Как мы увидим в гл. 9, фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, какой предельный переход реально осуществим. Непрестанное повышение точности означает, что от одной области в фазовом пространстве, где плотность r отлична от нуля, мы переходим к другой, меньшей, которая содержится в первой. Такое стягивание мы можем продолжать до тех пор, пока область, содержащая систему, не станет сколь угодно малой. Но при этом, как мы увидим в дальнейшем, необходимо соблюдать осторожность: «сколь угодно малая» не означает «нулевая», и априори ниоткуда не следует, что наш предельный переход непременно приведет к непротиворечивому предсказанию отдельной однозначно определенной траектории.

Теория ансамблей Гиббса-Эйнштейна — естественное продолжение теории Больцмана. Функцию плотности r в фазовом пространстве можно рассматривать как аналог функции распределения скоростей f, которую использовал Больцман. Но по своему физическому содержанию PPP «богаче», чем f. Функция плотности r так же, как и f, определяет распределение скоростей, но, помимо этого, r содержит и другую информацию, в частности вероятность найти две частицы на определенном расстоянии друг от друга. В функцию плотности PPP входит и все необходимое для определения корреляций между частицами, о которых шла речь в предыдущем разделе. Более того, r содержит полную информацию о всех статистических свойствах системы п тел.

Опишем теперь эволюцию функции плотности в фазовом пространстве. На первый взгляд это еще более дерзкая задача, чем та, которую поставил перед собой Больцман: описание временной эволюции функции распределения скоростей. Но это не так. Канонические уравнения Гамильтона, о которых шла речь в гл. 2, позволяют нам получить точное эволюционное уравнение для r без дальнейших приближений. Это так называемое уравнение Лиувилля, к которому мы еще вернемся в гл. 9. Пока же отметим лишь одно важное следствие из гамильтоновой динамики: плотность r эволюционирует в фазовом пространстве как несжимаемая жидкость (если представляющие точки в какой-то момент времени занимают в фазовом пространстве область объемом V, то объем области остается постоянным во времени). Форма области может изменяться произвольно, но объем ее при всех деформациях сохраняется.

Таким образом, теория ансамблей Гиббса открывает возможность строгого сочетания статистического подхода (исследования «популяции», описываемой плотностью r) и законов динамики. Она допускает также более точное представление состояния термодинамического равновесия. Например, в случае изолированной системы ансамбль представляющих точек соответствует системам с одной и той же энергией Е. Плотность r отлична от нуля только на микроканонической поверхности в фазовом пространстве, отвечающей заданному значению энергии. Первоначально плотность r может быть распределена по микроканонической поверхности произвольно. В состоянии равновесия плотность r перестает изменяться во времени и не должна зависеть от выбора начального состояния. Следовательно, приближение к равновесному состоянию имеет простой смысл в терминах эволюции плотности r: функция распределения r становится постоянной на всей микроканонической поверхности. Каждая точка такой поверхности с равной вероятностью может представлять систему. Это соответствует микроканоническому ансамблю.

Приближает ли теория ансамблей хоть сколько-нибудь к решению проблемы необратимости? Теория Больцмана описывает термодинамическую энтропию с помощью функции распределения скоростей f. Для этого Больцману пришлось ввести свою H-функцию. Как мы уже знаем, система эволюционирует во времени до тех пор, пока распределение скоростей не становится максвелловским, и на протяжении всей эволюции H функция монотонно убывает. Можно ли теперь в более общем плане принять за основу возрастания энтропии эволюцию распределения r в фазовом пространстве к микроканоническому ансамблю? Достаточно ли для этого вместо больцмановской функции H, выраженной через f, взять гиббсовскую функцию HG, зависящую точно таким же образом от r? К сожалению, ответы на оба вопроса отрицательны. Если мы рассмотрим уравнение Лиувилля, описывающее эволюцию плотности r в фазовом пространстве, и учтем сохранение объема «фазовой жидкости», о котором уже упоминалось, то вывод последует незамедлительно: функция HG постоянна и поэтому не может быть аналогом энтропии. По отношению к теории Больцмана последнее обстоятельство кажется не столько продвижением вперед, сколько шагом назад!

Несмотря на этот негативный аспект, вывод Гиббса остается весьма важным. Мы уже неоднократно отмечали расплывчатость и. неоднозначность понятий порядка и хаоса. Постоянство функции HG свидетельствует о том, что в рамках динамической теории не существует никакого изменения порядка! «Информация», выражаемая функцией HG, остается постоянной. Сохранение информации можно понимать следующим образом: столкновения порождают корреляции. В результате столкновений скорости рандомизируются, становятся случайными, что позволяет нам описывать весь процесс как переход от порядка к хаосу. Вместе с тем появление корреляции в результате столкновений свидетельствует об обратном процессе: о переходе от хаоса к порядку! Теория Гиббса показывает, что оба процесса — прямой и обратный — в точности компенсируют друг друга.

Итак, мы приходим к важному выводу: независимо от выбора представления (будь то движение по траекториям или теория ансамблей Гиббса-Эйнштейна) нам не удастся построить теорию необратимых процессов, которая выполнялась бы для любой системы, удовлетворяющей законам классической (или квантовой) механики. У нас нет даже способа говорить о переходе от порядка к хаосу! Как следует понимать эти отрицательные результаты? Любая ли теория необратимых процессов находится в неразрешимом конфликте с механикой (классической или квантовой)? Нередко высказывалось предложение включить космологические члены, которые учитывали бы влияние расширяющейся Вселенной на уравнения движения и порождали бы стрелу времени. С подобной идеей трудно согласиться. С одной стороны, не вполне ясно, как вводить эти космологические члены. С другой стороны, точные динамические эксперименты, по-видимому, отвергают существование космологических членов, по крайней мере если говорить о земных масштабах, которые мы и рассматриваем в данном случае (достаточно вспомнить о прецизионных космических экспериментах, поставленных с помощью искусственных спутников Земли и подтвердивших с высокой точностью уравнения Ньютона). Вместе с тем, как уже неоднократно подчеркивалось, мы живем в плюралистическом мире, в котором обратимые и необратимые процессы сосуществуют в одной и той же расширяющейся Вселенной.

Еще более радикальный вывод состоит в том, чтобы встать на точку зрения Эйнштейна и считать время как необратимость иллюзией, которая никогда не найдет себе места в объективном мире физики. К счастью, существует другой выход, который мы подробно рассмотрим в гл. 9. Необратимость, как мы неоднократно отмечали, не является универсальным свойством, а это означает, что не следует ожидать общего вывода необратимости из динамики.

Теория ансамблей Гиббса вводит лишь один дополнительный, но очень важный элемент по сравнению с динамикой траекторий: наше незнание точных начальных условий. Маловероятно, чтобы одно лишь это незнание приводило к необратимости.

Таким образом, не следует удивляться, что нас постигла неудача. Ведь мы так и не сформулировали те специфические особенности, которыми должна обладать динамическая система для того, чтобы приводить к необратимым процессам.

Почему так много ученых с готовностью приняли субъективную интерпретацию необратимости? Возможно, привлекательность субъективной интерпретации отчасти объясняется тем, что, как мы знаем, необратимое возрастание энтропии сначала связывалось с несовершенством манипуляций, производимых над системой, и неполнотой нашего контроля над идеально обратимыми операциями.

Но субъективная интерпретация становится явно абсурдной, если мы оставляем в стороне малосущественные ассоциации с технологическими проблемами. Не следует забывать также о том историческом контексте, в котором второе начало термодинамики обрело интерпретацию стрелы времени. Если принять субъективную интерпретацию, то химическое сродство, теплопроводность, вязкость, т. е. все свойства, связанные с необратимым производством энтропии, окажутся зависимыми от наблюдателя. Кроме того, та роль, которую играют в биологии явления организации, связанные с необратимостью, не позволяет считать их простыми иллюзиями, обусловленными нашим незнанием. Разве мы сами, живые существа, способные наблюдать и производить манипуляции, — не более чем фикции, вызванные несовершенством наших органов чувств? Разве различие между жизнью и смертью — иллюзия?

Таким образом, последние достижения термодинамической теории увеличили остроту конфликта между динамикой и термодинамикой. Попытки свести результаты термодинамики к аппроксимациям, обусловленным несовершенством нашего знания, оказались несостоятельными, когда была понята конструктивная роль энтропии и открыта возможность усиления флуктуаций. Наоборот, динамику трудно отвергнуть во имя необратимости: в движении идеального маятника нет никакой необратимости. Существование двух конфликтующих миров — мира траекторий и мира процессов — не вызывает сомнений. Мы не можем отрицать существование одного из них, утверждая существование другого.

В какой-то степени имеется определенная аналогия между этим конфликтом и тем, с которым связано зарождение диалектического материализма. В гл. 5 и 6 мы описали природу, которую можно было бы назвать «исторической», т. е. способной к развитию и инновации. Идея истории природы как неотъемлемой составной части материализма принадлежит К. Марксу и была более подробно развита Ф. Энгельсом. Таким образом, последние события в физике, в частности открытие конструктивной роли необратимости, поставили в естественных науках вопрос, который давно задавали материалисты. Для них понимание природы означало понимание ее как способной порождать человека и человеческое общество.

Кроме того, в то время, когда Энгельс писал «Диалектику природы», физические науки отвергали механистическое мировоззрение и склонялись ближе к идее исторического развития природы. Энгельс упоминает три фундаментальных открытия: энергии и законов, уп-равляющих ее качественными преобразованиями; клетки как основы всех органических существ и открытие Дарвином эволюции видов. Исходя из этих трех великих открытий, Энгельс пришел к выводу, что механистическое мировоззрение мертво. Вместе с тем механицизм ставил перед диалектическим материализмом ряд принципиальных и далеко не простых вопросов. Каковы соотношения между общими законами диалектики и столь же универсальными законами механического движения? Становятся ли последние неприменимыми после того, как достигнута определенная стадия развития, или же они просто неверны или неполны? Нельзя еще раз не задать и наш предыдущий вопрос: как вообще могут быть связаны между собой мир процессов и мир траекторий [19]?

Но сколь ни легко критиковать субъективную интерпретацию необратимости и отмечать еe слабые стороны, выйти за ее рамки и сформулировать «объективную» теорию необратимых процессов необычайно трудно. В истории попыток создания этого предмета звучат и трагические ноты. Многие склонны считать, что именно отчетливое понимание принципиальных трудностей, стоящих на пути к созданию объективной теории необратимых процессов и казавшихся непреодолимыми, привело Больцмана в 1906 г. к самоубийству.

5. Больцман и стрела времени
Как мы уже упоминали, Больцман сначала полагал, будто ему удалось доказать, что стрела времени определяется эволюцией динамических систем от менее вероятных состояний к более вероятным или от состояний с меньшим числом комплексов к состояниям с большим числом комплексов (число комплексов монотонно возрастает со временем). Обсуждали мы и возражения Пуанкаре и Цермело. Пуанкаре доказал, что всякая замкнутая динамическая система со временем возвращается в сколь угодно малую окрестность своего исходного состояния. Иначе говоря, все состояния динамической системы так или иначе повторимы. Могла ли в таком случае стрела времени быть связана с возрастанием энтропии? После мучительных размышлений Больцман изменил свою позицию. Он оставил попытки доказать существование объективной стрелы времени и выдвинул новую идею, которая в известном смысле сводила закон возрастания энтропии к тавтологии. Больцман считал теперь, что стрела времени — не более чем соглашение, водимое нами (или, быть может, всеми живыми существами) в мир, в котором не существует объективного различия между прошлым и будущим.

Вот что писал, например, Больцман в ответ на критику Цермело:

«Имеется выбор между двумя представлениями. Можно предположить, что вся Вселенная сейчас находится в некотором весьма невероятном состоянии. Но можно мыслить зоны — промежутки времени, по истечении которых снова наступают невероятные события, — такими же крошечными по сравнению с продолжительностью существования Вселенной, как расстояние от Земли до Сириуса ничтожно по сравнению с ее размерами.

Тогда во всей Вселенной (которая в противном случае повсюду находилась бы в тепловом равновесии, т. е. была бы мертвой) имеются относительно небольшие участки порядка масштаба нашей звездной системы (мы будем называть их отдельными мирами), которые в течение относительно небольших по сравнению с эоном промежутков времени значительно отклоняются от теплового равновесия, а именно: среди этих миров одинаково часто встречаются состояния, вероятности которых возрастают и уменьшаются. Таким образом, для Вселенной в целом два направления времени являются неразличимыми, так как в пространстве нет верха и низа. Но точно так же, как мы в некотором определенном месте земной поверхности называем «низом» направление к центру Земли, так и живое существо, которое находится в определенной временной фазе одного из таких отдельных миров, назовет направление времени, ведущее к более невероятным состояниям, по-другому, чем противоположное (первое — как направленное к «прошлому», к началу последнее — к «будущему», к концу), и вследствие этого названия будет обнаруживать «начало» для этих малых областей, выделенных из Вселенной, всегда в некотором невероятном состоянии.

Этот метод представляется мне единственным, с помощью которого можно осмыслить второе начало, тепловую смерть каждого отдельного мира без того, чтобы предполагать одностороннее изменение всей Вселенной от некоторого определенного начального состояния по направлению к некоторому итоговому конечному состоянию»[20].

Идея Больцмана наглядно изображена на диаграмме, предложенной Карлом Поппером (рис. 29).

Cтрела времени столь же произвольна, как и вертикальное направление, определяемое гравитационным полем.

Комментируя Больцмана, Поппер заметил следующее:

«Идея Больцмана поражает своей смелостью и красотой. Вместе с тем она заведомо неприемлема, по крайней мере для реалиста. Она объявляет одностороннее изменение иллюзией. В таком случае трагическую гибель Хиросимы также следует считать иллюзией. Но тогда и весь наш мир становится иллюзией вместе со всеми нашими попытками узнать о нем нечто новое. Тем самым идея Больцмана (как и любой идеализм) обрекает себя на поражение. Идеалистическая гипотеза Больцмана имеет характер ad hoc гипотезы и противоречит его собственной реалистической и не без страстности отстаиваемой антиидеалистической философии и неутолимой жажде знания»[21].

Мы полностью согласны с комментариями Поппера и считаем, что настало время опять вернуться к задаче, которую некогда ставил перед собой Больцман. Двадцатый век стал свидетелем великой концептуальной революции в физике, что не могло не породит новые надежды на объединение динамики и термодинамики. Ныне мы вступаем в новую эру в истории времени, эру, в которой бытие и становление могут быть объединены в непротиворечивую картину.

Глава 9. НЕОБРАТИМОСТЬ — ЭНТРОПИЙНЫЙ БАРЬЕР
1. Энтропия и стрела времени
В предыдущей главе мы описали некоторые трудности микроскопической теории необратимых процессов. Ее связь с динамикой, классической или квантовой, не может быть простой в том смысле, что необратимость и сопутствующее ей возрастание энтропии не может быть общим следствием динамики. Микроскопическая теория необратимых процессов требует наложения дополнительных, более специфических условий. Мы вынуждены принять плюралистический мир, в котором обратимые и необратимые процессы сосуществуют. Но такой плюралистический мир принять нелегко.

В своем «Философском словаре» Вольтер утверждал по поводу предопределения следующее: «…все управляется незыблемыми законами … все заранее предустановлено … все необходимо обусловлено… Есть люди, которые, испуганные этой истиной, допускают лишь половину ее, подобно должникам, вручающим кредиторам половину своего долга с просьбой отсрочить выплату остального. Одни события, говорят такие люди, необходимы, другие — нет. Было бы странно, если бы часть того, что происходит, была бы должна происходить, а другая часть не должна была бы происходить… Я непременно должен ощущать неодолимую потребность написать эти строки, вы — столь же неодолимую потребность осудить меня за них. Мы оба одинаково глупы, оба — не более чем игрушки в руках предопределения. Ваша природа состоит в том, чтобы творить дурное, моя — в том, чтобы любить истину и опубликовать ее вопреки вам»1.

Сколь ни убедительно звучат такого рода априорные аргументы, они тем не менее могут вводить в заблуждение. Рассуждение Вольтера выдержано в ньютоновском духе: природа всегда подобна самой себе. В этой связи небезынтересно отметить, что ныне мы находимся в том самом странном мире, о котором с такой иронией писал Вольтер. К своему изумлению, мы открыли качественное многообразие природы.

Неудивительно поэтому, что люди в нерешительности колебались между двумя крайностями: исключением необратимости из физики (сторонником этого направления был, как мы уже отмечали, Эйнштейн2) и признанием необратимости как важной особенности природных явлений (выражителем этого направления стал Уайтхед со своей концепцией процесса). В настоящее время ни у кого не вызывает сомнений (см. гл. 5 и 6), что необратимость существует на макроскопическом уровне и играет важную конструктивную роль. Следовательно, в микроскопическом мире должно быть нечто проявляющееся на макроскопическом уровне, подобное необратимости.

Микроскопическая теория должна учитывать два тесно связанных между собой элемента. Прежде всего в своих попытках построить микроскопическую модель энтропии (H-функции Больцмана), монотонно изменяющейся со временем, мы должны следовать Больцману. Именно такое изменение должно задавать стрелу времени. Возрастание энтропии изолированной системы должно выражать старение системы.

Стрелу времени нам часто не удается связать с энтропией рассматриваемого процесса. Поппер приводит простой пример системы, в которой развивается односторонне направляемый процесс и, следовательно, возникает стрела времени.

«Предположим, что мы отсняли на кинопленку обширную водную поверхность. Первоначально она покоилась, а затем в воду бросили камень. Просматривая отснятый при этом фильм от конца к началу, мы увидим сходящиеся круговые волны нарастающей амплитуды. Сразу же после того, как гребень волны достигнет наибольшей высоты, круглая область невозмущенной воды сомкнется в центре. Такую картину нельзя рассматривать как возможный классический процесс Для создания ее потребовалось огромное число когерентных генераторов волн, расположенных далеко от центра, действие которых для того, чтобы быть объяснимым, должно выглядеть (как в фильме) так, словно всеми генераторами мы управляем из центра. Но если мы захотим просмотреть от конца к началу исправленный вариант фильма, то столкнемся с теми же трудностями»3.

Действительно, какими бы техническими средствами мы ни располагали, всегда будет существовать определенное расстояние от центра, за пределами которого мы не сможем генерировать сходящуюся волну. Однонаправленные процессы существуют. Нетрудно представить себе и многие другие процессы того же типа, что и процесс, рассмотренный Поппером -мы никогда не увидим, как энергия собирается со всех сторон к звезде, — или обратные ядерные реакции, протекающие с поглощением энергии.

Кроме того, существуют и другие стрелы времени, например космологическая стрела (о которой превосходно написал в своей книге «Этот правый, левый мир» Мартин Гарднер4). Предполагая, что Вселенная началась с большого взрыва, мы тем самым подразумеваем существование временного порядка на космологическое уровне. Размеры Вселенной продолжают возрастать, но мы не можем отождествить радиус Вселенной с энтропией: внутри Вселенной, как мы уже упоминали, происходят и обратимые, и необратимые процессы. Аналогичным образом в физике элементарных частиц существуют процессы, приводящие к нарушению T-симметрии. Последнее означает, что уравнения, описывающие эволюцию системы при +t, отличны от уравнений, описывающих эволюцию системы при -t. Однако нарушение Т-симметрии не мешает нам включать ее в обычную (гамильтонову) формулировку динамики. Определить энтропию с помощью нарушения Т-симметрии невозможно.

В этой связи нельзя не вспомнить знаменитую дискуссию между Эйнштейном и Ритцем, опубликованную в 1909 г.5. Совместная публикация Эйнштейна и Ритца крайне необычна. Она весьма коротка — занимает менее печатной страницы. По существу, в ней лишь констатируется расхождение во взглядах. Эйнштейн считал, что необратимость является следствием введенных Больцманом вероятностных понятий. Ритц же отводил решающую роль различию между запаздывающими и опережающими волнами. Это различие напоминает нам аргументацию Поппера. Волны, которые мы наблюдаем в пруду, — запаздывающие. Они появляются после того, как мы бросили камень.

И Эйнштейн и Ритц существенно обогатили дискуссию о необратимости, но каждый из них акцентировал внимание лишь на каком-то одном аспекте проблемы. В гл. 8 мы упоминали о том, что вероятность уже предполагает направленность времени и, следовательно, не может служить основанием при выводе стрелы времени. Мы упоминали и о том, что исключение таких процессов, как опережающие волны, не обязательно приводит к формулировке второго начала. Необходимы аргументы как одного, так и другого типа.

2. Необратимость как процесс нарушения симметрии
Прежде чем обсуждать проблему необратимости, полезно напомнить, как можно вывести другой тип нарушения симметрии, а именно нарушение пространственной симметрии. В уравнениях реакции с диффузией ту же роль играют «левое» и «правое» (уравнения диффузии инвариантны относительно инверсии пространства rR-r). Тем не менее, как мы знаем, бифуркации могут приводить к решениям, симметрия которых нарушена. Например, концентрация какого-нибудь из веществ, участвующих в реакции, справа может оказаться больше, чем слева. Симметрия уравнений реакций с диффузией требует лишь, чтобы решения с нарушенной симметрией появлялись парами, а не поодиночке.

Разумеется, существует немало уравнений реакции с диффузией без бифуркаций и, следовательно, без нарушений пространственной симметрии. Нарушение пространственной симметрии происходит лишь при весьма специфических условиях. Это обстоятельство крайне важно для понимания нарушений временной симметрии, которая представляет для нас особый интерес. Нам необходимо найти системы, в которых уравнения движения допускают существование режимов с низкой симметрией.

Как известно, уравнения движения инвариантны относительно обращения времени tR-t. Однако решения этих уравнений могут соответствовать эволюции, в которой симметрия относительно обращения времени утрачивается. Единственное условие, налагаемое симметрией уравнений, состоит в том, что решения с нарушенной временной симметрией должны встречаться парами. Например, если мы находим решение, стремящееся к равновесному состоянию в далеком будущем (а не в далеком прошлом), то непременно должно существовать решение, которое стремится к равновесному состоянию в далеком прошлом (а не в далеком будущем). Решения с нарушенной симметрией возникают только парами.

Столкнувшись с подобной ситуацией, мы можем сформулировать внутренний смысл второго начала. Оно обретает статус принципа отбора, утверждающего, что в природе реализуется и наблюдается лишь один из двух типов решений. В тех случаях, когда оно применимо, второе начало термодинамики выражает внутреннюю поляризацию природы. Оно не может быть следствием самой динамики. Второе начало является дополнительным принципом отбора, который, будучи реализованным, распространяется динамикой. Еще несколько лет назад выдвинуть подобную программу было бы решительно невозможно. Но за последние десятилетия динамика достигла замечательных успехов, и мы теперь располагаем всем необходимым для того, чтобы понять в деталях, как решения с нарушенной симметрией возникают в «достаточно сложных» динамических системах, и что, собственно, означает на микроскопическом уровне правило отбора, выражаемое вторым началом термодинамики. Именно это мы и хотим показать в следующем разделе.

3. Пределы классических понятий
Начнем с классической механики. Как мы уже упоминали, если основным первичным элементом считать траекторию, то мир был бы таким же обратимым, как и те траектории, из которых он состоит. В «тра-екторном» описании нет места ни энтропии, ни стреле времени. Но в результате непредвиденного развития событий применимость понятия траектории оказалась более ограниченной, чем можно было бы ожидать. Вернемся к теории ансамблей Гиббса и Эйнштейна, о которой мы говорили в гл. 8. Как известно, Гиббс и Эйнштейн ввели в физику фазовое пространство для того, чтобы учесть наше «незнание» начального состояния системы большого числа частиц. Для Гиббса и Эйнштейна функция распределения в фазовом пространстве была лишь вспомогательным средством, выражающим незнание de facto ситуации, которая однозначно определена de jure. Но вся проблема предстает в новом свете, если можно показать, что для некоторых типов систем бесконечно точное определение начальных условий приводит к внутренне противоречивой процедуре. Но коль скоро это так, тот факт, что нам всегда известна не отдельная траектория, а группа (или ансамбль) траекторий, выражает уже не только ограниченность нашего знания — он становится исходным пунктом нового подхода к исследованию динамики.

В простейших случаях никакой проблемы не возникает. Рассмотрим в качестве примера маятник. В зависимости от начальных условий маятник может либо колебаться, либо вращаться вокруг точки подвеса. Для того чтобы маятник вращался, его кинетическая энергия должна быть достаточно велика, иначе он «упадет назад», так и не достигнув вертикального положения. Двум типам движения — колебаниям и вращениям — соответствуют две различные области фазового пространства. Причина, по которой эти области не пересекаются, весьма проста: для вращения необходим больший запас кинетической энергии, чем для колебания (см. рис. 30).

Если измерения позволяют установить, что система первоначально находится в заданной области, мы можем с полной уверенностью предсказать, будет ли маятник совершать колебания или вращаться вокруг точки подвеса. Повысив точность измерений, мы можем локализовать начальное состояние маятника в более узкой области, целиком лежащей внутри предыдущей. И в том, и в другом случае поведение системы известно при любых t: ничего нового или неожиданного случиться не может.

Одно из наиболее удивительных открытий XX в. состоит в том, что такого рода описание не соответствует поведению динамических систем в общем случае, поскольку «большинство» траекторий динамических систем неустойчиво6. Обозначим траектории одного типа (например, соответствующие «колебательным режимам») знаком +, а траектории другого типа (соответствующие «вращательным режимам») знаком U. Вместо картины, изображенной на рис. 30, где области колебательных и вращательных режимов разделены, мы получим в общем случае причудливую смесь состояний, что делает переход к отдельной точке весьма неоднозначным (см. рис. 31). Даже если известно, что начальное состояние нашей системы принадлежит области А, мы не можем заключить, что проходящая через него траектория принадлежит типу +: траектория вполне может оказаться типа U. Увеличение точности измерений и связанный с ним переход от области А к более узкой области В также ничего не дает, так как неопределенность в типе траектории сохраняется. Во всех сколь угодно малых областях всегда существуют состояния, принадлежащие каждому из двух типов траекторий7.

Для таких систем траектории становятся ненаблюдаемыми. Неустойчивость свидетельствует о достижении пределов ньютоновской идеализации. Нарушается независимость двух основных элементов ньютоновской динамики: закона движения и начальных условий. Закон движения вступает в конфликт с детерминированностью начальных условий. В этой связи невольно вспоминается мысль Анаксагора о неисчерпаемости творческих возможностей частиц (семян), составляющих природу. По Анаксагору, любой предмет содержит в каждой своей части бесконечное множество качественно различных семян. В нашем случае любая область фазового пространства содержит огромное множество качественно различных режимов поведения.

С этой точки зрения детерминистическая траектория применима лишь в ограниченных пределах. А поскольку не только на практике, но и в теории мы не можем описывать систему на языке траекторий и вынуждены, использовать функцию распределения, соответствующую конечной (сколь угодно малой) области фазового пространства, нам остается лишь предсказывать статистическое будущее системы,

Наш друг Леон Розенфельд имел обыкновение говорить, что понятия могут быть поняты лишь через их пределы. В этом смысле можно утверждать, что мы достигли ныне лучшего понимания классической меха-пики, создание которой проложило путь к современному естествознанию.

Как возникла новая точка зрения? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам придется описать те глубокие изменения, которые претерпела динамика в XX в. Хотя по традиции динамику принято считать архетипом полной, замкнутой отрасли знания, в действительности она подверглась коренным преобразованиям.

4. Возрождение динамики
В первой части нашей книги мы рассказали о динамике XIX в. Именно такую динамику излагают многие учебники. Прототипом динамической системы в XIX в. было принято считать интегрируемую систему. Решить уравнения движения означало «удачно» выбрать координаты — так, чтобы соответствующие импульсы были инвариантами движения. Такой подход исключал взаимодействие между частями системы. Ставка на интегрируемые системы провалилась. Как уже упоминалось, в конце XIX в. Брунс и Пуанкаре доказали, что большинство динамических систем, начиная со знаменитой проблемы трех тел, неинтегрируемы.

С другой стороны, сама идея приближения к равновесию, сформулированная на языке теории ансамблей, требовала выхода за пределы идеализации интегрируемых систем. В гл. 8 мы видели, что в теории ансамблей изолированная система находится в равновесии, когда она представлена «микроканоническим ансамблем» — все точки на поверхности заданной энергии равновероятны. Это означает, что для системы, стремящейся к равновесию, энергия должна быть единственной величиной, сохраняющейся в ходе эволюции системы. Энергия должна быть единственным инвариантом. При любых начальных условиях система, эволюционируя, должна «побывать» во всех точках поверхности заданной энергии. Для интегрируемых систем энергия — далеко не единственный инвариант. Число инвариантов совпадает с числом степеней свободы, поскольку у интегрируемой системы каждый обобщенный импульс остается постоянным. Следовательно, интегрируемая система «заключена» на весьма ограниченном участке поверхности постоянной энергии (рис. 32) — пересечении всех инвариантных поверхностей.

Чтобы избежать этих трудностей, Максвелл и Больцман ввели новый, совершенно иной тип динамической системы. Для таких систем энергия является единственным инвариантом, а сами системы получили название эргодических систем (рис. 33).

Выдающийся вклад в развитие теории эргодических систем внесли Дж. Биркгоф, фон Нейман, Хопф, Колмогоров и Синай (разумеется, наш перечень далеко не полон)8,9,10. Ныне мы знаем, что существуют обширные классы динамических (но не гамильтоновых) систем, которые эргодичны. Известно также, что даже сравнительно простые системы могут обладать более сильными свойствами, чем эргодичность. Для таких систем движение в фазовом пространстве становится сильно хаотическим (хотя в полном соответствии с уравнением Луивилля — см. гл. 7 — объем в фазовом пространстве сохраняется).

Предположим, что наше знание начальных условий позволяет нам локализовать систему в малой ячейке фазового пространства. Наблюдая за эволюцией ячейки, мы увидим, как она начнет деформироваться и изгибаться, испуская, подобно амебе, «псевдоножки» по всем направлениям и распространяясь в виде волокон, которые постепенно становятся все тоньше, пока наконец не заполнят все пространство. Ни один самый искусный рисунок не может по достоинству передать всей сложности реальной ситуации. Действительно, в ходе эволюции системы с перемешиванием две точки, сколь угодно близкие в начальный момент времени, могут разойтись в разные стороны. Даже если бы мы располагали столь обширной информацией о системе, что начальная ячейка, образованная представляющими ее точками, была бы очень мала, динамическая эволюция превратила бы эту миниатюрную область в настоящее геометрическое «чудовище», пронизывающее фазовое пространство своими нитями-щупальцами.

Продемонстрируем различие между устойчивыми и неустойчивыми системами на нескольких простых примерах. Рассмотрим двухмерное фазовое пространство. Через одинаковые промежутки времени станем производить преобразования координат, при которых старая абсцисса р переходит в новую абсциссу р-q, а старая ордината q — в новую ординату р. На рис. 35 показано, что произойдет, если применить эти преобразования к квадрату: квадрат деформируется, но после шестикратного действия преобразования мы возвращаемся к исходному квадрату. Система устойчива: соседние точки преобразуются в соседние. Кроме того, рассмотренное нами преобразование циклическое (после шести операций восстанавливается исходный квадрат).

Рассмотрим теперь два примера сильно неустойчивых систем. Первый пример чисто математический, второй имеет непосредственное отношение к физике. Первая система — преобразование, названное математиками по понятным соображениям преобразованием пекаря9,10 Берется квадрат и сплющивается в прямоугольник. Половина прямоугольника отрезается, накладывается на другую половину, а получившийся квадрат снова «раскатывается» в прямоугольник. Последовательность операций, представленная на рис. 36, может быть повторена сколько угодно раз.

Каждый раз квадрат разбивается на части, которые перекладываются в другом порядке. Квадрат в этом примере соответствует фазовому пространству. «Преобразование пекаря» переводит каждую точку квадрата в однозначно определенную новую точку. Хотя последовательность точек-образов вполне детерминистична, «преобразование пекаря» обнаруживает также статистические свойства. Пусть начальное условие для системы состоит в том, что область А квадрата первоначально равномерно заполнена представляющими точками. Можно показать, что, после того как преобразование будет повторено достаточное число раз, начальная ячейка А, каковы бы ни были ее размеры и расположение в квадрате, распадется на отдельные несвязные части (рис. 37). Следовательно, любая область квадрата, независимо от ее размеров, всегда содержит различные траектории, которые при каждом «дроблении» области расходятся. Таким образом, несмотря на то что эволюция каждой точки в отдельности обратима и детерминистична, описание эволюции любой, даже сколь угодно малой области носит, по существу, статистический характер.

Другим примером простой системы с неожиданно сложным поведением может служить рассеяние твердых шаров. Рассмотрим маленький шарик, отражающийся от больших случайно распределенных шаров. Предположим, что большие шары неподвижны. Такую модель физики называют моделью, или газом, Лоренца в честь выдающегося голландского физика Гендрика Антона Лоренца.

Траектория малого подвижного шарика вполне определена. Но стоит лишь нам ввести в начальные условия небольшую неопределенность, как в результате последовательных столкновений эта неопределенность усилится. Со временем вероятность найти малый шарик равномерно распределится по всему объему, занятому газом Лоренца. Каково бы ни было число преобразований, газ никогда не вернется в исходное состояние.

В двух последних примерах динамические системы были сильно неустойчивы. Ситуация, с которой мы сталкиваемся здесь, напоминает неустойчивости в термодинамических системах (см. гл. 5). Произвольно малые различия в начальных условиях усиливаются. В результате переход от ансамблей в фазовом пространстве к индивидуальным траекториям становится невозможным. Описание на языке теории ансамблей мы вынуждены принять за исходный пункт. Статистические понятия перестают быть лишь приближениями к некоторой «объективной истине». Перед такими неустойчивыми системами демон Лапласа оказался бы столь же бессильным, как и мы.

Высказывание Эйнштейна «бог не играет в кости» хорошо известно. Ему созвучно высказывание Пуанкаре о бесконечно мощном духе, беспредельно осведомленном в законах природы, для которого вероятности просто не могли бы существовать. Однако Пуанкаре сам же указал путь к решению проблемы11. Он заметил, что когда мы бросаем игральные кости и прибегаем к теории вероятностей, то это отнюдь не означает, будто динамика неверна. Применение вероятностных соображений означает нечто другое. Мы используем понятие вероятности потому, что в любом диапазоне начальных условий, сколь бы малым он ни был, существует «много» траекторий, приводящих к выпадению каждой из граней кости. Именно это и происходит с неустойчивыми динамическими системами. Господь бог, если бы пожелал, мог бы вычислить траектории в нестабильном динамическом мире. При этом он получил бы тот же результат, который нам позволяет получить теория вероятностей. Разумеется, всеведущему богу с его абсолютным знанием было бы нетрудно избавиться от всякой случайности.

Итак, мы можем констатировать, что тесная взаимосвязь между неустойчивостью и вероятностью, несомненно, существует. Это весьма важное обстоятельство, и к его обсуждению мы сейчас перейдем.

5. От случайности к необратимости
Рассмотрим последовательность квадратов, на которые действует «преобразование пекаря». Эта последовательность изображена на рис. 39. Представим себе, что заштрихованные области заполнены чернилами, а незаштрихованные — водой. При t=0 мы имеем так называемое производящее разбиение квадрата. Приняв его за исходное, мы построим серию разбиений либо на горизонтальные полосы, если отправимся в будущее, либо на вертикальные полосы, если начнем двигаться в прошлое. В обоих случаях мы получим базисные разбиения. Произвольное распределение чернил по квадрату формально представимо в виде суперпозиции базисных разбиений. Каждому базисному распределению можно поставить в соответствие внутреннее время, равное просто числу «преобразований пекаря», которые необходимо проделать, чтобы перейти от производящего распределения к данному12. Следовательно, системы такого типа допускают своего рода внутренний возраст*.

Внутреннее время Т сильно отличается от обычного механического времени, поскольку зависит от глобальной топологии системы. Можно даже говорить об «овременивании» пространства, тем самым вплотную приближаясь к идеям, недавно выдвинутым географами, которые ввели понятие хроногеографии13. Взглянув на «структуру города или ландшафта, мы видим временные элементы как взаимосвязанные и сосуществующие. Бразилиа или Помпеи** вполне соответствовали бы определенному внутреннему возрасту, в какой-то мере аналогичному одному из базисных разбиений в «преобразовании пекаря». Наоборот, современный Рим с его зданиями, построенными в самые различные периоды, соответствовал бы среднему времени точно так же, как произвольное разбиение разложимо на элементы, отвечающие различным внутренним временам.

Посмотрим еще раз на рис. 39. Что произойдет, если мы продвинемся далеко в будущее? Зазоры между горизонтальными чернильными полосами будут становиться все уже и уже. Какова бы ни была точность наших измерений, спустя некоторое время она будет превзойдена, и мы заключим, что чернила равномерно распределены по всему объему. Неудивительно поэтому, что такого рода приближение к «равновесию» можно описать с помощью стохастических процессов типа цепей Маркова, о которых мы упоминали в гл. 8. Недавно это утверждение было доказано со всей математической строгостью14, но сам по себе результат представляется вполне естественным. Со временем чернила равномерно распределяются по объему так же, как шары в модели Эренфестов равномерно распределялись по урнам (см. гл. 8). Но если мы заглянем в прошлое, снова начав с производящего разбиения при t=0, то увидим то же самое явление. Чернила будут распределяться вертикальными полосами, и снова, углубившись в прошлое достаточно далеко, мы обнаружим равномерное распределение чернил по объему. Это позволяет нам сделать вывод о том, что и этот процесс допускает описание с помощью цепи Маркова, но направленной в прошлое. Таким образом, из неустойчивых динамических процессов мы получаем две цепи Маркова: одну, стремящуюся к равновесию в будущем, другую — в прошлом. Мы считаем, что этот результат весьма интересен, и хотели бы его прокомментировать. Внутреннее время дает нам новое, «нелокальное» описание.

Хотя «возраст» системы (т. е. соответствующее разбиение) нам известен, мы тем не менее не можем сопоставить ему однозначно определенную локальную траекторию. Мы знаем лишь, что система находится где-то в заштрихованной части квадрата (см. рис. 39). Аналогичным образом, если известны точные начальные условия, соответствующие какой-то точке системы, то мы не знаем ни разбиения, которому она принадлежит, ни возраста системы. Следовательно, для таких систем существуют два взаимодополнительных описания. Ситуация здесь несколько напоминает ту, с которой мы уже встречались в гл. 7 при рассмотрении квантовой механики.

Существование новой альтернативы — нелокального описания — открывает перед нами путь к переходу от динамики к вероятностям. Системы, для которых такой переход возможен, мы называем внутренне случайными системами.

В классических детерминистических системах мы можем говорить о вероятностях перехода из одной точки в другую лишь в весьма вырожденном смысле: вероятность перехода равна единице, если две точки лежат на одной динамической траектории, и нулю, если они не лежат на одной траектории.

В настоящей вероятностной теории нам понадобятся вероятности, принимающие, к отличие от вероятностей типа «нуль-единица», любые значения от пуля до единицы. Как такое возможно? Здесь перед нами во весь рост встает конфликт между субъективистскими взглядами на вероятность и ее объективными интерпретациями. Субъективная интерпретация соответствует случаю, когда отдельные траектории неизвестны. Вероятность (и в конечном счете связанная с ней необратимость) при таком подходе имеет своим истоком наше незнание. К счастью, существует другая, объективная интерпретация: вероятность возникает в результате альтернативного описания динамики, нелокального описания, возможного лишь для сильно неустойчивых динамических систем.

При таком подходе вероятность становится объективным свойством, порождаемым, так сказать, внутри динамики и отражающим фундаментальную структуру динамической системы. Мы уже подчеркивали важность основного открытия Больцмана — установления связи между энтропией и вероятностью. Для внутренне случайных систем понятие вероятности обретает динамический смысл. Теперь нам необходимо совершить переход от внутренне случайных систем к необратимым системам. Как мы уже знаем, неустойчивые динамические процессы порождают по две цепи Маркова.

Взглянем на эту двойственность с другой точки зрения. Рассмотрим распределение, сосредоточенное не на всей поверхности квадрата, а на отрезке прямой. Отрезок может быть вертикальным или горизонтальным. Выясним, что произойдет с этим отрезком под действием «преобразований пекаря», обращенных в будущее. Результат их показан на рис. 40: вертикальный отрезок рассекается на части и в далеком будущем стягивается в точку. Наоборот, горизонтальный отрезок при каждом «преобразовании пекаря» удваивается, и в далеком будущем его образы («копии») равномерно покроют весь квадрат. Ясно, что при движении вспять во времени (в прошлое) наблюдается обратная картина. По очевидным причинам вертикальный отрезок называется сжимающимся, а горизонтальный — растягивающимся слоем.

Мы видим, что аналогия с теорией бифуркаций полная. Сжимающийся слой и растягивающийся слой соответствуют двум реализациям динамики, каждая из которых связана с нарушением симметрии и появлением несимметричных режимов парами. Сжимающийся слой отвечает равновесному состоянию в далеком будущем, растягивающийся — в далеком прошлом. Мы получаем, таким образом, две цепи Маркова с противоположной ориентацией во времени.

Теперь нам необходимо совершить переход от внутренне случайных систем к системам внутренне необратимым. Для этого нам необходимо понять, чем, собственно, отличается сжимающийся слой от растягивающегося. Нам известна еще одна система, столь же неустойчивая, как и «преобразование пекаря», — система, описывающая рассеяние твердых шаров. Для этой системы растягивающиеся и сжимающиеся слои имеют простой физический смысл. Сжимающийся слой соответствует множеству твердых шаров, скорости которых случайным образом распределены в далеком прошлом и становятся параллельными в далеком будущем. Растягивающийся слой соответствует обратной ситуации: скорости сначала параллельны, а затем их распределение становится случайным. Различие между сжимающимися и растягивающимися слоями очень напоминает различие между расходящимися и сходящимися волнами в примере Поппера. Исключение сжимающихся слоев соответствует экспериментально установленному факту: как бы ни изощрял свое хитроумие экспериментатор, ему никогда не удастся добиться, чтобы скорости в системе оставались параллельными после произвольного числа столкновений. Исключая сжимающиеся слои, мы оставляем тем самым лишь одну из двух введенных нами цепей Маркова. Иначе говоря, второе начало становится принципом отбора начальных условий. Оно допускает лишь такие начальные условия, при которых система эволюционирует к равновесному состоянию в будущем.

Правильность такого принципа отбора подтверждается динамикой. Нетрудно видеть, что в примере с «преобразованием пекаря» сжимающийся слой навсегда остается сжимающимся, а растягивающийся — растягивающимся. Подавляя одну из двух цепей Маркова, мы переходим от внутренне случайной к внутренне необратимой системе. В описании необратимости мы выделяем три основных элемента:

неустойчивость
|
внутренняя случайность
|
внутренняя необратимость

Самым сильным из них является внутренняя необратимость: случайность и неустойчивость следуют из него14,15.

Каким образом подобный вывод можно совместить с динамикой? Как известно, в динамике «информация» сохраняется, в то время как цепи Маркова, забывая предысторию, утрачивают информацию (вследствие чего энтропия возрастает; см. гл. 8). Никакого противоречия здесь нет: когда от динамического описания «преобразования пекаря» мы переходим к термодинамическому описанию, нам приходится изменять функцию распределения. Связано это с тем, что «объекты», в терминах которых энтропия возрастает, отличаются от объектов, рассматриваемых в динамике. Новая функция распределения r соответствует внутренне ориентированному во времени описанию динамической системы. Мы не можем останавливаться на математических аспектах перехода от старой функции распределения к новой. Скажем лишь, что преобразование, переводящее одну функцию распределения в другую, должно быть неканоническим (см. гл. 2). Следовательно, прийти к термодинамическому описанию мы можем лишь ценой отказа от обычных понятий динамики.

Примечательно, что такое преобразование существует, в результате чего оказывается возможным объединить динамику и термодинамику, физику бытия и физику становления. Позднее в этой главе и в заключительном разделе книги мы еще вернемся к новым термодинамическим объектам. Подчеркнем лишь, что в состоянии равновесия всякий раз, когда энтропия достигает своего максимума, эти объекты должны вести себя случайным образом.

Заслуживает внимания и то, что необратимость возникает, так сказать, из неустойчивости, наделяющей наше описание неустранимыми статистическими особенностями. Действительно, что означала бы стрела времени в детерминистическом мире, в котором и прошлое и будущее содержатся в настоящем? Стрела времени ассоциируется с переходом из настоящего в будущее именно потому, что будущее не содержится в настоящем и мы совершаем переход из настоящего в будущее. Построение необратимости на основе случайности чревато многими последствиями, выходящими за рамки собственно естествознания. Этих последствий мы коснемся в заключительном разделе нашей книги, а теперь кратко поясним, в чем заключается различие между состояниями, разрешенными вторым началом, и состояниями, которые второе начало запрещает.

6. Энтропийный барьер
Время течет в одном направлении: из прошлого в будущее. Мы не можем манипулировать со временем, заставить его идти вспять, в прошлое. Путешествие во времени занимало воображения многих писателей: от безымянных создателей «Тысячи и одной ночи» до Герберта Уэллса с его «Машиной времени». В небольшом произведении В. Набокова «Посмотри на арлекинов!»16 описываются муки рассказчика, которому не удается переключиться с одного направления времени на другое, чтобы «повернуть время вспять». В пятом томе своего капитального труда «Наука и цивилизация в Китае» Джозеф Нидэм описывает мечту китайским алхимиков: «свою высшую цель те видели не в превращении металлов в золото, а в манипулировании временем, достижении бессмертия путем резкого замедления всех процессов распада в природе17. Теперь мы лучше понимаем, почему время невозможно «повернуть назад».

Бесконечно высокий энтропийный барьер отделяет разрешенные начальные состояния от запрещенных. Барьер этот никогда не будет преодолен техническим прогрессом: он бесконечно высок. Нам не остается ничего другого, как расстаться с мечтой о машине времени, которая перенесет нас в прошлое. Энтропийный барьер несколько напоминает другой барьер: существование предельной скорости распространения сигналов скорости света. Технический прогресс может приблизить нас к скорости света, но, согласно современным физическим представлениям, мы никогда не сможем превзойти ее.

Для того чтобы понять происхождение энтропийного барьера, нам потребуется вернуться к выражению для H-функции, возникающему в теории цепей Маркова (см. гл. 8). Сопоставим с каждым распределением числа соответствующее значение H-функции. Можно утверждать, что каждое распределение обладает вполне определенным информационным содержанием. Чем выше информационное содержание, тем труднее реализовать его носитель. Покажем, что начальное распределение, запрещенное вторым началом, обладало бы бесконечно большим информационным содержанием. Именно поэтому такие запрещенные распределения невозможно ни реализовать, ни встретить в природе.

Напомним сначала, какой смысл имеет введенная в гл. 8 H-функция. Разделим фазовое пространство на клетки, или ячейки. С каждой ячейкой k сопоставим вероятность Рравн(k) попасть в нее в равновесном состоянии и вероятность Р(k,t) оказаться в ней в неравновесном состоянии.

H -функция есть мера различия между P(k,t) иРравн(k) . В состоянии равновесия, когда различие между вероятностями исчезает, H -функция обращается в нуль. Чтобы сравнить его с «преобразованием пекаря» и двумя порождаемыми им цепями Маркова, необходимо уточнить, как выбираются соответствующие ячейки. Предположим, что мы рассматриваем систему в момент времени 2 (см. рис. 39) и что в исходном состоянии система находилась в момент времени ti. Согласно нашей динамической теории, клетки соответствуют всем возможным пересечениям разбиений от t=ti до t=2. На рис. 39 мы видим, что, когда ti отходит в прошлое, ячейки становятся все более тонкими, поскольку нам приходится вводить все больше и больше вертикальных подразделений. Это отчетливо видно на рис. 41, где-в последовательности В мы получаем при движении сверху вниз ti-=1, 0, -1 и, наконец, ti=-2. Нетрудно видеть, что число ячеек возрастает при этом с 4 до 32.

Коль скоро мы располагаем ячейками, естественно сравнить неравновесное распределение с равновесным в каждой ячейке. В рассматриваемом нами примере неравновесное распределение есть либо растягивающийся слой (последовательность А), либо сжимающийся слой (последовательность С). Обратим внимание на то, что по мере сдвига ti в прошлое растягивающийся слой занимает все большее число ячеек: при ti=-1 он занимает 4 ячейки, при ti=-2 — уже 8 ячеек и т. д. В результате, воспользовавшись формулой из гл. 8, мы получаем конечный «ответ», даже если число ячеек неограниченно возрастает при tiR?.

Сжимающийся слой в отличие от растягивающегося при любых ti всегда локализован в 4 ячейках. Это приводит к тому, что H-функция для сжимающегося слоя обращается в бесконечность, когда ti уходит в прошлое. Таким образом, различие между динамической системой и цепью Маркова состоит в том, что в случае динамической системы необходимо рассматривать бесконечно много ячеек. Приготовить или наблюдать можно лишь такие меры или вероятности, которые в пределе при бесконечно большом числе ячеек дают конечную информацию или конечную H-функцию. Это исключает сжимающиеся слои18. По той же причине необходимо исключить и распределения, сосредоточенные в одной точке. Начальные условия, соответствующие одной точке в неустойчивой системе, соответствовали бы бесконечной информации. Следовательно, ни реализовать, ни наблюдать их невозможно. И в этом случае второе начало выступает в роли принципа отбора.

В классической схеме начальные условия были произвольными. Для неустойчивых систем произвол исключается. Каждое начальное условие обладает в случае неустойчивых систем определенным информационным содержанием, которое зависит от динамики системы (подобно тому как в «преобразовании пекаря» для вычисления информационного содержания мы прибегли к последовательному делению ячеек). Начальные условия и динамика перестают быть независимыми. Второе начало как принцип отбора представляется нам настолько важным, что мы хотели бы привести еще один пример, на этот раз связанный с динамикой корреляций.

7. Динамика корреляций
В гл. 8 мы кратко обсудили эксперимент с обращением скоростей. Возьмем разреженный газ и проследим за его эволюцией во времени. При t=t0 обратим скорости всех молекул газа. Газ вернется в начальное состояние. Мы уже обращали внимание на то, что для воспроизведения своего прошлого газу необходимо некое хранилище информации — своего рода «память». Такой памятью являются корреляции между частицами19.

Рассмотрим сначала облако частиц, движущихся к мишени (тяжелой неподвижной частице). Схематически ситуация изображена на рис. 42. В далеком прошлом корреляций между частицами не было. Рассеяние приводит к двум эффектам (см. гл. 8): оно «разбрасывает» частицы (делает распределение скоростей более симметричным) и, кроме того, порождает корреляции между рассеянными частицами и рассеивателем. Корреляции станут заметными, если обратить скорости (например, с помощью сферического зеркала). Эта ситуация изображена на рис. 43 (волнистыми линиями условно показаны корреляции). Таким образом, роль рассеяния сводится к следующему. При прямом рассеянии распределение скоростей становится более симметричным и возникают корреляции между частицами. При обратном рассеянии распределение скоростей становится менее симметричным, а корреляции исчезают. Таким образом, учет корреляций приводит к основному различию между прямым и обратным рассеянием.

Аналогичные рассуждения применимы и к системе многих тел. Здесь также возможны ситуации двух типов. В одном случае (прямой процесс) некоррелированные частицы налетают, рассеиваются и порождают коррелированные частицы (рис. 44). В другом случае (обратный процесс) коррелированные частицы налетают, корреляции при столкновениях нарушаются и после-столкновении частицы уже не коррелированы (рис. 45).

Прямой и обратный процессы отличаются последовательностью столкновений и корреляций во времени. В первом случае имеют место корреляции послестолкновительиыс («постстолкновительные»). Имея в виду различие между пред- и послестолкновительными корреляциями, вернемся к эксперименту с обращением скоростей. Начнем при t=0 — с начального состояния, соответствующего корреляциям между частицами. В интервале времени от t=0 до t=t0 система эволюционирует «нормально»: в результате столкновений распределение скоростей приближается к распределению Максвелла. Кроме того, столкновения порождают послестолкновительные корреляции между частицами. При t=t0 происходит обращение скоростей и возникает качественно новая ситуация. Послестолкновительные корреляции становятся предстолкновительными. В интервале времени от t=t0 до t=2t0 эти предстолкновительные корреляции исчезают, распределение скоростей становится менее симметричным, и к моменту времени t=2t0 полностью восстанавливается некоррелированное состояние. Таким образом, история системы делится на два этапа. На первом этапе столкновения трансформируются в корреляции, на втором этапе происходит обратное превращение корреляций в столкновения. Оба типа процессов — прямой и обратный — не противоречат законам динамики. Кроме того, как мы уже упоминали в гл. 8, полная «информация», описываемая динамикой, остается постоянной. Мы видели также, что в больцмановском описании эволюция от t=0 до t=t0 соответствует обычному убыванию H-функции, а в интервале от t=t0 до t=2t0 эволюция протекала бы аномально: H-функция возрастала бы, а энтропия убывала. Но это означало бы, что можно придумать эксперименты, как лабораторные, так и численные, в которых нарушалось бы второе начало! Необратимость на интервале [0, t0] компенсировалась бы «антинеобратимостью» на интервале [t0, 2t0 ].

Такое положение нельзя признать удовлетворительным. Все трудности устраняются, если перейти к новому «термодинамическому представлению», в рамках которого динамика, как в «преобразовании пекаря», становится вероятностным процессом, аналогичным цепи Маркова. Следует также учесть, что обращение — процесс не «естественный». Для обращения скоростей к молекулам извне должна поступить «информация». Для того чтобы обратить скорости, необходимо существо, аналогичное демону Максвелла, а за демона Максвелла приходится «платить». Изобразим зависимость H-функции от времени (для какого-нибудь вероятностного процесса). Типичный график такой зависимости представлен на рис. 46. При нашем подходе (в отличие от больцмановского) эффект корреляций при переопределении H-функции сохраняется. Следовательно, в точке обращения скоростей t0 функция H должна претерпевать скачок, поскольку мы внезапно создаем в этой точке аномальные предстолкновительные корреляции, которые должны нарушиться позднее. Скачок H-функции соответствует энтропии, или информационной цене, которую нам приходится платить.

Итак, мы получаем адекватное представление второго начала: в любой момент времени H-функция убывает (энтропия возрастает). Единственным исключением является точка t0: H-функция претерпевает в ней скачок в тот самый момент, когда система открыта. Лишь воздействуя на систему извне, можно «обратить» скорости.

Нельзя не отметить еще одно важное обстоятельство: при t=t0 новая H-функция принимает два различных значения, одно — для системы до обращения скоростей, другое — для системы после обращения скоростей. Энтропия системы до обращения и после обращения скоростей различна. Это напоминает ситуацию, происходящую при «преобразовании пекаря», когда сжимающийся и растягивающийся слои — скорости, переходящие друг в друга при обращении.

Предположим, что, прежде чем производить обращение скоростей, мы достаточно долго выжидаем. В этом случае послестолкновительные корреляции имели бы произвольный радиус и энтропийная цена за обращение скоростей была бы непомерно велика. А поскольку обращение скоростей стало бы нам «не по карману», его исключили бы. На физическом языке это означает, что второе начало запрещает устойчивые предстолкновительные корреляции на больших расстояниях.

Поразительна аналогия с макроскопическим описанием второго начала. Тепло и механическая энергия эквивалентны с точки зрения сохранения энергии (см. гл. 4 и 5), но отнюдь не второго начала. Кратко говоря, механическая энергия более «высокого сорта» (более когерентна), чем тепло, и всегда может быть превращена в тепло. Обратное неверно. Аналогичное различие существует на микроскопическом уровне между столкновениями и корреляциями. С точки зрения динамики столкновения и корреляции эквивалентны. Столкновения порождают корреляции, а корреляции могут разрушать последствия столкновений. Но между столкновениями и корреляциями имеется существенное различие. Мы можем управлять столкновениями и порождать корреляции, но мы не в состоянии так управлять корреляциями, чтобы уничтожить последствия, вызванные столкновениями в системе. Этого существенного различия недостает в динамике, но его можно учесть в термодинамике. Следует заметить, что термодинамика нигде не вступает в конфликт с динамикой. Термодинамика вносит важный дополнительный элемент в наше понимание физического мира.

8. Энтропия как принцип отбора
Нельзя не удивляться тому, как сильно микроскопическая теория необратимых процессов напоминает традиционную макроскопическую теорию. И в той, и в другой теории энтропия имеет негативный аспект. В макроскопической теории энтропия запрещает некоторые процессы, например перетекание тепла от холодного предмета к теплому. В микроскопической теории энтропия запрещает некоторые классы начальных условий. Различие между тем, что запрещено, и тем, что разрешено, поддерживается во времени законами динамики. Из негативного аспекта возникает позитивный: существование энтропии вместе с ее вероятностной интерпретацией. Необратимость не возникает более, как чудо, на некотором макроскопическом уровне. Макроскопическая необратимость лишь делает зримой ориентированную во времени поляризованную природу того мира, в котором мы живем.

Как мы уже неоднократно подчеркивали, в природе существуют системы с обратимым поведением, допускающие полное описание в рамках законов классической или квантовой механики. Но большинство интересующих нас систем, в том числе все химические и, следовательно, все биологические системы, ориентировано во времени на макроскопическом уровне. Их отнюдь не иллюзорная однонаправленность во времени отражает нарушение временной симметрии на микроскопическом уровне. Необратимость существует либо на всех уровнях, либо не существует ни на одном уровне. Она не может возникнуть, словно чудо, при переходе с одного уровня на другой.

Мы также неоднократно отмечали, что необратимость является исходным пунктом других нарушений симметрии. Например, по общему мнению, различие между частицами и античастицами могло возникнуть только в неравновесном мире. Это утверждение может быть распространено на многие другие ситуации. Вполне вероятно, что с необратимостью через отбор подходящей бифуркации связана и киральная симметрия. Многие из активно проводимых ныне исследований посвящены выяснению того, каким образом необратимость можно «вписать» в структуру материи.

Возможно, читатель обратил внимание на то, что при выводе микроскопической необратимости основной акцент мы делали на классической динамике. Но представления о корреляциях и различии между пред- и послестолкновительными корреляциями применимы не только к классическим, но и к квантовым системам. Исследование квантовых систем более сложно, чем исследование классических, что обусловлено различием между классической и квантовой механикой. Даже малые классические системы, например система, состоящая из нескольких твердых шаров, могут обладать внутренней необратимостью. Но для того чтобы достичь внутренней необратимости в квантовой механике, необходимы большие системы (со многими степенями свободы), которые встречаются в жидкости, газах или теории поля. Ясно, что исследование больших систем сопряжено со значительно большими математическими трудностями. Именно это не позволяет нам рассказать здесь о них подробнее. Тем не менее общая ситуация, с которой мы познакомились на примерах классических систем, сохраняется и в квантовой теории: необратимость там возникает вследствие ограниченной применимости понятия волновой функции, обусловленной той или иной разновидностью квантовой неустойчивости.

Применима в квантовой механике и идея о столкновениях и корреляциях. Как и в классической теории, второе начало запрещает существование в квантовой теории дальнодействующих предстолкновительных корреляций.

Переход к вероятностному процессу сопровождается введением новых сущностей. Второе начало как эволюция от порядка к хаосу может быть понято именно в терминах этих новых понятий. Второе начало приводит к новой концепции материи, к описанию которой мы сейчас переходим.

9. Активная материя
Связав энтропию с динамической системой, мы тем самым возвращаемся к концепции Больцмана: вероятность достигает максимума в состоянии равновесия. Структурные единицы, которые мы используем при описании термодинамической эволюции, в состоянии равновесия ведут себя хаотически. В отличие от этого в слабо неравновесных условиях возникают корреляции и когерентность.

Здесь мы подходим к одному из наших главных выводов: на всех уровнях, будь то уровень макроскопической физики, уровень флуктуаций или микроскопический уровень, источником порядка является неравновесность. Неравновесность есть то, что порождает «порядок из хаоса». Но, как мы уже упоминали, понятие порядка (или беспорядка) сложнее, чем можно было бы думать. Лишь в предельных случаях, например в разреженных газах, оно обретает простой смысл в соответствии с пионерскими трудами Больцмана.

Сравним еще раз динамическое описание физического мира с помощью сил и полей и термодинамическое описание. Как уже упоминалось, нетрудно составить программы численных экспериментов, в которых взаимодействующие частицы, первоначально распределенные случайным образом, в некоторый момент времени располагаются в узлах правильной решетки. Динамическая интерпретация этого явления гласит: возникновение порядка обусловлено игрой сил взаимодействия между частицами. Термодинамическая интерпретация утверждает иное: наблюдается общая тенденция к установлению хаоса (система изолирована), но хаоса, проявляющегося в совершенно других структурных единицах (в рассматриваемой модели это — коллективные моды, охватывающие большое число частиц). В этой связи, по-видимому, уместно напомнить неологизм, введенный нами в гл. 6 для обозначения новых структурных единиц, которые ведут себя некогерентно, несогласованно в состоянии равновесия системы; мы назвали их «гипнонами», или «сомнамбулами», поскольку в состоянии равновесия они движутся как во сне, «не замечая» друг друга. Каждый из гипнонов может обладать сколь угодно сложной структурой (достаточно вспомнить о том, насколько сложны молекулы ферментов), но в состоянии равновесия их сложность обращена «внутрь» и никак не проявляется «снаружи». Например, внутри молекулы существует интенсивное электрическое поле, но в разреженном газе этим полем можно пренебречь: оно никак не сказывается на поведении других молекул.

Одним из главных предметов исследования в современной физике является проблема элементарных частиц. Известно, что элементарные частицы далеко не элементарны. По мере того как мы поднимаемся по шкале энергий, перед нами открываются все новые и новые «слои» в структуре элементарных частиц. Но что такое элементарная частица? Можно ли считать, например, что планета Земля — элементарная частица? Разумеется, нельзя, потому что часть энергии Земли приходится на ее взаимодействие с Солнцем, Луной и другими планетами. Понятие же элементарной частицы подразумевает «автономию», с трудом поддающуюся описанию с помощью обычных понятий. Взять, например, хотя бы электроны и фотоны. При рассмотрении их мы сталкиваемся с дилеммой: либо отдельные частицы не существуют (часть энергии «обобществлена» электронами и фотонами, т. е. приходится на коллективные моды системы электронов и протонов), либо, если исключить взаимодействие, существуют свободные (не взаимодействующие) электроны и фотоны. Даже если бы мы знали, как можно каждую частицу заэкранировать от других, исключение взаимодействия представляется слишком радикальной мерой. Электроны поглощают или испускают фотоны. Выход из создавшегося затруднения мог бы состоять в переходе к физике процессов. В этом случае структурные единицы (элементарные частицы) соответствовали бы определению гипнонов, так как в состоянии равновесия они ведут себя независимо. Мы надеемся, что наша гипотеза вскоре получит экспериментальное подтверждение. Особенно подкрепило бы ее обнаружение стрелы времени, выражающей глобальную эволюцию природы, непосредственно во взаимодействии атомов с фотонами (или другими нестабильными элементарными частицами).

Широко обсуждается в современной науке и проблема космической эволюции. Каким образом мир мог быть столь «упорядоченным» на первых этапах эволюции после большого взрыва? Тем не менее порядок необходим, если мы хотим понять космическую эволюцию как постепенное движение от порядка к хаосу.

Для удовлетворительного решения проблемы нам необходимо знать, адекватны ли гипноны экстремальным условиям с колоссальными температурами и плотностью материи, характерными для ранних этапов развития Вселенной. Разумеется, одной термодинамике не под силу решить эти проблемы, как не в силах решить их и одна динамика, даже в высшей своей форме — теории поля. Именно поэтому объединение динамики и термодинамики открывает новые перспективы. Независимо от всяких прогнозов нельзя не удивляться разительным переменам, происшедшим в естествознании с тех пор, как было сформулировано второе начало (т. е. за какие-нибудь сто пятьдесят лет). Сначала физикам казалось, будто атомистические представления противоречат понятию энтропии. Больцман пытался спасти механистическое мировоззрение ценой сведения второго начала к вероятностному утверждению, весьма важному для практических приложений, но не имеющему фундаментального значения. Мы не знаем, каким будет окончательное решение, но современная ситуация коренным образом отличается от ситуации полуторавековой давности. Материя теперь не есть нечто данное. В современной теории она «конструируется» из более элементарного понятия в терминах квантованных полей. В этом конструировании важная роль отводится термодинамическим понятиям (необратимости, энтропии) [Речь, очевидно, идет о понятии материи в специально научном, физическом, а не философском смысле. - Прим. перев.].

Подведем итоги достигнутого. В первой и второй части нашей книги неоднократно подчеркивалось, что на уровне макроскопических систем первостепенное значение имеет второе начало (и связанное с ним понятие необратимости).

В третьей части мы стремились показать, что в настоящее время открывается возможность выхода за рамки макроскопического уровня, и продемонстрировать, что означает необратимость на микроскопическом уровне.

Переход от макроскопического уровня к микроскопическому требует коренного пересмотра наших взглядов на фундаментальные законы физики. Только полностью избавившись от классических представлений (как в случае достаточно нестабильных систем), мы можем говорить о «внутренней случайности» и «внутренней необратимости».

Для таких систем мы можем ввести новое расширенное описание времени с помощью оператора Т. Как было показано на примере «преобразования пекаря» (гл. 9 «От случайности к необратимости»), этот оператор имеет в качестве собственных функций разбиения фазового пространства (см. рис. 39).

Таким образом, ситуация, с которой мы сталкиваемся, очень напоминает ситуацию, сложившуюся в квантовой механике. Существуют два возможных описания: либо мы выбираем точку в фазовом пространстве и тогда не знаем, какому разбиению она принадлежит и, следовательно, каков ее внутренний возраст, либо мы знаем внутренний возраст, но тогда нам известно только разбиение, а не точная локализация точки.

После того как мы ввели внутреннее время Т, энтропию можно использовать как принцип отбора для перехода от начального описания с помощью функции распределения r к новому описанию с помощью функции распределения r^[1], которая обладает внутренней стрелой времени, согласующейся со вторым началом термодинамики. Основное различие между r и r^проявляется в разложениях этих функций по собственным функциям оператора Т (см. гл. 7 «Рождение квантовой механики»). В функцию r все внутренние возрасты независимо от того, принадлежат ли они прошлому или будущему, входят симметрично. В функции r^ в отличие от r прошлое и будущее играют различные роли: прошлое входит в r^, а будущее остается неопределенным. Асимметрия прошлого и будущего означает, что существует стрела времени. Новое описание обладает важной особенностью, заслуживающей того, чтобы ее отметить: начальные условия и законы изменения перестают быть независимыми. Состояние со стрелой времени возникает под действием закона, также наделенного стрелой времени и трансформирующего состояние, но сохраняющего стрелу времени.

В нашей книге мы рассматривали главным образом классическую ситуацию [20]. Но все сказанное применимо и к квантовой механике, в которой ситуация несколько сложнее, поскольку существование постоянной Планка лишает смысла понятие траектории и тем самым приводит к своего рода делокализации в фазовом пространстве. Таким образом, квантовомеханическая делокализация накладывается на делокализацию, вызванную необратимостью.

В гл. 7 мы подчеркивали, что две великие революции в физике XX в. связаны с включением в фундаментальную структуру физики двух запретов, чуждых классической механике: невозможности распространения сигналов со скоростью больше скорости света и невозможности одновременного измерения координат и импульса.

Неудивительно, что и второе начало, также ограничивающее наши возможности активного воздействия на материю, приводит к глубоким изменениям в структуре основных законов физики.

Нам бы хотелось закончить третью часть нашей книги предостережением. Феноменологическую теорию необратимых процессов ныне можно считать вполне сложившейся. В отличие от нее микроскопическая теория необратимых процессов делает лишь первые шаги. Когда читалась верстка этой книги, в нескольких лабораториях подготавливались эксперименты для проверки правильности микроскопической теории. Пока эти эксперименты не будут выполнены, умозрительный элемент в новой теории неизбежен.