Каковы законы социодинамики? Чему мы можем научиться из нелинейной динамики для управления сложностью в социальных, экономических, финансовых и политических системах? Является ли самоорганизация приемлемой стратегией для управления сложностью в фирмах, учреждениях и организациях? Мировой кризис финансовых рынков и экономических систем бросает вызов современным исследованиям в области теории сложности. Вводящие в заблуждение понятия линейного мышления и представления о мягких случайностях (например, гауссово распределение броуновского движения) должны быть преодолены. Им на смену должны прийти новые подходы нелинейной математики (например, негауссово распределение), моделирующие дикие случайности, вызывающие бурные процессы, турбулентности на финансовых рынках. Системные кризисы нуждаются в системных ответах.

Теория сложных систем стала использоваться как доказанный подход к решению проблем в естествознании, начиная с космических и квантовых систем и кончая клеточными организмами и мозгом. Модели самоорганизующихся систем применяются даже в современной инженерной науке, чтобы управлять сложными сетями и процессами. Сегодня общепризнано, что многие из наших экологических, социальных, экономических и политических проблем также являются глобальными, сложными и нелинейными по своей природе [Скотт 2005]. Современная эволюционирующая экономика также может быть смоделирована в рамках теории сложных систем и нелинейной динамики. С исторической точки зрения введению эволюционных представлений в экономику способствовали развитые Шумпетером понятия бизнес циклов и инновационной динамики. Каковы законы социодинамики ? Чему мы можем научиться из нелинейной динамики для управления сложностью в социальных, экономических, финансовых и политических системах? Является ли самоорганизация приемлемой стратегией для управления сложностью в фирмах, учреждениях и организациях? Мировой кризис финансовых рынков и экономических систем бросает вызов современным исследованиям в области теории сложности. Вводящие в заблуждение понятия линейного мышления и представления о мягких случайностях (например, гауссово распределение броуновского движения) должны быть преодолены. Им на смену должны прийти новые подходы нелинейной математики (например, негауссово распределение), моделирующие дикие случайности, вызывающие бурные процессы, турбулентности на финансовых рынках. Системные кризисы нуждаются в системных ответах .

Тем не менее человеческие когнитивные способности часто бывают потрясены сложностью нелинейных систем, которыми они вынуждены управлять. Традиционная математическая теория решений исходила из представления о совершенной рациональности экономических агентов. Герберт Саймон, лауреат Нобелевской премии по экономике и один из выдающихся пионеров в развитии теории систем и когнитивной науки ввел принцип ограниченной рациональности. Стало быть, нам необходимы новые проникновения в суть фактического микроэкономического поведения экономических агентов, возможные при применении методов гуманитарных, когнитивных и социальных наук, которые иногда называют «экспериментальной экономикой». Социальная и экономическая динамика бросает междисциплинарные вызовы современным исследованиям по теории сложных систем.

От линейной динамики к динамике нелинейной и стохастической

Динамическая система характеризуется своими элементами и зависящим от времени развитием ее состояний. Состояния могут быть приписаны движущимся планетам, молекулам газа, возбуждениям нейронов в нейронной сети, питанию популяций в экологической системе или продуктам в рыночной системе. Динамика системы, т.е. изменение состояний системы в зависимости от времени, математически описывается дифференциальными уравнениями . Консервативная (гамильтонова) система , например идеальный маятник, определяется обратимостью направления течения процессов во времени и сохранением энергии. Диссипативные системы , например реальный маятник с трением, необратимы. В классической физике динамика системы рассматривается как непрерывный процесс .

Однако непрерывность есть только математическая идеализация. На самом деле ученый проводит отдельные наблюдения или измерения в дискретных по времени точках, которые выбираются как равноотстоящие или определяются дополнительными измерительными приборами. В дискретных процессах существуют ограниченные различия между измеряемыми состояниями и не существует неограниченно малых различий (дифференциалов), которые предполагаются в случае непрерывного процесса. Таким образом, дискретные процессы математически описываются дифференциальными уравнениями . Случайные события (например, броуновское движение в жидкости, мутации в эволюции, инновации в экономике) описываются дополнительными флуктуационными членами . Классические стохастические процессы , например миллиарды неизвестных молекулярных состояний в жидкости, описываются дифференциальными уравнениями с параметрами, зависящими от времени и с распределением функций вероятностных состояний. В квантовых системах элементарных частиц динамика квантовых состояний описывается уравнением Шрёдингера с наблюдаемыми (например, положением и импульсом частицы), зависящим от принципа неопределенности Гейзенберга , который позволяет делать только вероятностные предсказания будущих состояний.

С исторической точки зрения на протяжении столетий господства классической физики вселенная рассматривалась как детерминистическая и консервативная система. Астроном и математик П.С. Лаплас, например, предположил тотальную вычислимость и предсказуемость природы, если известны все законы природы и начальные состояния небесных тел. Демон Лапласа выражал веру философов в детерминизм и вычислимость мира на протяжении XXVIII и XIX столетий. Лаплас был прав в отношении линейных и консервативных динамических систем . Вообще говоря, линейное отношение означает, что скорость изменения системы пропорциональна воздействующей на нее причине: малые изменения вызывают малые результаты (следствия), в то время как большие изменения вызывают большие результаты (следствия). Изменения динамической системы могут быть смоделированы в одном измерении посредством изменения значения зависящей от времени величины по оси времени (временной ряд). Математически линейные уравнения полностью вычислимы. И это является глубоким основанием для справедливости философского допущения Лапласа для линейных и консервативных систем.

В теории систем полная информация о динамической системе в определенный момент времени определяется ее состоянием в этот момент времени. Вообще говоря, состояние системы определяется более чем двумя величинами. Тогда для изучения динамики системы необходимо более высокоразмерное фазовое пространство. С методологической точки зрения временные ряды и фазовые пространства являются важными инструментами для изучения динамики систем. Пространство состояний системы содержит полную информацию о прошлом, настоящем и будущем ее поведении . В конце XIX в. А. Пуанкаре открыл, что небесная механика не является полностью вычислимым часовым механизмом, даже если она рассматривается как детерминистическая и консервативная система. Взаимные гравитационные взаимодействия более чем двух небесных тел («проблема многих тел») соответствуют нелинейным и неинтегрируемым уравнениям с нестабильностями и нерегулярностями . Согласно лапласовскому видению, сходные причины в сущности определяют сходные результаты (следствия). Таким образом, в фазовом пространстве траектории, которые начинаются близко друг от друга, остаются близкими друг к другу на протяжении эволюции во времени.

Динамические системы с детерминистическим хаосом демонстрируют экспоненциальную зависимость от начальных условий для связных, близких траекторий: разделение траекторий с близкими начальными состояниями возрастает экспоненциально. Таким образом, мельчайшие отклонения в начальных данных ведут к экспоненциально возрастающим вычислительным трудозатратам для получения будущих данных, что накладывает предел на долгосрочные предсказания , хотя эта динамика в принципе однозначно детерминирована. Этот феномен известен как «эффект бабочки» : начальные малые и локальные причины приводят вскоре к непредсказуемым большим и глобальным результатам (следствиям). Согласно знаменитой КАМ-теореме А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольда и Ю.К. Мозера, траектории в фазовом пространстве классической механики не являются ни полностью регулярными, правильными, ни полностью беспорядочными, неправильными, но чувствительным образом зависят от выбранных начальных условий.

Динамические системы могут быть классифицированы по характеру их динамики в некоторой области фазового пространства. Консервативная система определяется тем фактом, что в ходе ее эволюции во времени объем области остается постоянным , хотя ее форма может видоизменяться. В диссипативной системе ее динамика вызывает сжатие объема . Аттрактор есть область в фазовом пространстве, в которой все смежные траектории, исходящие из определенной области, так называемого бассейна притяжения , стремятся сойтись друг с другом. Существуют различные типы аттракторов. Простейший класс аттракторов содержит фиксированные точки . В этом случае все смежные траектории в некоторой области сходятся в точке . Примером служит диссипативный гармонический маятник с трением: колебания маятника постепенно замедляются силами трения и в конце концов он останавливается в некоторой точке равновесия. Консервативные гармонические маятники без трения принадлежат к следующему классу аттракторов с предельными циклами , которые могут быть отнесены к периодическим или квазипериодическим. Периодическая орбита – это замкнутая орбита, к которой сходятся все траектории, исходящие из прилегающей к ней области. Для простой динамической системы только с двумя степенями свободы и непрерывным временем единственно возможными аттракторами являются фиксированные точки или периодические предельные циклы. Примером служит осциллятор Ван-дер-Поля, моделируемый простым колебательным контуром из вакуумной трубки. В сплошных средах (системах) с фазовым пространством измерений n > 2 возможны более сложные аттракторы.

Динамические системы с квазипериодическими предельными циклами демонстрируют эволюцию во времени, которая может быть разложена на различные части – периодические процессы – без одного единственного периодического режима. Соответствующие временные ряды состоят из периодических процессов колебаний без общей структуры. Тем не менее, траектории, начинающиеся близко друг от друга, остаются близкими друг к другу в процессе эволюции во времени. Третий класс включает в себя динамические системы с хаотическими аттракторами , которые являются непериодическими , с экспоненциальной зависимостью от начальных условий для смежных орбит. Хорошо известный пример – хаотический аттрактор системы Лоренца, моделирующий хаотическое изменение погоды, обусловленное локальными событиями, которые не могут быть предсказаны на долгосрочную перспективу ( эффект бабочки ). Результаты измерения часто заражены нежелательным шумом, который не может быть отделен от тех сигналов, которые собственно нас и интересуют. Более того, чтобы предсказывать поведение системы, развитие ее будущих состояний должно быть реконструировано в соответствующем фазовом пространстве, исходя из конечной последовательности результатов измерений.

Таким образом, анализ временных рядов [ Абарбанель 1995 , Мандельброт 2007, Смолл 2005 ] является потрясающим вызовом для самых разных областей исследований, от, например, климатических данных в метеорологии, ЭКГ сигналов в кардиологии и ЭЭГ данных при исследовании мозга до экономических данных в экономике и финансах. За пределами образцов динамических аттракторов случайность данных должна быть классифицирована посредством статистических распределений функций. Типичные феномены нашего мира, такие как погода, климат, экономика и ежедневная жизнь, слишком сложны для простого детерминистического описания [Накамура 1997]. Даже если бы у нас не было сомнений в детерминистической эволюции, скажем атмосферы, то знания о ее текущем состоянии, которые бы потребовались для детерминистического предсказания, содержали бы слишком много переменных, чтобы они могли быть измерены с достаточной точностью. Следовательно, наше знание обычно недостаточно для построения детерминистической модели. Вместо этого очень часто более уместен стохастический подход . Игнорируя ненаблюдаемые детали системы, мы принимаем недостаток знания. В зависимости от ненаблюдаемых деталей наблюдаемая часть может эволюционировать различными путями. Однако если мы предположим некоторую заданную вероятность распределения ненаблюдаемых деталей, то различные пути эволюции наблюдаемых величин также появятся со специфическими вероятностями.

Таким образом, недостаток знания о системе мешает нам делать детерминистические предсказания, но позволяет нам приписывать вероятности различным возможным будущим состояниям. Задачей анализа временных рядов является извлечение информации из данных о прошлых состояниях. Динамические модели содержат нелинейную обратную связь, и решения для них обычно получаются численными методами. Статистические модели являются зависимыми от данных и подгоняются под определенный набор данных посредством различных функций распределения. Существуют также гибриды, соединяющие динамические и статистические аспекты, включающие детерминистические и стохастические элементы. Моделирование часто основывается на компьютерных программах (например, клеточные автоматы или формализмы для описания сети), в которых вход и выход соединяются нелинейным образом.

В этом случае модели калибруются с помощью тренировки сетей, чтобы минимизировать ошибки между входными и исходящими тестируемыми данными. В качестве простейшего случая функции статистического распределения мы имеем Гауссово распределение, которое имеет симметрично расположенные экспоненциальные хвосты, уходящие далеко налево и далеко направо от пика кривой. Экстремальные события (например, катастрофы, пандемии, наводнения) происходят в хвостах распределений вероятности. В противоположность распределению Гаусса функции вероятности p ( x ), имеющие тяжелые хвосты с экстремальными флуктуациями, математически описываются степенными законами , т.е. p ( x ) ~ x — ? , где ? > 0. Степенные законы обладают свойством масштабной инвариантности, соответствующей (по крайней мере, статистически) самоподобию временных рядов их данных.

Математически это свойство может быть выражено как p ( bx ) = b — ? p ( x ), это означает, что изменение переменной x в bx имеет своим результатом фактор масштабирования, зависящий от x , в то время как форма распределения p сохраняется. Таким образом, степенные законы репрезентируют системы, не зависящие от масштаба, т.е. самоподобные системы. Распределение землетрясений по шкале Гутенберга-Рихтера является типичным примером из естествознания. С исторической точки зрения, закон распределения людей по благосостоянию, открытый Парето, был первым степенным законом в социальных науках, который указал на то, что определенная доля людей в несколько раз богаче, чем основная масса нации [Альбеверио 2006; Майнцер 2007].

Сложная и нелинейная динамика эволюции и мозг

Структуры в природе могут быть объяснены посредством динамики и аттракторов сложных систем [Хакен 1993 ]. Они являются результатом коллективных паттернов взаимодействующих элементов, которые не могут быть сведены к свойствам отдельных элементов в сложной системе. Нелинейные взаимодействия в многокомпонентных («сложных») системах часто имеют синергетические эффекты, которые не могут быть прослежены до единичных причин и не могут быть предсказаны в своих отдаленных следствиях. Математический формализм сложных динамических систем взят из статистической физики. Но, вообще говоря, теория сложных динамических систем имеет дело с глубокими и поразительными аналогиями, которые были в поведении весьма различных самоорганизующихся систем в физике, химии и биологии. Эти многокомпонентные системы состоят из многих единиц, таких как элементарные частицы, атомы, клетки или организмы. Элементарные единицы, например их положение и векторы импульсов и их локальные взаимодействия составляют микроскопический уровень описания, например описание взаимодействующих молекул в жидкости или газе. Глобальное состояние сложной системы является результатом коллективных конфигураций локальных многокомпонентных состояний. На макроскопическом уровне существует несколько коллективных («глобальных») величин, таких, как, например, давление, плотность, температура и энтропия, характеризующих наблюдаемые коллективные паттерны или фигуры единиц.

Если внешние условия системы изменяются посредством некоторых контрольных параметров (например, температуры), система может претерпевать изменение в своих макроскопических глобальных состояниях, достигая некоторой пороговой величины. Например, вода как сложная система молекул спонтанно переходит из жидкого в замерзшее состояние при критическом значении температуры, равной нулю по Цельсию. В физике эти трансформации коллективных состояний называются фазовыми переходами .

Очевидно, они описывают изменение поведения взаимодействующих самоорганизующихся элементов сложной системы. Согласно Л.Д. Ландау, соответствующие макровеличины, характеризующие это изменение глобального порядка, обозначают как «параметры порядка» . В статистической механике изменение порядка сложных систем, таких, как жидкости, газы и т.д., описывается дифференциальными уравнениями глобального состояния. Парадигмальным примером служит ферромагнит, состоящий из многих элементарных атомных магнитов («диполей»). Два возможных локальных состояния диполя изображаются как стрелки, одна из которых направлена вверх, а другая вниз. Если температура ( «контрольный параметр» ) отжига достигает термического равновесия (точка Кюри), то среднее распределение ориентированных вверх и вниз диполей ( «параметр порядка» ) спонтанно выравнивается и все диполи выстраиваются в одном определенном направлении. Этот правильный паттерн соответствует макроскопическому состоянию намагничивания . Понятно, что возникновение намагничивания есть результат самоорганизованного поведения атомов, которое моделируется посредством фазового перехода некоторого параметра порядка, среднего распределения ориентированных вверх и вниз диполей. Схема Ландау не может быть обобщена на все случаи фазовых переходов. Основная причина неудачи заключается в неадекватной трактовке флуктуаций , которые типичны для целого ряда многокомпонентных систем. Тем не менее, схема Ландау может быть использована как эвристический инструмент для рассмотрения некоторых неравновесных переходов . В данном случае сложная система выводится из состояния равновесия посредством наращивания энергии (а не уменьшения энергии как в случае равновесных переходов, подобных замерзанию воды или намагничиванию ферромагнитов). Фазовые переходы, которые претерпевают нелинейные диссипативные сложные системы, находящиеся вдали от термического равновесия, могут быть описаны посредством некоторых математических методов.

В более математизированных моделях стохастические нелинейные дифференциальные уравнения (например, уравнения Фоккера-Планка, основное уравнение) служат для того, чтобы смоделировать динамику сложной системы. Г. Хакен предположил, что доминирующие параметры порядка должны базироваться на адиабатическом исключении быстро релаксирующих переменных в этих уравнениях. Это обусловлено тем, что время релаксации неустойчивых мод (параметров порядка) очень велико по сравнению со временем релаксации быстро релаксирующих переменных стабильных мод, которыми поэтому можно пренебречь. Таким образом, понятие самоорганизации можно проиллюстрировать посредством квазибиологического лозунга: долгоживущие системы доминируют над короткоживущими системами. С точки зрения теории динамических систем, даже редкие, необычные, катастрофические и внезапные ( «экстремальные» ) события порождаются неслучайно. Они происходят в системах, далеких от равновесия, в состояниях сильной неустойчивости и в таких, когда имеют место коллективные эффекты. Например, экстремальные погодные события происходят в таком состоянии земной атмосферы, которое определяется хорошо известными уравнениями движения, такими, как нелинейные уравнения Навье-Стокса. Следовательно, предсказание погоды основывается на численном моделировании типичных уравнений, подпитываемых наблюдениями и измерениями, относящихся, прежде всего, к начальным условиям. В этих рамках экстремальные события (например, ураганы, циклоны) рассматриваются как проявления нелинейной динамики сложных систем.

Динамический механизм объясняет, почему система далеко отклоняется от своего нормального состояния. Эти сценарии известны как большие девиации, детерминистический хаос или хорошо развития турбулентность. Модель самоорганизованной критичности ( COK ) предполагает, что система реагирует на последовательность возмущений, маневрируя и переходя в критическое состояние без внешнего регулирования посредством соответствующих контрольных параметров. С этой точки зрения гигантские флуктуации являются скорее правилом, чем исключением. Нелинейная динамика COK используется, чтобы объяснять статистические функции распределения для соответствующих наблюдаемых величин. Например, закон Гутенберга-Рихтера для распределения силы землетрясения может быть воспроизведен посредством соответствующих моделей СОК. Они позволяют нам обнаружить замечательную поразительную связь между фазовыми переходами динамических систем и статистическими законами для экстремальных явлений.

Однако стоит заметить, что эта теория вплоть до сегодняшнего дня поддерживается главным образом результатами компьютерного моделирования. Вообще говоря, динамические системы и их фазовые переходы обеспечивают нам удачный формализм для моделирования возникновения порядка в природе . Но эти методы не сводятся к специальным законам физики, соответствующие математические принципы были впервые открыты и успешно применены в физике. Это не физикализм , а междисциплинарная методология для объяснения возрастающей сложности и дифференциации форм посредством фазовых переходов. Вопрос состоит в том, как выбрать, интерпретировать и количественно выразить соответствующие переменные в динамических моделях. Модели термодинамической самоорганизации не достаточны , чтобы объяснить возникновение жизни .

В качестве нелинейного механизма генетики мы используем автокаталитический процесс генетический саморепликации. Эволюция новых видов путем мутации и естественного отбора может быть смоделирована посредством нелинейных стохастических уравнений для фазовых переходов второго рода [Майнцер 2005]. Мутации математически представляются как «флуктуационные силы», а факторы естественного отбора как «движущие силы». Степени приспособления – это параметры порядка, которые управляют фазовыми переходами к новым видам. В ходе эволюции выработалась разумная и тонкая сеть равновесий между популяциями животных и растений. Открытые диссипативные системы экологии могут стать нестабильными из-за локальных возмущений, например, загрязнения атмосферы, ведущего глобальному хаосу в атмосфере в форме эффекта бабочки [Майнцер 2007 б ].

В исследованиях мозг рассматривается как сложная динамическая система возбужденных и невозбужденных нейронов, самоорганизующихся в макроскопические паттерны ансамблей клеток посредством нейрохимических взаимодействий. Их динамические аттракторы соответствуют состояниям восприятия, движения, эмоции, мыслей и даже сознания. Не существует «материнского нейрона», который может чувствовать, думать или координировать работу соответствующих нейронов. Известная проблема соединения пикселей и свойств в восприятии объясняется как возникновение кластеров синхронно вспыхивающих нейронов, доминирование которых устанавливается возникающим в результате обучения аттракторам динамики мозга. Мозг является также самоконтролирующей и самокартирующей системой всех телесных, когнитивных и эмоциональных состояний, ведущих к формированию и функционированию самоосознания и самосознания , которые могут быть истолкованы как господствующие параметры порядка. Таким образом, даже человеческая субъективность, традиционная философская проблема «квалия» , может быть объяснена посредством динамики сложных систем. Человеческие намерения и предпочтения соответствуют аттракторам динамики мозга, оказывающим влияние на человеческие действия и поведение.

Сложность и нелинейная динамика экономики и финансов

Самоорганизация сложных систем также может наблюдаться в социальных группах. Одним из применений социальной динамики является моделирование поведения водителей машин. В автомобильных транспортных системах фазовый переход от состояния отсутствия пробки к состоянию наличия пробки зависит от средней плотности машин как контрольного параметра. Спонтанное возникновение хаотических паттернов в движении транспорта является известным результатом самоорганизации нелинейных взаимодействий, который часто не может быть сведен к единичным причинам. При достижении критического значения могут наблюдаться флуктуации с фрактальными или самоподобными свойствами .

Термин самоподобие означает, что временные ряды измеряемого транспортного потока выглядят одними и теми же в различных временных масштабах, по крайней мере с качественной точки зрения с незначительными статистическими отклонениями. Этот феномен называют также фрактальностью [ Майнцер 2007 a ]. В теории сложных систем самоподобие является намеком (недостаточным) на хаотическую динамику. Эти сигналы могут использоваться как управляющие системы для транспорта. В политическом сообществе коллективные тренды или большинство при формировании мнений могут рассматриваться как параметры порядка , которые продуцируются во взаимных дискуссиях и взаимодействиях людей в более или менее «накаленной» ситуации. Они могут быть инициированы даже незначительным количеством людей в критической и нестабильной (« революционной ») ситуации всего сообщества . Может иметь место соревнование параметров порядка при наличии сильных флуктуаций. Существенным является то, что выигрывающий параметр порядка будет доминировать и определять коллективное поведение людей. Итак, существует некоторого рода обратная связь: коллективный порядок в сложной системе порождается взаимодействиями ее элементов ( «самоорганизация» ). Наряду с термодинамической, генетической и нейронной самоорганизацией мы также различаем социальную и экономическую самоорганизацию . С одной стороны, поведение элементов управляется коллективным порядком.

С другой стороны, люди обладают своей индивидуальной волей, чтобы оказывать влияние на коллективный порядок. Тем не менее , мы также ведомы аттракторами коллективного поведения . Иногда этот подход называют «эконофизикой» (т.е. комбинацией «экономики» и «физики»). Но моделирование самоорганизации сложных систем не есть физикализм , поскольку применяемый здесь математический формализм сложных систем и нелинейной динамики не зависит от понятий физики и рассматривает только экономические и социальные данные. Поэтому мы предпочитаем термин « социодинамика » . Блестящим предвестником современной социодинамики был австрийский экономист Йозеф Ф . Шумпетер , который анализировал корреляцию между динамикой инноваций и экономической теорией циклов . Новые идеи возникают постоянно . Когда накоплено достаточное количество идей, целый ряд инноваций вводится в практику предпринимательства. Сначала они развиваются медленно, затем их развитие ускоряется, по мере того как улучшаются методы. Логистическое представление процесса развития характеризуется посредством типичной траектории инновации. Некоторое вложение капитала должно предшествовать введению инновации. Инвестиции стимулируют спрос .

Возрастающий спрос облегчает распространение инновации. Затем, когда все инновации оказываются полностью использованными, процесс замедляется до нуля. Шумпетер назвал этот процесс «роением» инноваций. В этой циклической модели, состоящей из трех стадий, первая короткая стадия – это стандартная, рутинная стадия, когда инновации не играют никакой роли. Следующая за ней более длительная стадия связана с инновациями . Шумпетер признавал значимость исторической статистики и связывал данные по длинным волнам с тем фактом, что таким наиболее важным инновациям, как использование пара, стали, строительство железных дорог, паровозов и использование электричества, потребовалось от 30 до 100 лет, чтобы стать полностью интегрированными в экономику. Вообще говоря, Шумпетер описывал экономическую эволюцию как технический прогресс в форме сгущений, формирования «роев» инноваций, что находило объяснение в логистическом представлении.

Технологический рой, как предполагается, циклически смещает равновесие к новому аттрактору, представляющему собой фиксированную точку. Устанавливающееся в результате новое состояние равновесия характеризуется более высокой реальной заработной платой и более высоким потреблением и выпуском продукции. Таким образом, представленная Шумпетером динамика инноваций может быть легко интерпретирована в терминах социодинамики с аттракторами. Рои инноваций в точках экономической нестабильности могут быть рассмотрены как параметры порядка, доминирующие и определяющие долговременные бизнесциклы. С исторической точки зрения великая депрессия 1930-х годов подтолкнула к разработке экономических моделей бизнесциклов. Однако – с математической точки зрения – первые модели (например, модели Хансена-Самуэлсона и Лундберга-Метцлера) были линейными и поэтому требовали экзогенных (т.е. имеющих внешний источник) потрясений для объяснения их нерегулярности. Объяснение экзогенных потрясений связано с большим затруднением, поскольку оно часто требует введения произвольных ad hoc гипотез и поэтому может объяснить все, что угодно. Стандартная эконометрическая методология строит свои аргументы в этой традиции, хотя настоящий анализ циклов стал возможным, после того как произошло математическое открытие странных аттракторов.

Традиционные линейные модели 1930-х годов легко могут быть переформулированы в рамках теории нелинейных систем. С методологической точки зрения эндогенные нелинейные модели с аттракторами кажутся более удовлетворительными. Тем не менее эндогенные нелинейные модели наряду с линейными моделями с экзогенными потрясениями должны приниматься всерьез и подвергаться проверке в экономике. В противоположность физическим, химическим и биологическим системам, для социальных систем нет уравнений движения на микроуровне. Люди – это не атомы или молекулы, а человеческие существа со своими намерениями, мотивациями и эмоциями. В принципе их индивидуальное поведение и принятие решений может быть объяснено посредством анализа динамики мозга . Когнитивная и эмоциональная динамика детерминирована параметрами порядка, характеризующими мысли, решения и мотивацию индивидов. Но это только теоретическое видение, поскольку соответствующие уравнения для нейродинамики еще не известны. Более того, они будут, по-видимому, слишком сложными для решения и для предсказания будущего поведения людей. Поэтому предложен альтернативный подход, который преуспевает без микроскопических уравнений, но тем не менее принимает во внимание решения и действия индивидов и описывает с помощью вероятностных методов, чтобы получить макродинамику социальных систем . План моделирования состоит из трех шагов. На первом шаге должны быть введены соответствующие переменные социальных систем, чтобы описать состояния и установки индивидов. Второй шаг определяет изменение поведения посредством вероятностных фазовых переходов индивидуальных состояний. На третьем шаге посредством стохастических методов выводятся уравнения для глобальной динамики системы. В обществе мы можем выделить несколько областей или подобластей, которые обозначаются соответствующими переменными.

Существуют переменные для материальных состояний, экстенсивных и интенсивных личных состояний. Социоконфигурация социальной системы характеризуется посредством этих материальных и личных макропеременных. Они измеряются известными методами демоскопии, социологии или экономики. Также как и в термодинамике существуют интенсивные экономические переменные, которые не зависят от размера системы. Примерами служат цены, производительность и концентрация предметов потребления. Экстенсивные переменные пропорциональны размеру системы или предприятия, например объему производства и инвестиций или размеру и числу зданий. Коллективные материальные переменные измеримы . На их величину оказывает воздействие индивидуальная активность агентов, которая часто непосредственно не измерима. Социальный и психологический климат в фирме связан с социопсихологическими процессами, на которые влияют установки, мнения и действия индивидов и их подгрупп. Таким образом, для того чтобы ввести социоконфигурацию коллективных личных переменных, нам необходимо рассмотреть состояния индивидов, выражаемые посредством их установок, мнений и действий. Более того, существуют подгруппы с постоянными характеристиками (например, секции или отделы фирмы или учреждения), так что каждый индивид является членом одной подгруппы. Число членов в определенном состоянии – это измеримая макропеременная .

Социоконфигурация, например, некоторой компании представляет собой набор макропеременных, описывающий распределение установок, мнений и действий среди ее подгрупп в определенный момент времени. Вся макроконфигурация представляется как соединение материальной конфигурации и социоконфигурации. Вероятностные фазовые переходы могут быть использованы для определения уравнения макроэволюции социальной системы. Вероятностное макроповедение общества описывается посредством функции распределения вероятности по ее возможным социоконфигурациям в определенный момент времени. Распределение функции P ( m , n ; t ) может быть интерпретировано как вероятность нахождения некоторой макроконфигурации материальной конфигурации m и социоконфигурации n в момент времени t . Эволюция социальной системы есть изменение вероятностного макроповедения по времени, т.е. производная по времени функции вероятности dP ( m , n ; t )/ dt . Итак, мы получаем стохастическое нелинейное дифференциальное уравнение, известное в термодинамике как управляющее уравнение [Хакен 1993] .

Примером социальных фазовых переходов и процессов нарушения симметрии являются распространенные во всем мире процессы миграции. Поведение и решения людей остаться или покинуть свой регион изображается как пространственное распределение населения и его изменение. Модели могут описывать региональную миграцию внутри страны, вызванную различными факторами экономического развития или ростом городов, или даже распространенную во всем мире драматическую миграцию между богатыми и бедными странами в век глобализации. Взаимодействие в ходе миграции двух человеческих популяций может вызвать появление нескольких макрофеноменов, таких, как возникновение стабильного перемешивания, возникновение двух обособленных друг от друга, но стабильных гетто или установление постоянного и непрекращающегося миграционного процесса.

При численном моделировании и построении фазовых портретов миграционной динамики эти макрофеномены могут быть идентифицированы как соответствующие аттракторы. Стабильность и благосостояние наших обществ чувствительным образом зависит от динамики международных финансовых рынков . Как уже отмечалось выше, мы, вообще говоря, не знаем микроскопических движений экономических данных и агентов. По этой причине в 1900 г. французский математик Л. Башелье представил флуктуации стоимости акций как статистическое случайное движение ( броуновское д вижение ) до того, как физики, включая и самого А. Эйнштейна, открыли его в микроскопическом движении мелких частиц в жидкостях. Броуновское движение не только предполагает статистическую стабильность увеличения цен и изменение масштаба цен (т.е. инвариантность соотношений при смещении или изменении масштаба), но и независимость событий роста цен (известно, что прошлое не дает нам знания о будущем), непрерывность изменения цен (пример броуновского движения как непрерывной кривой), грубую равномерность изменений цен (нормальное распределение Гаусса или «белый шум»), отсутствие создания кластеров (отсутствие возникновения локальных паттернов и структур) и отсутствие циклического поведения. Исходя из этого распределение Гаусса ведет к предположению об эффективном рынке и успешной скупке и продаже ценных бумаг с удваивающимися ценами: известно ли нам прошлое полностью, частично или же оно совсем не известно, изменения цен на всем промежутке обозримого будущего имеет ноль как ожидание [Имада 2005] . Современная теория и практика финансов в большей или меньшей степени базируется на этих фундаментальных предположениях. То, что делает рискованным инвестирование средств в покупку акций на бирже, — это разброс возможных результатов.

Обычной мерой этого разброса считается стандартное отклонение от колокообразного (Гауссова) нормального распределения. На этой основе Г. Марковиц предложил свою, ставшую хорошо известной конструкцию портфеля ценных бумаг , чтобы диверсифицировать возможные риски. Риск вложения в акции при полностью диверсифицированном портфеле зависит от чувствительности этого вложения к рыночным изменениям, которые измеряются неким параметром «бета». Бета служит мерилом для ожидаемого рискового вознаграждения, которое с середины 1960-х годов калькулируется посредством модели оценки финансовых активов . Башелье не только предложил модель случайных движений изменения цен, но также рассматривал результаты инвестирования в опционы. Настоящим прорывом стала в 1973 г. знаменитая формула Блэка-Шолса , по которой вычисляется опцион первого спроса, когда рассматривается континуум возможных будущих цен акций на основе нормального (Гауссова) распределения. Дилеры, ежедневно работающие по обмену опционов, до сих пор используют эту формулу, осуществляя свои торговые сделки. Броуновское движение математически более легко поддается управлению, чем какое-либо другое. Но, к сожалению, оно дает чрезвычайно слабое приближение к финансовой реальности. С конца 1980-х годов мы наблюдаем финансовые крахи и турбулентности, значительно отклоняющиеся от нормального распределения. Инвестиционные портфели обвалились, а хеджирование опционами по формуле Блэка-Шолса провалилось.

С точки зрения динамических систем, паттерны анализа временных рядов проиллюстрировали провал традиционной финансовой теории. Тогда как запись изменений в ходе Броуновского движения выглядит как некая «трава» нормальной высоты, запись реальных изменений цен выглядит как нерегулярное чередование спокойных периодов и взрывов волативности, которые заметно выделяются на фоне нормальной высоты травы. Это свойство демонстрирует очевидную неустойчивость лежащих в основе этих процессов правил. Более того, нарушения непрерывности появляются как острые пики от нормально распределенной Гауссовой «травы». Эти пики не изолированы друг от друга, а связаны в пучки. Здесь можно наблюдать циклическое (но не периодическое) поведение. Нестабильность взятых в качестве примера колебаний выражается в распределении изменений цен, имеющем длинные хвосты. И последнее по перечислению, но не по значимости, существует долговременная зависимость данных. Финансовые рынки демонстрируют некоторые свойства, подобные турбулентности жидкости . Также как и флуктуации при турбулентном движении жидкости, финансовые флуктуации демонстрируют свойство перемежаемости во всех масштабах. При турбулентности в жидкости каскады потока энергии, как известно, происходят в разных масштабах: и в большом масштабе вливания, и в малых масштабах диссипации. Если мы применяем нелинейный и фрактальный подход к финансовой системе, то случайность больше нельзя ограничивать «нормальным» Гауссовым распределением изменений цен. Не-Гауссовы распределения, такие, как распределения Леви и Парето, больше подходят для описания дикой турбулентности финансовых рынков сегодня. Мы должны рассматривать степени случайности [ Имада 2005].

Гауссово распределение соответствует паттерну временного ряда с «нормальной» высотой «травы» без экстремальных пиков. Поэтому оно связывается с мягкой случайностью, которую можно сравнить с твердым состоянием скопления вещества с низкой энергией, стабильной структурой и определенным объемом. Дикая случайность похожа на газообразное состояние вещества с высокой энергией, слабо выраженной структурой и не имеющее определенного объема [Майнцер 2007 б ]. Тихая случайность означает жидкое состояние между газообразным и твердым состояниями. С точки зрения временных рядов мягкая случайность соответствует краткосрочной и долговременной равномерности. Тихая случайность соответствует краткосрочной концентрации и долговременной равномерности. Дикая случайность соответствует кратковременной и долговременной концентрации. Рациональность человеческого решения ограничена дикой случайностью рынков. Человеческие когнитивные способности ошеломлены сложностью нелинейных систем, которыми они вынуждены управлять.