Данная работа выполнена в рамках проекта РФФИ №15-01-07944-а «Разработка алгоритмов и
математических моделей для анализа и прогноза процессов развития и
самоорганизации в социально-экономических системах».

1. Введение

Вопрос о самоорганизации рыночной экономики в самодостаточной (то есть обеспеченной собственными ресурсами) стране является сейчас одним из актуальных в макроэкономике. Это вопрос – часть более общей проблемы, касающейся взаимодействия нескольких стран с различной экономикой. Он обсуждался многократно в работах классиков [1], с ним cвязаны направления макроэкономической теории: монетаристское [2], кейнсианское [3], концепция Ларуша [4].

Полная экономическая изоляция любой страны в современных условиях невозможна. Однако, место страны в мировой экономике может быть различно: от сырьевого придатка до развитой страны, диктующей свои условия партнерам. Для достижения этой цели необходимо знать динамику вхождения в мировой рынок и оценить оптимальную степень экономической открытости на каждом этапе; слишком поспешное вхождение в него может привести к плачевному результату.

Общество – сложная динамическая система. Результаты его эволюции зависят от многих составляющих, среди которых важную роль играет то, каковы условия функционирования экономических субъектов: свободный ли это рынок или рынок с элементами государственного регулирования, авторитарная это система или какая-то их смесь. Но даже если конкретные условия (тип экономики) заданы и, скажем, одинаковы у двух стран, конечные результаты их развития могут оказаться прямо противоположными. Решающая роль в определении результата эволюции, при прочих равных условиях, принадлежит уровню экономического развития общества. Косвенным подтверждение этого может служить наличие множества различных моделей, призванных описать поведение общества, и дающих прямо противоположные друг другу результаты. На самом деле между этими моделями нет противоречия, просто они описывают поведение одной и той же сложной системы (рыночная экономика) в разных состояниях и делают это без учета динамического поведения общества и его структуры.

Для решения данной проблемы необходимо опираться на математическую модель динамики процесса. Такой подход развивался за рубежом [5], но затем интерес к нему ослабел. Сейчас он активно развивается в России и представлен в монографиях [6, 7].

Данное исследование предполагает построение математической модели эволюции общества, включающей процессы его взаимодействия с «окружающей средой» (мировой рынок) и воспроизводящей кризисные явления в случае неблагоприятного развития. Исследование предполагается разбить на два этапа:

I) Построение модели автономной экономики страны с достаточными ресурсами (сырьевыми и трудовыми) – так называемое закрытое общество.

II) Построение модели, учитывающей экономические связи как с более развитыми, так и с менее развитыми странами.

Во всех моделях необходимым элементом должно быть описание не только стационарных состояний, но и переходных процессов, которые сейчас являются наиболее актуальными, поскольку именно с ними связано поведение государств, испытывающих кризис.

В предлагаемом сообщении мы обсудим только первый этап сформулированной выше программы. Мы обратим внимание на два обстоятельства, которые, как нам кажется, могут играть важную роль в формировании кризисных процессов.

Во-первых, в большинстве современных экономических моделей, претендующих на количественное описание, явно или неявно предполагается существование единственного устойчивого равновесного состояния, при отклонении от которого, общество возвращается к нему под влиянием рыночных процессов или регулирования. При этом не учитывается тот факт, что в реальном рыночном обществе могут существовать несколько равновесных состояний с различными экономическими показателями. Среди них могут быть и неблагополучные. Последние получили название «институциональные ловушки» [8]. Отметим, что классики экономики хорошо понимали это обстоятельство, хотя и не могли описать его на математическом языке [9], однако затем оно было забыто, интерес к нему появился лишь в последнее время. Выведение общества из одного состояния устойчивого равновесия может перевести его в такую область, откуда оно будет стремиться к другому равновесному состоянию. Более того даже плавное изменение макроэкономических показателей общества может приводить к тому, что прежнее равновесное состояние исчезнет и тогда общество заведомо будет стремиться к другой точке равновесия, находящейся может быть очень далеко от предыдущей. В обоих случаях такие, внешне кажущиеся неожиданными, процессы воспринимались бы как кризис или «экономическое чудо».

Во-вторых, как показано в целом ряде работ [10], на динамическое поведение общества существенное влияние оказывает экономическая структура общества (ЭСО). Под ЭСО мы понимаем распределение элементов общества (семей) по ликвидным накоплениям. Она играет важную роль в балансе спроса и предложения на товары, услуги, финансы и т. д. Соотношение спроса и предложения зависит от покупательной способности накоплений элементов общества, а оно по этому показателю в значительной степени неоднородно и должно описываться распределением. В традиционных макроэкономических моделях на количественном уровне как правило рассматривается только одна группа потребителей и одна группа производителей, формирующих спрос и предложение. Пересечение соответствующих кривых, например, в координатах цена-объем, определяет значение равновесной величины макроэкономического показателя. Такой подход фактически означает замену рассмотрения распределенных величин спроса и предложения на рассмотрение соответствующих средних. Эта замена с математической точки зрения правомерна для распределений близких к нормальному и вблизи положения равновесия. Если система находится вдали от точки равновесия или распределение существенно отличается от нормального, например, является двугорбым как в современной России, ограничение рассмотрения только анализом средних величин может привести к неверным значениям макроэкономических показателей, отличающимся на порядки величин от действительных, а динамика поведения реального общества может качественно отличаться от модельного.

Два приведенных выше замечания особенно важны для обществ, находящихся в состоянии кризиса и/или реформирования, поскольку именно в эти периоды макроэкономические показатели претерпевают значительные изменения, а имущественное расслоение общества увеличивается. Примером такого общества является, в частности, Россия.

В настоящей работе мы рассмотрим нелинейную динамическую модель, учитывающую ЭСО, которая, как уже говорилось, существенно влияет на динамическое поведение общества: объем производства и потребления товаров, уровень цен и т. д. До сих пор были рассмотрены только незамкнутые варианты модели, в которых не учитывалось влияние производства и товарооборота на ЭСО [10]. В данной работе мы рассмотрим простейшую модель, в которой только через механизм взаимодействия спроса и предложения учитывается как прямая так и обратная связь процессов производства-потребления и ЭСО. Такая модель позволяет ответить на следующие вопросы:

1) Существует ли стационарное состояние общества, если существует, то единственно ли оно, и при каких условиях устойчиво.

2) Какова стационарная структура общества (унимодальна или бимодальна), как она зависит от продуктивности и как последняя зависит от нее.

В данной работе мы рассмотрим вариант закрытого общества, в котором экспорт и импорт товара отсутствует.

2. Основные положения модели.

1) Рассматривается производство и потребление одного продукта (так называемое однопродуктовое приближение). Его можно рассматривать как стандартную совокупность товаров, в которой коэффициенты предпочтения зафиксированы и одинаковы для всех слоев общества. Отметим, что в ситуации, когда ЭСО стабильна, это заведомо не соблюдается. Однако этот эффект мы пока учитывать не будем.

При этом в процессе обмена деньги фактически жестко связаны с продуктом, поэтому экономические показатели такие как прибыль, объем производства и потребления и т. п. можно исчислять как в денежных, так и в натуральных (штуках, килограммах и т. д.) единицах. Действительно, деньги, как универсальный товар, играют особую роль только, если число различных товаров велико. В этом случае прямой обмен приводит к проблеме факториальной сложности, для преодоления которой, собственно, и были введены деньги. В процессе же потребления роль денег и товаров различается т. к. потребление товаров приводит, а потребление денег не приводит, к их выбыванию из обращения.

Цену продукта в дальнейшем будем обозначать р.

2) Рассматривается общество, состоящее из двух групп

I. Производители (работники), число которых обозначим n’), работающие на предприятиях собственников. В их число мы включим не только непосредственных производителей, но также обслуживающий персонал и служащих, занятых в инфраструктуре, охране и поддержании стабильности всего общества. Все они объеденены тем, что их доход – зарплата Pn, отличная от доходов второй группы.

II. Организаторы (они же «собственники» или «владельцы»), число которых обозначим m’, получающие доход от продажи произведенного на их предприятиях товара и выплачивающие зарплату Pn членам первой группы. Доходы «собственников» обозначим Pm. В их число включены также «посредники» и торговцы, живущие за счет прибыли, но не зарплаты.

Накопления семей первой и второй групп обозначим Un’ и Um’, соответственно.

Доходы и накопления членов разных групп различны, но внутри каждой группы будем считать их одинаковыми.

В такой модели ЭСО представляется в виде двух узких пиков (горбов). Реально горбы размыты и если расстояние между ними больше их ширины, то ЭСО бимодально. Если горбы близки, то общество практически унимодально.

В модели структура общества зависит от двух параметров: относительной численности σ=n/m и отношения доходов D=Pm/Pn (или накоплений Um/Un). Последнее отражает относительное расстояние между горбами то есть модальность общества.

3) Примем, что необходимые для производства ресурсы (полезные ископаемые, посевные площади и т. п.) находятся в избытке. При этом можно считать, что «безработные» в обществе отсутствуют. Действительно, при наличии таковых всегда можно образовать «колонию» на резервных площадях и там организовать производство, аналогичное таковому в метрополии.

Отсюда следует, что рынок труда в модели фактически отсутствует. При этом численности n’ и m’ определяются не балансом на рынке труда, а экономической целесообразностью, зависящей от уровня технологии производства и его организации. Далее это отношение будем считать заданным.

4) Будем считать, что объем денег в обществе равен М, а количество семей равно N, причем числа M и N фиксированы. Т. о. справедливы «законы сохранения» людей (n’ + m’ = N) и денег (n’U_n + m’U_m = М). Далее удобно использовать относительные численности: n = n’/N и m = m’/N, и относительные накопления (покупательные способности накоплений): r_n = U_n/p и r_m = U_m/p. Тогда законы сохранения можно представить в виде:

где  – средние накопления и  – относительные средние накопления.

5) В дальнейшем важную роль будет играть функция производства , то есть количество продукта (в естественных единицах, например, в штуках), производимое в обществе в единицу времени. Оно зависит от числа производителей Nn и от капиталовложений S. В нашей модели функция производства обладает следующими свойствами:

I) Она пропорциональна числу производителей, то есть

Здесь F(S) – удельная производительность труда, т. е. выработка, приходящаяся на одного работника в единицу времени.

II) Капиталовложения (производственные затраты) зависят от накоплений в обществе. В первую очередь их делают «владельцы» и их объем зависит от накоплений r_m Накопления «служащих» также могут быть использованы для инвестиций через банковскую систему. В этом случае доходы последних, помимо зарплаты, включают проценты по вкладу. Однако, в данной работе мы не будем учитывать эту взаимосвязь, то есть примем, что банковская система и рынок денег отсутствуют. * Далее будем инвестиции исчислять в реальных единицах и считать, что они зависят от реальных накоплений r_m. С ростом накоплений вложения увеличиваются. Примем в первом приближении, что вложения пропорциональны накоплениям.

В однопродуктовой модели все затраты владельцев в конце концов идут на зарплату «рабочих». К ним относятся непосредственные участники производства, ремонтные рабочие, а также все рабочие и служащие бюджетной сферы (транспорт, правоохранительные органы и т. д.). Далее будем считать, что их зарплата одинакова и соотношения их численностей заданы.

III) Производительность труда растет с ростом затрат, но не может быть больше некоторой величины Fmax, определяемой уровнем техники. Примем, что производственная функция имеет кусочно-линейный характер

Здесь r_cr = F_max/g – величина накоплений, выше которой прямые вложения в производство не приводят к росту выпуска товара.

IV) Капиталовложения S в нашей модели пропорциональны объему производства S = n∙s = n/b∙F. Здесь s – капиталовложения (в штуках товара), приходящиеся на одного работника в единицу времени. Коэффициент b>1 отражает уровень рентабельности, равный (b-1)∙100 %.

6) Функцию потребления продукта обозначим Q(p,U). Здесь U – накопления семьи, а Q – количество продукта, приобретаемого за цену p при накоплениях U в единицу времени. В силу масштабной инвариантности функция Q(p,U) зависит от отношения r=U/p, т. е. от покупательной способности накоплений.

В нашей модели функция потребления Q(r) зависит от трех параметров, качественно характеризующих ее поведение. Она ограничена сверху максимальными потребностями в продукте в единицу времени: Q(r) < Q₀. Другой важный параметр – положение точки перегиба. По смыслу этот параметр задает отношение накоплений к цене, при котором люди начинают активно приобретать товар. Третий параметр – ширина переходной области, где люди приобретают товар, но не могут удовлетворить свои потребности в нем полностью. Мы представим Q(r) в форме

Положение точки перегиба определяется параметром r₀, а ширина переходной области зависит от параметра ν.

При ν = 1 функция Q(r) всюду выпукла, что характерно для товаров первой необходимости. При ν ≥ 2 функция потребления имеет сигмоидную форму, что характерно для промышленных товаров долговременного пользования. При ν >> 1 ширина переходной области стремится к нулю и функция приобретает пороговый характер. В расчетах, приведенных в данной работе, мы приняли ν = 2.

Кроме основной зависимости, описываемой формулой (4) мы учтем наличие товаров различного качества и возникающее по этой причине возрастание потребностей при росте накоплений, введя дополнительный член ε∙r. Таким образом

7) Зарплата P_n в натуральных единицах, которую производители получают от «владельцев» в единицу времени, зависит от капиталовложений. В силу сохранения общего объема денег, ее величина равна капиталовложениям. Таким образом P_n = s:

Здесь нами введен параметр h = g/b, который показывает долю накоплений собственников, выделяемую в виде капиталовложений S_v при r_m < r_cr на одного работника в единицу времени. Зарплата в денежном выражении равна P_n∙p.

3. Формулировка модели.

Динамику общества мы будем описывать зависящими от времени переменными. В качестве таковых мы используем:

1) Накопления «служащих» U_n.

2) Количество продуктов, хранящихся на складах. Эту величину мы обозначим R.

3) Цену товара p.

Динамика накоплений U_n определяется балансом доходов и расходов членов первой группы:

Величина U_m не является независимой переменной и определяется из закона сохранения денег (1):

Здесь уместно сделать замечание. Динамика доходов и расходов в натуральных единицах определяется уравнением, отличным от уравнения (6), и имеет вид

откуда получаем

Последнее слагаемое правой части соответствует индексации зарплаты при ценовой инфляции, но без дополнительной эмиссии денег (величину М мы полагаем постоянной). Мы будем считать, что владельцы без принуждения такой индексации не проводят.

Другая независимая переменная – запасы продукта R. Динамика запасов определяется балансом поступлений продуктов на склад и реализацией их на рынке [5]:

Здесь  – количество продуктов, поступающих на рынок в единицу времени; γ – безразмерный коэффициент, характеризующий быстроту отслеживания складом ситуации на рынке.

Третьей независимой переменной является цена p. Динамика цены определяется балансом спроса и предложения:

Здесь  – дисбаланс предложения и спроса. Величина N∙[nQ(r_n) + mQ(r_m)] представляет собой платежеспособный спрос и  – объем предложения. Обе величины выражены в естественных единицах товара, потребляемого или предлагаемого в единицу времени, которая соответствует времени потребления (или амортизации) товара τ_q. Обычно таковым считается год, что в случае производства сельхозпродукции оправдано. Изменение цены в единицу времени выражается в рублях за единицу товара и за характерное время установления рыночного равновесия τ_p. Последняя заметно меньше времени цикла потребления.

Коэффициент α содержит отношение времен τ_p/τ_q и имеет размерность (единица товара)^-2∙руб. Его можно представить как комбинацию величин:

Здесь p₀ – эффективная цена, Q₀ потребление в единицу времени, α’ – безразмерный параметр порядка единицы.

Сделаем несколько замечаний.

I) В (10) принято, что динамика цен пропорциональна дисбалансу спроса и предложения. В действительности зависимость может быть более сложной, но она должна быть нечетной по дисбалансу так, чтобы знак дисбаланса совпадал со знаком производной. В (10) выбран один из простейших вариантов.

II) В (10) дисбаланс выражен в естественных единицах. Возможен вариант, когда цены реагируют на дисбаланс в денежном выражении, Тогда (10) примет вид

В обоих случаях стационарные состояния соответствуют условию dis=0 и топологическая структура решений модели будет одна и та же, но динамика стремления к стационарному состоянию будет несколько различаться. В данной работе мы ограничимся моделью (10).

Далее будем считать, что ситуация на рынке отслеживается складом достаточно быстро (т. е. γ >> 1). Тогда переменная R быстро приходит к своему стационарному значению и на основе теоремы Тихонова уравнение (9) можно заменить соотношением . В этом приближении конкретный вид функции  уже не важен. Уравнение (10) при этом примет вид

Обсудим смысл уравнений (6) и (11).

Уравнение (6) показывает, что спрос производителей удовлетворяется в соответствии с их запросами nQ(r_n). В уравнении (7) с другой стороны видно, что и запросы собственников удовлетворяются полностью в соответствии с их накоплениями. Таким образом в нашей модели платежеспособный спрос потребителей на товары всегда удовлетворяется.

В рассматриваемом варианте модели производственная функция при малых накоплениях собственников пропорциональна r_m. Это означает, что собственники выделяют средства на производство при любой (даже самой малой) величине накоплений. Более последовательной была бы модель, в которой выделение средств на производство происходит только при r_m > r_cr > 0. При r_m < r_cr в этой модели могло бы происходить уменьшение расходов за счет их полного прекращения.

Связь уравнения (9) с другими моделями установления цены (основанными на принципе максимума прибыли) мы обсудим ниже.

Для дальнейшего рассмотрения удобно ввести безразмерные переменные:

Здесь . (Далее штрихи опустим, то есть будем считать, что r₀ = 1 и Q₀ = 1).

Величины r_n и r_m согласно (1), (7) и (12) зависят от х и у:

Уравнения (6) и (10) в переменных х и у принимают вид:

Рассмотрим сперва стационарные состояния в которых dx/dt=0, (dU_n/dt=0) и dy/dt=0; (dp/dt=0). Это удобнее сделать в переменных r_n и r_m. При r_m <r_cr, согласно (7) и (12): h∙r_m =Q(r_n) и nQ(r_n) + mQ(r_m) = ngr_m откуда следует, что стационарные значения переменной rm удовлетворяют уравнению n(g-h) r_m = mQ(r_m) или

Q(r_m) = qr_m      (16)

где q = n/m(g-h).

Решениями уравнения (16) являются точки пересечения функции Q(r_m) и прямой линии qr_m. Эти точки приведены на рисунке 1, где обозначены как r_m,1 и r_m,2, соответственно. Отметим, что состояние rm,1 устойчиво, а состояние r_m,2 – неустойчиво. Значение q = 0,5 в (16) является бифуркационным: при этом значении q прямая qr_m касается кривой Q(r_m).

При r_m > r_cr условие стационарности приводит к уравнению (17):

Q(r_m) = n/m∙F_max(1-b^-1)      (17)

Это уравнение дает третью точку пересечения, обозначенную на рисунке 1 как r_m,3.

Наконец, точке r_m =0 тоже соответствует стационарное состояние, в котором отсутствуют как производство, так и потребление товара; иными словами, это состояние – глубокий кризис общества. К счастью, оно неустойчиво.

В зависимости от значений параметров (точнее, от их комбинаций) возможны следующие варианты, представленные на рисунке 1.

I. При 0 < n/m(g-h) < 0,5 существует устойчивое состояние типа r_m,1, при котором потребности удовлетворены далеко не полностью.

II. При n/m(g-h)r_cr > Q(r_cr) существует устойчивое состояние типа r_m,3, при котором потребности владельцев удовлетворены практически полностью. Знак равенства в этом выражении соответствует точке бифуркации. При этом точка пересечения прямых в правых частях выражений (16) и (17) лежит на кривой Q(r_m). Так как величина rcr обычно достаточно велика, Q(r_cr) в вышеприведенном неравенстве можно приближенно заменить на 1. Тогда условие существования устойчивого состояния типа r_m,3 запишется в виде n/m(g-h) > 1/r_cr.

III. При выполнении обоих неравенств: 0,5 > n/m(g-h) > 1/r_cr, существуют устойчивые состояния обоих типов.

Таким образом в системе уравнений (14), (15) возможны бифуркации (внезапное исчезновение одного из устойчивых состояний) двух типов и два бифуркационных параметра: F_max и q =  n/m(g-h).

4. Физический смысл параметров

Модель содержит параметры разных типов. Параметры, входящие в функцию спроса Q(r) (то есть Q₀, r₀, и ν), определяются физическими потребностями, обычаями, сложившимися в обществе и другими факторами, неподвласными воле «владельцев». Производительность труда F(r_m) содержит параметры g и F_max, которые определяются уровнем техники и организации производства. Точнее, производительность труда зависит не только от капиталовложений (hr_m), но и от соотношения числа производителей n и владельцев m (организация производства). Избыток (или недостаток) как тех так и других вредит производству. Это значит, что функция F(gr_m,σ) имеет максимум при оптимальном отношении σ = n/m. Мы будем полагать, что в рассматриваемом обществе этот оптимум достигнут и, следовательно, параметр σ постоянен. Его конкретное значение может быть различным в разных обществах.

Общая численность производителей и владельцев m + n = N зависит от наличия ресурсов. При достаточном количестве ресурсов в закрытом обществе имеет место практически полная занятость, то есть N – полное число людей в обществе, что и предположено в модели. Если ресурсы ограничены, то в производстве могут участвовать не все люди. В этом случае необходимо в модель ввести третью категорию людей, живущих на пособие и не принимающих участие в производстве. Последняя зависит от «владельцев», однако, мы будем полагать, что в этом отношении они уже достигли оптимума и далее изменять его уже не имеет смысла.

Для динамики важно соотношение скоростей изменения переменных x и y. Характерное время изменения накоплений порядка времени потребления продукта (или, что то же, времени его износа); оно порядка τ_x = r₀ /Q₀. Уравнение (114) описывает процессы в семье и поэтому не зависит от числа людей N. Уравнение для y описывает установление цены во всем обществе и зависит от соотношения полных объемов производства и потребления. Поэтому правая часть пропорциональна числу N >>1. Это означает, что в большом обществе даже при малой разнице удельного спроса и предложения образуется большой дефицит (или избыток) продукта в целом.

Таким образом, в распоряжении «владельцев» остается параметр h, которым они и могут манипулировать для достижения своих целей (максимизация прибыли, максимизация накоплений и др.)

Цена p в модели не является параметром, а играет роль динамической переменной. Это означает, что назначать цену произвольно «владельцы» фактически не могут (даже «сговорившись», как в монопольном обществе), но должны считаться с наличием платежеспособного спроса и возможностями производства. Тем не менее, они могут влиять на цену косвенно, изменяя параметры, например, уровень зарплаты (h). В определенных условиях это равносильно изменению цен.

Следует отметить, что в силу простоты модели ее параметры носят аггрегированный характер. При непосредственном сравнении их смысла со смыслом величин, характеризующих реальное общество, может оказаться, что параметр модели одновременно отражает величины, являющиеся разнородными и участвующие в разных сферах.

5. Динамика процессов

Диаграмма рисунка 1 не дает ответа на вопрос о поведении системы в нестационарных условиях. Для ответа на этот вопрос удобнее использовать переменные x и y и динамические уравнения (14) и (15).

На рисунке 2 приведен фазовый портрет в случае, когда параметры соответствуют варианту III. Видно, что имеются два устойчивых состояния 1 и 3, состояние 2 неустойчиво. Фазовая плоскость разделена сепаратрисой (жирный пунктир). Значения параметров и основные свойства стационарных состояний приведены на рисунках.

На рисунке 2 в состоянии 1 потребности как «рабочих» так и «владельцев» удовлетворены на низком уровне (Q(r_n) = 0,05, Q(r_m)=0,3). В состоянии 3 потребности удовлетворены полностью. Поляризация общества (величина D) не велика. Из этого примера следует, что при одинаковых условиях (параметрах модели) можно попасть как в благополучный режим (состояние 3), так и в близкий к кризисному (состояние 1). Результат зависит от начальных условий и от управляющих воздействий на систему на пути ее движения по траектории (последние изображены бледным пунктиром). Управляющие воздействия могут быть как параметрическими (временное изменение параметров) так и силовыми (изменения накоплений и/или цен за счет внешних факторов).

5.1 «Целевые функции владельцев».

При фиксированных параметрах h, b и F_max эволюция общества под управлением уравнений (14) и (15) происходит автоматически. Участники рынка не влияют на этот процесс, в частности у них отсутствует цель, преследуя которую они могли бы делать выбор среди разных потенциально возможных путей развития общества. В реальности же поведение участников рынка может опираться не только на текущие величины спроса и предложения, учтенные в (14) и (15), но и на ожидания, связанные с будущими величинами прибыли (краткосрочные цели), накоплений (долгосрочные цели) или с чем-то иным. Рассмотрим в связи с этим несколько вариантов реализации целевых функций собственников, анализ которых на качественном уровне возможен в рамках нашей модели.

1. Целевая функция – максимизация прибыли в натуральном выражении (дальновидная стратегия).

В равновесном состоянии прибыль собственников определяется разностью между средствами, полученными от реализации произведенной продукции, и затратами на ее изготовление:

mП1 = mQ(r_m) + nQ(r_n) – nP_n      (18)

В стационарном состоянии согласно условию dx/dt=0 последние два слагаемые дают нулевой вклад. Поэтому прибыль будет равна расходам собственников на собственное потребление П₁ = Q(r_m), а ее максимизация соответствует максимизации стационарного значения накоплений r_m как функции управляющих параметров.

В стационарном состоянии 1 величину r_m можно выразить в виде

Для достижения цели необходимо изменять параметры b, и h так, чтобы увеличить q. Накопления «рабочих» в состоянии 1 равны

Видно, что они также возрастают с ростом r_m, то есть дальновидные интересы «владельцев» и «рабочих» совпадают. Максимальное значение rm в состоянии (1) достигается при q = 0,5. Однако при этом состояние (1) исчезает и общество само устремляется к состоянию (3) и благосостояние всех слоев общества быстро возрастает. Такая бифуркация воспринимается как «экономическое чудо».

В состоянии 3 r_m хотя и велико, но Q(r_m) ≈ ε∙r_m, где величина ε << 1. Поэтому небольшое изменение параметров мало влияет на величину прибыли П₁, а приводит в основном к изменению величин издержек в том числе на выплату зарплаты.

2. Целевая функция – максимизация прибыли в денежном выражении (монетаристская стратегия). В этом случае прибыль равна величине прибыли П₁, умноженной на цену: П₂ = П₁y. Из (13) и (18) можно получить выражение

С учетом (19) можно показать, что в состоянии 1 максимальная величина П₂ достигается при некотором значении r_m в интервале 0 < r_m < 1/h’. Выражение для этого значения довольно громоздко и мы его здесь не приводим.

В состоянии 3 в приближении Q(r_m) ≈ ε∙r_m накопления можно записать в виде

В этом случае также существует конечная величина r_m, максимизирующая величину П₂. Ее значение равно единственному действительному корню уравнения r_m³ - r_m - 2B = 0:

Здесь B = nr_n/m. Таким образом собственники могут максимизировать величину П₂ подбирая параметр b в соответствии с (21). Так как величина r_n зависит только от F_max действия собственников в этом случае не влияют на величину накоплений рабочих.

Следует отметить, что фазовый портрет в случае оптимизированных стационарных состояний ничем не отличается от случаев с неоптимизированными состояниями. Более того на рис. 2 в точке 3 реализуется максимум П₂.

3. Целевая функция – социальный комфорт в обществе. Под социальным комфортом общества будем понимать отсутствие дифференциации общества по накоплениям. Будем характеризовать его отношением П₃ = r_n/r_m.

В состоянии 1 в соответствии с (19) имеем

Это выражение имеет минимум П₃ = 2h при r_m = 0,5/h и неограниченно растет при r_m стремящемся к 0 и к 1/h. Однако, так как в состоянии 1 r_m < 1 и h < 1, минимум и второй предел не реализуются. Оптимальная величина П₃ = 1 достигается при выполнении равенства h = q.

В состоянии 3 величина П3 определяется отношением выражений в (21). Так как в этом случае rn не зависит от управляющих параметров h и b, оптимизация целевой функции может быть осуществлена только за счет изменения rm. Из (21) следует, что уменьшении (увеличении) b целевая функция П3 увеличивается (уменьшается), а от параметра h она не зависит. Значение П3=1 достигается при выполнении равенства

Таким образом регулируя управляющие параметры собственники могут добиваться реализации экстремума той или иной целевой функции.

Изложенное можно прокомментировать следующим образом. Цель – максимизация прибыли в денежном выражении, представляется более естественной, но менее дальновидной. Если преобладает эта цель, то неблагополучное состояние (1) устойчиво по отношению к вариации параметров, следовательно, общество может пребывать в нем достаточно долго. Поляризация при этом не велика и социальный дискомфорт отсутствует.

Цель – максимизация прибыли в реальном выражении более дальновидная. Для достижения этой цели необходимо увеличивать параметр b, за счет уменьшения h, либо за счет увеличения g. И то, и другое сводится к увеличению затрат на производство. При этом реальные накопления обеих групп растут, но денежные доходы падают. Последнее создает препятствие, хотя и чисто психологическое. При движении к этой цели состояние (1) может стать неустойчивым и тогда общество быстро перейдет в область более благополучного состояния (3). Такой скачок воспринимается как очередное «экономическое чудо», а руководители государства этого периода как «благодетели нации».

5.2 Гистерезисное свойство модели.

Рассмотрим еще одно интересное свойство модели. На рисунке 3а приведена ситуация, при которой остается только одно устойчивое состояние 3. Оно сравнительно благополучно и поляризация не велика (D=6,16). На рисунке 3б приведена противоположная ситуация, когда существует только устойчивое состояние 1. Оба варианта отличаются друг от друга только значением параметра b. Таким образом изменение только этого параметра может в корне изменить состояние общества. Для иллюстрации этого на рисунке 4а показана зависимость r_m – одного из показателей общества, от величины b. Подчеркнем, что эта зависимость в нашей модели носит характер гистерезиса. Так, если в обществе, находящемся в состоянии 3 (Рис. 3а, b > 2,5), происходит уменьшение параметра b, то его показатели будут плавно изменяться вплоть до величины b = 2,5 (точка а на Рис. 4а). При дальнейшем уменьшении b устойчивое состояние 3 исчезнет и общество скачком (то есть за время τ) перейдет в состоянии 1 с очень низкими показателями (произойдет кризис или катастрофа, если выражаться на математическом языке). Далее его показатели будут снова плавно изменяться. С другой стороны, если в обществе, вначале находящемся в неблагополучном состоянии 1 (b < 3,6), производить увеличение b, оно будет плавно изменять свои показатели до величины b = 3,6 (точка б на Рис. 4а), где состояние 1 исчезнет, а затем скачком перейдет в благополучное состояние 3. Аналогичное поведение модель демонстрирует и при изменении параметра h, что иллюстрируется рисунком 4б.

Комментируя рисунки 4 а, б на качественном уровне, можно сказать, что уменьшение рентабельности b и переменных затрат h до определенных пределов приводят к скачкообразному переходу от благополучного состояния к неблагополучному. При обратном направлении изменения параметров происходит скачок в обратном направлении. При этом в несколько раз изменяются макроскопические показатели общества.

Иным является поведение показателей общества как функций параметра F_max (рисунок 4в), изменение которого не влияет на положение состояния 1. Это видно их того, что в уравнение (16), определяющее условия существования состояния 1, этот параметр не входит. В то же время F_max влияет на состояние 3 и его изменение может приводить к появления (при увеличении) или исчезновению (при уменьшении) этого состояния, однако в данном варианте нашей модели зависимость от параметра F_max не носит гистерезисного характера. Так, если параметрами модели допускается существование обоих состояний 1 и 3 и общество при этом вначале находится в благополучном состоянии 3, то при снижении уровня производства F_max до некоторой величины устойчивое состояние 3 исчезнет и произойдет скачкообразный переход в неблагополучное состояние 1. Однако, если двигаться в обратном направлении, увеличивая F_max, перехода обратно в благополучное состояние не произойдет, так как состояние 1 никогда не исчезнет при изменении только F_max.

5.3 Влияние денежной эмиссии на состояние общества

До сих пор мы рассматривали влияние параметрического воздействия на систему. Обсудим теперь на качественном уровне возможность силового управляющего воздействия на примере денежной эмиссии. Рассмотрим общество, имеющее два устойчивых состояния 1 и 3 и находящееся в состоянии 1. Поставим перед собой цель: перевести общество в состояние 3. Для этого необходимо произвести действия, при которых начальное состояние общества оказалось бы ниже сепаратрисы в плоскости X-Y. Попробуем добиться этого с помощью денежной эмиссии. Допустим, что количество денег в обществе меняется с М до М’, причем М’>М. В соответствии с (1) это означает увеличение размера средних накоплений  в W=M’/M раз. Дальнейшая реакция системы зависит от направленности эмиссии, то есть от ее адресности.