Глава из книги «Синергетика и информация»

Сама по себе мысль о том, что проблемы нужно решать в динамике, разумеется, не нова. Человечество уже более двух тысяч лет знает, что “все течет и все изменяется”. Важно и ново другое — синергетика позволяет задать вопрос: как течет и когда и как изменяется. Ответ на этот вопрос часто оказывается решением проблемы. В результате появляется надежда построить единую картину мира и не словесную, а на языке точных наук

Тем не менее, автор решился поделиться с читателем некоторыми соображениями, вытекающими из синергетического подхода к науке и жизни. На этот шаг автора вдохновили книги И. Пригожина, и И Стенгерс [1], С.П. Курдюмова и Е.Н. Князевой, [2] Б.Б. Кадомцева, [3] работы Н.Н. Моисеева [4] и ряда других представителей точных наук.. Из этих работ следует, что настало время философского осмысления достижений современной науки [1] . Тому же посвящено фундаментальное исследование В.С. Стёпина [5]. В нем подчеркнуто и другое: не только достижения естественных наук влияли на мировоззрение, но и философия, как наука универсальная, способствовала развитию точных наук. Разумеется, формулировка каждой новой модели (или теории) — акт творчества (генерации ценной информации) и потому не предсказуем. Однако, именно философия создавала эвристическую базу (или тезаурус, или объем рецептируемой информации, сь. гл. 3), которая необходима для творчества. В [5] на примере физических теорий показано, что во всех творческих актах методологические идеи (осознанно или не осознанно) играли большую эвристическую роль.

Многих ученых, в том числе и упомянутых выше, объединяет также стремление познать мир в его развитии как единое целое. Это стремление выражается словами: “всеединство” (термин предложен Флоренским), “универсальный эволюционизм” (термин предложен В.С. Стёпиным) и “редукционизм” (последний популярен преимущественно среди физиков). Смысл этих слов мы детальнее обсудим в следующем разделе.

Из предыдущих глав следует, что автора волнуют те же проблемы, что и в , чем и объясняется появление предлагаемой главы.

В главе практически отсутствуют ссылки (исключение представляют введение и раздел 7,4, в котором речь идет о конкретных вариантах логических схем). Причин тому несколько.

• Во-первых, объем литературы (от Платона и Аристотеля до наших дней) таков, что автор не в силах её обозреть.
• Во-вторых, образованный читатель (ученый) в первую очередь смотрит на список литературы. Если там нет ссылок на его

работы, то отношение ко всему последующему в некотором смысле предопределено. Если ссылки вообще отсутствуют, то это уже не обидно и последующее воспринимается более объективно.

• В третьих, философия — наука гуманитарная и мысли там выражаются словами. Слова можно трактовать расширенно и тогда выясняется, что Платоном и Аристотелем (а ещё раньше в Библии) уже всё сказано и говорить больше не о чем.

Цель — обсудить некоторые проблемы философии в свете достижений синергетики, а также роль философии в становлении синергетики.

Естественные науки всегда оказывали серьезное влияние на мировоззрение отдельных людей и на общество в целом. Это относится не только к гносеологии, но и этике, идеологии и даже религии. Приведем исторические примеры

В античной Греции были созданы основы геометрии и введено понятие доказательства. Потребность в этом диктовалась необходимостью делить земельные участки и доказывать, что они действительно равны. Отсюда и название — геометрия, то есть землемерие.

Задолго до этого в древнем Египте люди тоже умели делить участки и на интуитивном уровне использовали геометрию. Делали это жрецы и вместо доказательства ссылались на волю богов. В Греции боги и жрецы тоже были, но отношение к ним после создания геометрии, как науки, было уже другое.

Аксиомы Эвклида и геометрия в целом оказали очень большое влияние на развитие греческой культуры. Роль последней в античном мире общеизвестна.

То же можно сказать и о достижениях математики и механики в новой истории. Роль работ Декарта, Ньютона, Лейбница и их последователей в точных науках тоже известна. Однако, успехи математики и механики оказали влияние и на другие стороны общественной жизни, в частности на этику.

В двадцатом веке был сделан ряд крупных открытий в физике: теория относительности и квантовая механика. Значение их для физики и техники очевидно. Однако, эти открытия повлияли и на этику и на мировоззрение людей в целом, о чем речь пойдет позже.

В конце двадцатого века возникла синергетика и в её рамках было сделано открытие — теория динамического хаоса.

Это открытие по своему значению не уступает первым двум, а, возможно, и превосходит их. Роль динамического хаоса и неустойчивости в естественных науках уже обсуждалась выше. По существу вся книга посвящена именно этому вопросу. Напомним кратко основные выводы.

Появилась возможность (и даже необходимость) по новому взглянуть на. казалось бы, установившиеся понятия, такие как: причина, следствие, абсолютно замкнутая система, бесконечно большое (малое).

Появился новый объект — странный аттрактор, который, как выяснилось, имеет самое непосредственное отношение к реальной жизни.

Появилось новое понятие — перемешивающий слой, который является необходимым этапом развития живых систем. Выше показано, какую роль он играет при генерации ценной информации, в биологической эволюции, в творчестве и мышлении.

Уже из этого следует, что динамический хаос заслуживает статус великого открытия. Сейчас с этим согласятся отнюдь не все ученые. Это естественно, более того, именно так было и с теорией относительности и с квантовой механикой. Каждый ученый (и, тем более, коллектив ученых) защищает свою информацию, т.е. ту систему аксиом, которую он воспринял и которой владеет. Новая прогностическая информация воспринимается как негативная (ересь, посягательство на и т.п.). Такое поведение естественно для любого носителя информации и ученые не являются исключением. Примеры тому обсуждались выше.

Однако, роль динамического хаоса не ограничивается только естественными науками, в гуманитарных науках его роль не менее важна. Более того, именно динамический хаос может сыграть роль моста между науками, т.е. служить основой для их интеграции. Открытие динамического хаоса может (и должно) повлиять и на мировоззрение в целом, включая философию и этику. Об этом и пойдет речь ниже.

Методология интеграции наук, “всеединство”, “универсальный эволюционизм” и “физический редукционизм”

По смыслу эти термины близки, но употребляются в разных научных социях.

Всеединство — стремление понять и представить в рамках единого подхода все явления природы. Речь идет об объединении наук точных (физика, химия), естественных (биология) и гуманитарных. В этом смысле “всеединство — синоним “интеграции”. На языке теории распознавания (см. гл. 6) для интеграции нужно составить множество решающих правил и построить в нем решающее супер-правило. Для этого необходимо использовать код (т.е. язык), на котором, формулируются решающие правила.

В точных науках такой язык уже существует, это современная математика Этот язык сейчас в человеческом обществе уже универсален (т.е. общепринят). Разумеется. он является условной информацией, хотя часто воспринимается как объективная реальность, что иногда приводит к недоразумениям (примеры обсудим ниже). Вопрос: достаточен ли язык современной математики для описания всех явлений природы, является спорным и подлежит обсуждению.

В естественных и гуманитарных науках используется язык слов (вербальный код). В точных науках этот язык тоже, конечно, используется наряду с математическим. Вербальный язык более адекватен интуитивному мышлению, но для точных наук явно недостаточен.

Универсальный эволюционизм преследует туже цель — познать мир, как целое. При этом внимание акцентируется на том, что мир в целом, равно, как и наука о нем, не статичен, но развивается. В биологии и социальных науках это осознано давно. В физике — сравнительно недавно, в связи с исследованиями эволюции Вселенной. В синергетике развитие лежит в основе науки и потому её иногда отождествляют с теорией развивающихся систем.

Законы развития различных систем (Вселенной, биосферы, организма и общества) имеют много общего Эта общность связана с тем, что во всех случаях речь идет о возникновении информации и эволюции её ценности. (чему и посвящены главы 3,4,5). Поэтому формулировка общих законов развития (т.е. универсальный эволюционизм) становится актуальным направлением.

В среде физиков стремление описать все на свете в рамках единой теории (т.е. из “первых принципов”) получило название “физический редукционизм” Оно появилось сравнительно давно. В основе его лежит уверенность в том, что сложные явления природы можно свести к совокупности простых, подчиняющихся фундаментальным законам физики. Подчеркнем, речь идет именно о физике, а не о какой либо другой науке. В этом проявляется известный “физический снобизм” (Здесь следует напомнить о том, что автор сам физик и ничто физической ему не чуждо).

Уравнения Ньютона, Максвелла, Шредингера действительно фундаментальны — в этом уверены все. Достаточны ли они для описания всех явлений природы, начиная от сотворения нашего мира и до появления живых и мыслящих существ — в этом уверены не все. Именно в этом и состоит проблема физического редукционизма.

По этому поводу существуют следующие мнения:

Первая точка зрения состоит в том, что фундаментальные законы физики необходимы и достаточны для описания любого явления природы. Другие естественные науки ( химия, биология) основываются на законах физики и используют их в специальных для данной науки условиях.

Из изложенного в гл. 2 следует, что такой банальный редукционизм действительно не состоятелен. Более того, даже для “вывода” законов термодинамики уже необходима ревизия ряда понятий физики. На эту тему недавно высказались два весьма авторитетных в физике ученых: З.Б. Лафлин и Д. Пайнс. Они опубликовали статью под названием “Теория всего на свете” (“Theory of Everythink”, [6]). В ней показано, что ряд важных явлений (даже в неживой природе) невозможно описать исходя из “первых принципов”. Предложен ряд рецептов того, как обходить трудности. Предложено и новое название этих рецептов — “квантовый протекторат”. На мой взгляд авторам [6] тоже следовало бы “спешиться” и ознакомиться с тем, что уже известно в синергетике и философии. Поэтому, конструктивность рецептов работы [6] может быть подвергнута критике, но критическая часть работы сомнений не вызывает.

Вторая точка зрения в том, что фундаментальные законы физики действительно необходимы, но недостаточны для описания, например, живой природы и их необходимо дополнить. На первый взгляд это мнение противоречиво. Действительно, законы физики формулируются как полная (в математическом смысле) система аксиом. Дополнительные аксиомы приводят к переполнению системы и вступают в противоречие с основными постулатами.

Тем не менее, как показано в главах 3 и 4, именно этот вариант редукционизма может претендовать на описание явлений природы, включая живую. При этом приходится вводить новые понятия, которые в исходной аксиоматике не содержатся. Такое понимание редукционизма далее будем называть “правильным” (термин, разумеется, условен)

Существует мнение, согласно которому сложные явления (например, в живой природе и обществе) вообще не подвластны точным наукам. Это мнение противоречит стремлению познать мир в целом и на мой взгляд оно не верно по существу. Тем не менее, это мнение На первый взгляд кажется правдоподобным.. Действительно, для живых существ такие понятия как: желание, удовольствие, цель (в том числе цель жизни) естественны и осмысленны. С другой стороны точные науки (в том числе физика) до недавнего времени с этими понятиями вообще не имели дела. Однако, как показано в гл.3 и 4, и эти понятия можно сформулировать на языке физики и химии. При этом особенно важную роль начинает играть понятие ценная информация.

Упомянутые три подхода: “всеединство”, “универсальный эволюционизм” и “редукционизм” составляют основу научного мировоззрения.

Кому нужно научное мировоззрение?

Большинство ученых тратят основную часть времени и сил на решение практических задач. Для этой деятельности никакое мировоззрение не нужно.

Однако, часто встают проблемы, которые на первый взгляд кажутся неразрешимыми, обычно они называются парадоксами. Для их решения уверенность в правильности фундаментальных законов физики необходима. Отсутствие её порождает либо гиперскептицизм и робость, либо отсутствие само критицизма. Последнее ведет к фантазиям, не имеющим отношения к науке. Во избежание этого необходимо понимание фундаментальных законов физики и области их применимости, т.е. физический редукционизм в его правильном понимании. Оно же необходим для преподавателей физики. Задача педагога не только в обучении физическим методам, но и в формировании научного мировоззрения. В последнем редукционизм играет одну из главных ролей.

Наконец, научное мировоззрение нужно для всех людей (не только физиков), которые хотят видеть мир как целое, а не как набор отдельных (и часто противоречивых) явлений.

В методологическом плане главный итог книги в следующем.

Интеграция наук на основе научного мировоззрения возможна. Можно построить единую и непротиворечивую картину мира. Однако. для этого необходимо подвергнуть ревизии ряд фундаментальных понятий современной физики и математики и ввести относительно новое и не менее фундаментальное понятие — информация (точнее. ценная информация).

Можно задать вопрос: какое явление природы лежит в основе возникновения информации, что заставило ученых взволноваться? Ответ тоже прост: это явление — неустойчивость. Читатель, прочитавший книгу (а не только введение и заключение), понимает, сколь прочно информация связана с явлением неустойчивости.

На интуитивном и вербальном уровне значение неустойчивости понималось уже давно. В качестве примера часто приводят “Буриданова осла” (его приписывают средневековому философу Жану Буридану (XIV век), хотя в дошедших до нас сочинениях Буридана этот пример отсутствует). Не менее яркие примеры приводились и позже.

Однако, теория устойчивости была заложена лишь в конце прошлого века в работах А.М. Ляпунова, который ввел меру устойчивости — “число Ляпунова” Сперва это теория воспринималась как прикладная инженерная дисциплина. Её фундаментальное (методологическое) значение было осознано значительно позже и, возможно еще не полностью, поскольку дискуссии по этому поводу продолжаются.

Напомним наиболее важные следствия этого явления.

• Ревизия понятия причины. Именно благодаря неустойчивости “причиной” может стать Его Величество Случай. Тому пример — история о том, как муха разбила хрустальную вазу (гл. 2). Случай выступает здесь не как результат незнания предыстории процесса, а как символ истинного незнания, то есть принципиальной невозможности учесть исчезающе малые влияния.

Ревизии подлежит и понятие “абсолютно замкнутой системы”. Оно понималось как предел незамкнутой системы, когда внешние воздействия исчезающе малы. В устойчивых системах такое понимание оправдано. В неустойчивых системах оно теряет смысл, поскольку возмущения нарастают со временем. При этом сама неустойчивость является внутренним свойством системы, но не внешних возмущений.

Напомним, что он же — случай — лежит в основе генерации новой ценной информации (гл. 3).

• Необратимость процессов во времени, или, иными словами, направление “стрелы времени”.

В современной физике фундаментальные законы сохранения связаны с симметрией. Так, сохранение импульса — следствие симметрии пространства, сохранение энергии — симметрии обращения времени. Именно поэтому фундаментальные законы физики формулируются в виде гамильтоновых систем, где обратимость времени гарантирована.

Необратимость времени влечет за собой не сохранение энергии. Последнее противоречит всему тому, что мы знаем о нашем мире.

С другой стороны, необратимость процессов во времени тоже явление фундаментальное и от него тоже нельзя отказаться.

Неустойчивость позволяет разрешить это противоречие, поскольку именно она является “причиной” такого нарушения симметрии времени, которое не нарушает закона сохранения энергии и, вместе с тем позволяет описать диссипативные процессы. При этом энергия разделяется на две части: свободную и связанную. Первая может переходить во вторую и при этом рассеивается (диссипирует), но не исчезает. Связанная энергия может переходить в свободную лишь частично, что и составляет суть второго начала термодинамики.

• Ревизия понятия бесконечно большого (и бесконечно малого) и введение понятия “гугол”. (числа порядка 10100 и большие). Последнее тоже чисто практическое утверждение о том, что физически реализуемые (наблюдаемые) величины такими числами выражаться не могут. Это утверждение, как практическое, сомнений не вызывало.

Фундаментальное значение его было осознано позже, и опять же оказалось, что оно связано с неустойчивостью. Именно, в неустойчивых процессах малые начальные отклонения (меньшие, чем “обратный гугол”) приводят к большим последствиям. Пренебрежение этим фактам ведет к тому, что ряд математически строгих теорем оказывается в противоречии с не менее фундаментальными законами физики (в частности, с вторым началом термодинамики).

• Неустойчивость является непременным условием генерации новой ценной информации. Воспринимать, хранить и передавать информацию можно и в устойчивых процессах. Более того, неустойчивость в этих процессах является только помехой. Однако, создавать ценную информацию можно только в условиях неустойчивости.

Представьте теперь, чего бы стоила теория информации и само понятие “информация”, если бы природа (живая или не живая) не могла создавать новую ценную информацию.

Из изложенного следует, что неустойчивость существенно расширяет наши представления о мире и должно играть фундаментальную роль в том. что мы называем миропониманием или научном мировоззрением. В науке 21-ого века неустойчивость будет играть роль одного из краеугольных камней. Сейчас такая наука зарождается. Название её ещё не устоялось, поэтому используют: “нелинейная динамика”, “нелинейная термодинамика” и “синергетика”. На наш взгляд последнее наиболее удачно, поскольку наименее понятно.

Синергетика и логика

Ревизия понятий в физике и математике влечет за собой и ревизию формальной (математической) логики, поскольку именно она лежит в основе современной математики.

Логику можно рассматривать как алгоритм построения сложного суждения на основе более простых утверждений. Последние считаются заданными и играют роль начальных условий [7,8]. Сейчас предложено несколько вариантов логики, обсудим некоторые из них.

1.Классическая (формальная) логика наиболее популярна. Долгое время она развивалась как наука абстрактная, самодостаточная и прямо не связанная с проблемами насущной жизни. Основные положения её (аксиомы или алгоритмы) были сформулированы ещё в античные времена и с тех пор почти не изменились. Эти алгоритмы возникли как обобщение повседневного опыта, но на этом связь логики с реальной жизнью заканчивалась. Кратко, они сводятся к следующему.

I) Все суждения (или сообщения) разделяются на две группы: “истинные” (в математической логике им ставится в соответствие индекс “1”) и “ложные” (им соответствует индекс “0”). Алгоритм построения сложного суждения формулируется с использованием логических связок “и”, “или” и “не”. Требуется, чтобы сложное суждение тоже было либо “истинным”, либо “ложным” (верным — не верным). Иными словами, на каждый вопрос, сформулированный в рамках аксиоматики (или алгоритма) должен быть получен ответ, причем только один: “да” или “нет” (истинно -ложно, верно — не верно) Это положение известно как аксиома исключенного третьего (tertium non datur). Этим достигается однозначность суждений.

Отсюда следует, что формальная логика имеет дело с дискретным множеством объектов, о которых ставятся вопросы и выносятся суждения. Множество суждений тоже дискретно.

ii) Каждое из суждений является абсолютным, т.е. не зависящим от цели, с которой оно делается, и должно быть доказано, либо опровергнуто. Такой подход носит в себе отзвук божественного происхождения законов природы. Это значит, что на множестве объектов A,B,C, …на вопросы типа: А или не — А, А равно В (или не равно) A>B, A<B и т.п. ответ должен быть однозначным не зависимо от меры сходства или различия. Вообще понятие меры в формальной логике отсутствует.

iii) Все элементы множества равноправны, что в частности относится и к множеству чисел.

В математике наряду с дискретными, рассматриваются и метрические континуальные множества, где вводится понятие меры. Тем не менее, равноправие чисел сохраняется. Например, если два отрезка длинами x1 и x2 отличаются на малую конечную величину Dx << x1,x2, то отрезок Dx можно “растянуть” (т.е. измерить в другом масштабе) и рассматривать как достаточно протяженный. На этом основано утверждение о бесконечной делимости отрезка. Последнее в современной математике играет существенную роль.

Успех формальной логики и построенной на её основе математики в 18-ом веке породил уверенность в том, что иначе и быть не может. В 19-ом и 20-ом столетиях эта уверенность была поколеблена. Более того, выяснилось, что система формальной логики не является полной.

Примеры неоднозначности внутри формальной логики отмечались и ранее и формулировались в виде парадоксов, таких как: парадокс лжеца и проблема буриданова осла. В строгом математическом виде неполнота системы формальной логики была доказана Гёделем.

Далее логика развивалась под давлением двух обстоятельств.

• Во-первых делались (и делаются) попытки сформулировать аксиомы логики, лишенной внутренних противоречий. Эти попытки прямо не связаны с проблемами естественных наук, но могут повлиять на них косвенно.
• Во-вторых, развитие естественных наук требовало уточнения ряда положений логики. Так, В 19-ом столетии выяснилось, что каждое утверждение не может быть абсолютным, но может быть сделано с определенной точностью. Последняя зависит от способа измерения, а в более общем случае, от возможности наблюдения.

Роль, которую сыграли принципы измеримости и наблюдаемости в естественных науках, общеизвестна. Они приблизили логику к реальной жизни, но разрыв ещё остался.

2. В конструктивной логике (см. [9,10] в отличие от классической, каждое утверждение подвергается конструктивной проверке путем измерения или, в более общем случае, наблюдения. Так, в классической логике на вопрос: “А или не — А” всегда должен быть получен однозначный ответ: “да” или “нет”. В конструктивной логике допускается отказ от ответа, если истинность суждения невозможно проверить.

В естественных науках такая ситуация встречается довольно часто. Если утверждение в принципе не наблюдаемо, то оно относится к категории бессодержательных.

3. В последнее время предложена релевантная (уместная) логика [11]. Она отличается от классической тем, что формально правильные, но “неуместные” логические построения в ней “отбраковываются” Благодаря этому удается избежать парадоксов, ведущих к заведомо неверным выводам.

4. В рамках многозначных логик [12] все суждения разделяются не на две, а на большее число групп. В трехзначной логике допустимы три типа ответов: “да”, “нет” и “может быть”. Последний ответ также может быть выражен словами: “не известно”, “утверждение бессмысленно” [13] или “бессодержательно”. Эти варианты отличаются в основном эмоциональной окраской. Так, ответы “не известно” или “может быть” носят субъективный характер (мне не известно, но кому то другому, возможно, известно). Слова “бессмысленно” или “бессодержательно” означают, что это утверждение не может быть доказано (или опровергнуто) в рамках всего человечества (и, возможно, в рамках Вселенной).

Соответственно увеличивается и число символов Далее, устанавливаются правила (алгоритмы) определения символа сложного суждения, если известны символы, входящих в него простых (исходных) суждений

5. Так называемая нечеткая логика (фальш-логика, fuzzy logic, [14,15]) отличается от предыдущих существенно. Каждый объект (или каждое суждение) рассматривается в ней не как эталон, а как ансамбль сходных объектов. Вместо однозначных ответов (“да” — “нет”) используются вероятностные суждения типа: с вероятностью Р — “да” и с вероятностью 1-Р — “нет”. Разумеется при этом вводится мера сходства (или различия) объектов. Привлекательность этой логики в том, что она часто (но не всегда) близка к реальности. Недостаток её в том, что соответствующий ей математический аппарат, развит ещё недостаточно. Точнее, существуют попытки создать аппарат на основе нечетких множеств, но применение его ограничено. Это не удивительно, поскольку современная математика — язык универсальный, люди им овладели и широко используют. Заменить её другой математикой равносильно предложению перейти всем на язык эсперанто.

По поводу всех упомянутых вариантов логики можно сделать ряд замечаний.

Понятие цели, с которой ставится задача в них отсутствует. Неявно предполагается, что любая логическая задача когда ни будь, кому ни будь для чего ни будь пригодится. Это относится как к задачам, которые имеют однозначное логическое решение, так и к задачам, которые его не имеют. Так, например, решение проблемы буриданова осла действительно необходимо для достижения конкретных целей. То же можно сказать и о других парадоксах формальной логики.

Во всех упомянутых вариантах логики рассматривается постановка задачи и ответ (если он существует). В действительности построение суждения (или принятие решения) представляет собой процесс, организованный во времени. Он реализуется либо в мыслительном аппарате человека, либо в компьютере. В логике это обстоятельство ускользает от внимания. Поэтому вопрос об устойчивости логических алгоритмов до сих пор не ставился. Устойчивость процесса логического описания того или иного явления и устойчивость описываемого процесса связаны друг с другом. Поэтому устойчивость (или неустойчивость) является важным критерием любой логической задачи. На наш взгляд дефекты логических схем связаны именно с тем, что этот критерий в них не используется.

В рассмотренных вариантах логики суждения считаются либо абсолютными, либо сильно размытыми (нечеткая логика). В реальности встречаются задачи обоих типов, как требующие точного ответа, так и вероятностного. Выбор какого либо одного варианта логики означает отказ от решения значительной части задач.

Из приведенных замечаний следует, что ни один из упомянутых вариантов логики не охватывает весь круг актуальных задач современного естествознания.

Возникает вопрос: как быть?

Можно в реальной жизни и в науке вообще обходиться без логики (как, собственно, и поступает большинство людей). Можно попытаться сделать следующий шаг и предложить логику более близкую к реальности. Такую логику можно условно назвать целесообразной. В её рамках любое утверждение может быть верным, не верным и бессмысленным в зависимости от условий задачи и целей её решения. Так, например, утверждение А=В верно или не верно в зависимости от того, сколь велика разница между А и В и препятствует ли это отличие достижению цели, с которой делается это утверждение. Справедливость утверждения определяется не возможностью измерить (наблюдать) отличие, а целесообразностью принимать (или не принимать) это отличие во внимание. Если отличие в принципе не измеримо, то принимать его во внимание заведомо не целесообразно.

Такое предложение может восприниматься негативно, по следующим причинам:

• Во-первых, оно низводит логику до уровня прикладных наук и лишают её ореола божественности и независимости от мирской суеты. Однако, именно это обстоятельство позволяет решить наболевшие вопросы и выйти из замкнутого круга бесплодной софистики.
• Во-вторых, по звучанию “целесообразная логика” представляется как нонсенс. С первого взгляда кажется, что на любой вопрос можно ответить вопросом: -“чего изволите?”. Однако, в реальных задачах такой ответ не так уж глуп. Приведем пример: В рамках формальной логики на вопрос: сколько будет 7?7 верен ответ: 7?7=49 и любой другой ответ не верен. В рамках целесообразной логики столь же верен ответ: 7?7=50. Именно этот ответ часто используют люди для прикидочных расчетов “в уме”, когда требуемая точность не велика.

В конкретных задачах целесообразная логика сводится к какому либо из известных уже вариантов логики. Так, например, если заменить понятия “истинно” и “ложно” (верно — не верно) словами “целесообразно” — “не целесообразно”, то мы вернемся к аксиоматике классической логики. При этом изменится не структура логики, а правила оценки суждения. Может оказаться, что “верный” (с точки зрения классической логики) вывод “не целесообразен” и наоборот. Примеры этого мы обсудим позже.

Таким образом, целесообразная логика не претендует на роль новой логической конструкции. Цель её введения иная, она в том, чтобы определить области применимости известных вариантов логики в естественных науках и сформулировать соответствующие критерии.

Для того, чтобы охватить в единой логической схеме весь круг задач, целесообразно указать меру размытости, обладающую следующими свойствами:

• Во-первых, она должна быть конечной, но достаточно малой, такой, чтобы при решении устойчивы [AK1] х задач ею всегда можно было бы пренебречь. Это позволяет использовать в таких случаях традиционную математику без каких либо изменений.
• Во-вторых, в неустойчивых процессах эта мера должна приводить к полной размытости результата. Это позволяет использовать в таких случаях традиционный вероятностный подход.

С учетом этих замечаний аксиоматику конструктивной логики можно сформулировать в следующем виде.

В [AK2] каждой задаче должна быть сформулирована цель. Бесцельные задачи квалифицируются как бессмысленные и рассмотрению не подлежат. В этом смысле целесообразная логика перекликается с релевантной [2]

Любой расчет (или алгоритм) следует рассматривать как процесс, организованный во времени т.е. проводящийся поэтапно. (что справедливо по крайней мере по отношению к компьютерным расчетам). Это позволяет поставить и решить вопрос об устойчивости и/или сходимости в рамках классической математики.

Как и в классической логике каждому суждению соответствует “0” или “1”, но они рассматриваются не как символы, а как числа, близкие либо к 0, либо к 1, например, 0,000…abc или 1,000…def, где a,b,c и d,e,f — -случайные числа от 0 до 9. Это положение напоминает “fuzzy logic”, но, в отличие от последней, требуется, чтобы “размытость” была мала, порядка “обратный гугол”.

Если процесс устойчив и сходится к определенному результату, то автоматически сохраняется аксиоматика классической логики (и математики). В этом случае сложное суждение будет “размыто” в ту же меру, что и исходное, Наблюдать такую “размытость” в принципе невозможно.

Если процесс неустойчив, то малая “размытость” исходных суждений приводит к большой (порядка единицы) размытости “сложного” суждения. В результате суждение, “истинное” или “ложное” в рамках классической логики, оказывается ни тем, ни другим, а просто “не целесообразным” (бессодержательным). В математике это ведет к серьёзным последствиям. поскольку ряд теорем (в частности теорема Лиувилля ) при этом теряют силу.

Если процесс построения суждения не сходится, то его следует остановить на любой итерации порядка гугол.

Целесообразными следует считать средние характеристики ансамбля результатов расчетов неустойчивых и/или не сходящихся процессов. Усреднение проводится по результатам расчетов, отличающихся выбором произвольного числа порядка гугол (или обратный гугол). Результаты расчета каждого отдельного процесса являются не целесообразными. Динамика средних характеристик устойчива по определению среднего и расчет её подпадает под п. (4)

Перечисленные положения представляют собой алгоритм расчета процессов, как устойчивых, так и неустойчивых.

В рамках этого алгоритма отсутствуют противоречия и неоднозначности характерные для классического подхода. Для иллюстрации приведем несколько примеров.

Первый относится к проблеме временной необратимости и роста энтропии в гамильтоновых системах типа биллиарда Больцмана. В них любая траектория изображающей точки в многомерном фазовом пространстве неустойчива.

Согласно п. (3) нужно начальные условия задавать не в точке, а в малой области , не меньшей, чем обратный гугол и рассматривать поведение ансамбля точек. Согласно п. (7) целесообразно рассматривать средние характеристики ансамбля. Одной из них является энтропия, определенная, согласно Синаю как логарифм объема фазового пространства внутри всюду выпуклой оболочки, охватывающей ансамбль точек. Эта величина растет со временем и стремится к определенному пределу. По всем свойствам она совпадает с физической энтропией. Этот результат следует считать целесообразным (если, считать целью использование его для расчета, например, тепловых машин) и в этом смысле “правильным”.

С другой стороны, если рассматривать поведение отдельной траектории (что равносильно заданию начальных условий с абсолютной точностью), то каждый процесс обратим во времени и энтропия расти не может (что и составляет суть теоремы Лиувилля). Этот результат является “верным” (или “истинным”) в рамках классической аксиоматики, но, согласно (5) не целесообразным и в этом смысле “не правильным”. Результат Синая в том же смысле является целесообразным и “правильным”, хотя и “не верным” с точки зрения классической логики.

На этом примере видна разница между понятиями “истинно” (“ложно”) и “целесообразно” (не целесообразно”). Напомним, что при рассмотрении устойчивых процессов этой разницы нет.

Проблема Буриданова осла в рамках целесообразной логики решается просто. Ясно, что положение осла не устойчиво. Согласно п. (3) надлежит рассмотреть ансамбль ослов, расположенных не точно между стогами сена, а в интервале порядка гугол. Согласно п. (7) целесообразным является вопрос: как распределятся ослы в пространстве. Ответ ясен: они разделятся на две равные группы и одни пойдут направо, а другие — налево. Такое поведение ослов целесообразно, если их цель — не умереть с голоду. Вопрос: куда пойдет каждый отдельный осел ставить не целесообразно. Напомним, в рамках классической математики при точно заданных начальных условиях, осел останется стоять на месте и умрет. Такое поведение не целесообразно даже с точки зрения осла.

Парадокс лжеца, напомним, состоит в следующем: привратник имеет приказ: правдивым людям рубить голову, а лжецов вешать. Предполагается, что правдивый всегда говорит правду, а лжец всегда лжет.

К городу подходит путник. Привратник вопрошает: “кто ты, правдивый человек или лжец?”. Путник отвечает:: “я лжец”. Что должен сделать привратник?

В рамках классической логики задача решения не имеет, потому и отнесена к разряду парадоксов.

В рамках трехзначной логики любое решение лишено смысла.

В рамках релевантной логики сама задача относится к числу запрещенных.

В рамках целесообразной логики решение состоит в следующем.

В отличие от предыдущего случая промежуточное состояние исключено , а не просто не устойчиво. Каждое из разрешенных состояний (“правдивый” и “лжец”) не только не устойчиво, но и не стационарно. Процесс принятия решения состоит из последовательности итераций, каждая из которых приводит к противоположному результату. Этот процесс не является сходящимся. В рамках классической математики такой процесс представляет собой отображение предельного цикла Пуанкаре. Сам цикл устойчив, но фаза цикла не устойчива и может быть выбрана произвольно. В данном случае разрешенные состояния соответствуют противоположным фазам цикла. Таким образом, процесс не соответствует п. (4), но подпадает под п. (6).

Согласно (7) следует усреднить результаты по ансамблю итераций. Усредненный результат можно сформулировать в виде: данный путник в меру лжив и в меру правдив (что, кстати, можно отнести ко всем нормальным людям).

Если цель — определить моральный облик путника, то такой ответ следует считать целесообразным. Напротив, результат любой конкретной итерации (путник либо лжив, либо правдив) следует считать не целесообразным и не применять по отношению к нему упомянутых санкций.

Для сравнения обсудим вариант, когда путник отвечает “я всегда говорю правду”. Этот случай подпадает под п.(4). Процесс принятия решения быстро сходится к результату: путнику надлежит отрубить голову. Такое решение логически безупречно. Кроме того, оно целесообразно, поскольку человек, который всегда говорит правду, социально опасен.

На этих примерах видно, что в устойчивых ситуациях классическая и целесообразная логика не вступают в противоречие.

Обсудим ещё один пример, связанный с условностью математических понятий. Вопрос тоже актуален, поскольку в науке об информации условность играет важную роль, а в математике принято этого не замечать. В качестве примера уместно обсудить проблему “стрелы времени”.

В гамильтоновых системах выбор знака времени произволен. При описании устойчивых процессов этот произвол роли не играет, поскольку эти процессы обратимы.

В глобально неустойчивых процессах будущее отличается от настоящего и прошлого и это отличие реально, поскольку эти процессы необратимы. Однако, и в этих условиях выбор знака времени произволен и делается по общему согласию, т.е. условно.

Можно выбрать знак времени так, что в будущем оно будет более положительным, чем в настоящем (назовем таких людей оптимистами, тоже условно). Именно так считают все люди на нашей планете и потому эта условность воспринимается как объективная реальность.

Можно представить себе людей, столь же разумных, но живущих на другой планете ( или на Земле, но в другом демографическом изоляте), которые выбрали противоположный знак времени. Иными словами, они сочли, что в будущем время будет более отрицательным, чем в настоящем ( в этом тоже есть свой резон, назовем таких людей пессимистами). В обоих социях люди наблюдают одинаковые явления и описывают их одинаково, с точностью до знака времени.

Что происходит при обмене информацией между ними? Можно представить себе несколько вариантов.

Люди сообщают друг другу, что в будущем энтропия возрастает. Это объективная реальность и здесь вопросов не возникает.