Надо сказать, что подобные работы являются совсем новыми. Здесь многое еще не ясно, остаются открытыми вопросы о качественных и количественных методах исследования. Кроме того, пока не затронуты вопросы о возможных стационарных состояниях сред в области регулярности, о волновых движениях по ним и влиянии на них дефектов, о динамике сред с параметрами, зависящими от времени и т. п. Однако развитие теории нелинейных систем в ближайшем будущем на некоторые из этих вопросов будут получены ответы.
11. Динамика колебательных химических реакций
К теории неравновесных сред тесно примыкает не менее интересная область исследований нелинейной динамики, изучающая колебательные химические реакции. В настоящее время ряд результатов теории динамических систем достаточно эффективно используются в химической кинетике. В частности, многие из колебательных химических реакций впервые нашли объяснение в рамках качественной теории дифференциальных уравнений.
Любая химическая реакция достаточно сложна. Ее стехиометрическое уравнение, как правило, не учитывает всю сложность элементарных процессов. Это уравнение выявляет природу реагирующих веществ и определяет общее число реагирующих молей, но не учитывает промежуточных компонент, появляющихся в ходе реакции (ионов, свободных радикалов и т. д.) на каждой ее элементарной стадии. Совокупность элементарных стадий, вовлеченных в суммарную реакцию, называется механизмом реакции. Используя закон действия масс и зная константы скоростей, можно описать реакцию динамически, т. е. составить соответствующую систему дифференциальных уравнений.
Химические системы диссипативны, и поэтому они не могут пребывать в каком–либо динамическом режиме: спустя некоторое время большинство химических реакций приходит в равновесие. Однако имеются исключения из этого правила (реакции Белоусова–Жаботинского, Бриггса–Раушера, Брея–Либавски, и некоторые другие), когда до образования конечных продуктов концентрации промежуточных соединений периодически изменяются с течением времени. В зависимости от концентраций реагентов (т. е., в сущности, параметров соответствующей системы дифференциальных уравнений), реакционная смесь может проявлять самые разнообразные режимы поведения: периодические, сложно периодические, квазипериодические и хаотические.
Хотя в настоящее время многое в таких реакциях уже понято, причины, вызывающие колебательные химические процессы, остаются до конца не выясненными. Динамическое описание колебательных химических реакций может оказать в этом существенную помощь, в частности, косвенным путем установить недостающие константы скоростей реакций. Кроме того, возможность стабилизации хаотических химических процессов в распределенных средах позволит подойти к исследованию явления резонансов спиральных волн с точки зрения теории динамических систем.
12. Теория бифуркаций
Развитие нелинейной динамики и теории динамических систем стимулировало большой интерес к теории бифуркаций. Это связано с тем, что все системы обыкновенных дифференциальных уравнений одинаковой размерности вблизи значений параметров, при которых в них имеет место бифуркация одного типа, являются топологически эквивалентными. Следовательно, описав бифуркацию и определив ее тип, легко судить о том, какое поведение проявят системы в окрестности бифуркационного значения параметра. Помимо широко известных типов бифуркаций, таких как бифуркация Андронова–Хопфа, бифуркация рождения тора, бифуркация удвоения периода и т. п., достаточно часто встречаются бифуркации контуров, составленных из сепаратрис седел. Одним из факторов, способствовавших исследованию таких бифуркаций, явилось обнаружение гомоклинических траекторий и сепаратрисных контуров в моделях, имеющих прикладное значение. Не последнюю роль здесь сыграла известная модель Лоренца, имеющая гомоклинический контур типа восьмерка–бабочка. Эта система исторически явилась первым примером, где было обнаружено хаотическое поведение.
При исследовании бифуркаций контуров главным образом рассматривается вопрос о количестве и устойчивости рождающихся при этом предельных циклов. Изучение бифуркаций рождения циклов из сепаратрисных контуров на двумерных поверхностях восходит к работам горьковской школы. Более широкие исследования в этом направлении были начаты после выдвинутой в 1985 г. В.И. Арнольдом и др. программы, посвященной описанию бифуркациям полициклов, возникающих в типичных двумерных малопараметрических семействах векторных полей. Недавние работы значительно расширили класс таких бифуркаций и существенно продвинули понимание сути происходящих при этом явлений.
Исследование бифуркаций векторных полей на плоскости и числа предельных циклов, рождающихся из полициклов, восходит к известной 16–й проблеме Гильберта (точнее к ее второй части): получить оценку сверху числа предельных циклов системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которых суть многочлены. Вариант для полициклов называется «проблемой Гильберта–Арнольда»: доказать, что в типичном k–параметрическом семействе векторных полей на плоскости из полицикла рождается только конечное число предельных циклов, оцениваемое сверху постоянной, зависящей только от k.
Для решения этой проблемы, по крайней мере для двух– и трехпараметрических семейств векторных полей, необходимо знать все полициклы, встречающиеся в таких семействах. Полный список всех полициклов коразмерностей 1, 2 и 3 недавно (1995 г.) был опубликован. Этот список, называемый «зоопарком Котовой», включает все регулярные классы элементарных полициклов на ориентируемых двумерных многообразиях. Немного позже с помощью специально построенного формализма были исследованы регулярные классы полициклов коразмерности не выше 3 и определена верхняя оценка цикличности полициклов для каждого класса зоопарка Котовой.
Резюмируя, можно сказать, что все описанные направления связывает единый подход, который позволяет выявить много общего в таких, на первый взгляд очень разных приложениях. Таким образом, нелинейная динамика и синергетика образуют единое направление современной науки, и тесное взаимодействие этих разделов привело исследователей к качественно новым подходам в решении многих важных проблем математической физики.
Литература
А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. Введение в синергетику. — М. Наука. 1990.
Loskutov. Chaotic dynamics of chemical systems. — In: Mathematical Methods In Contemporary Chemistry. Ed. S.I. Kuchanov. — Gordon and Breach, USA. 1995. 181–265 c.
A.S. Mikhailov, A.Yu. Loskutov. Chaos and Noise. — Springer, Berlin. 1996.
«Новое в нелинейной динамике». — Физическая мысль России. 1997. т. 2/3. 1–112 с.
Ф. Мун. Хаотические колебания. — М.: Мир. 1990.
Е.А. Jackson. Perspectives of Nonlinear Dynamics. Vol. I, II. — Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989, 1990.
Chaos II, ed. Hao Bai–Lin. — Worls Sci., 1990.
Г. Шустер. Детерминированный хаос. Введение. — М., Мир, 1988.
А. Лихтенберг, М. Либерман. Регулярная и стохастическая динамика. — М., Мир, 1984.
Lasota, M.C. Mackey. Chaos, Fractals and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics. — Springer, Berlin, 1994.
H.C. Крылов. Работы по обоснованию статистической физики. — М.–Л., Изд–во АН СССР, 1950.
L.A. Bunimovich, Ya.G. Sinai. Statistical properties of Lorentz gas with periodic configuration of scatters. — Commun. Math. Phys., 1981, v. 78, №4, 479–497 p.
Динамические системы. Том 2. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». — ВИНИТИ, 1985.
L.A. Bunimovich. Conditions of stochasticity for two–dimensional billiards. — Chaos, 1991, v. I, №2, 187–193 p.
Billiards. — France Mathematical Soc. Press, 1995.
А.Ю. Лоскутов, А.Б. Рябов, Л.Г. Акиншин. Механизм ускорения Ферми в рассеивающих бильярдах с возмущаемыми границами. — ЖЭТФ, 1999, т. 116, вып. 5, 1–17 с.
A.Yu. Loskutov. Non–feedback Controlling Complex Behaviour of Dynamical Systems. An Analytic Approach. — In: Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results, ed. J. Awrejcewicz. Academic Verlag, 1995, 126–150 p.
A.H. Дерюгин, А.Ю. Лоскутов, В.М. Терешко. К проблеме стабилизации неустойчивого поведения неавтономных динамических систем. — Теор. и матем, физика, 1995, т. 104, №3, 507–512 с.
Н.Л. Комарова, А.Ю. Лоскутов. Хаос и управление колебательными химическими реакциями. — Математическое моделирование, 1995, т. 7, №10, 133–142 c.
A.Yu. Loskutov, V.M. Tereshko, К.A. Vasiliev. Predicted dynamics for cyclic cascades of chaotic deterministic automata. — Int. J. Neural Networks, 1995, v. 6, 175–182 p.
A.N. Derjugin, A.Yu. Loskutov, V.M. Tereshko. Inducing stable periodic dynamics by parametric perturbations. — Fractals, Solitons, and Chaos, 1996, v. 7, №10, 1–13 p.
A.Yu. Loskutov, V.M. Tereshko, K.A. Vasiliev. Stabilization of chaotic dynamics of one–dimensional maps. Int. J. Bif. and Chaos, 1996, v. 6, №4, 725–735 p.
Т. Shinbrot. Chaos: Unpredictable Yet Controllable? — Nonlinear Sci. Today, 1993, v. 3, №2, 1–8 p.
Т. Shinbrot, С. Grebogi, E. On, J.A. Jorke. Using small perturbations to control chaos. — Nature, 1993, v. 363, 411–417 p.
L. Glass. Cardiac arrhythmias and circle maps — A classical problem. — Chaos, 1991, v. 1, №1, 13–19 p.
A.T. Winfree. When Time Breaks Down: The Three–Dimensional Dynamics of Electrochemical Waves and Cardiac Arrhythmias. — Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1987.
Л. Гласс, М. Мэки. От часов к хаосу. Ритмы жизни. — М., Мир, 1991.
M. Courtemanche, L. Glass, J. Belair, D. Scagliotti, D. Gordon. A circle map in a human heart. — Physica D, 1989, v. 40, 299–310 p.
L. Schamorth. The Disorders of the Cardiac Rhythm. — Blackwell, Oxford, 1980.
L. Olass, A.L. Goldberger, M. Courtemanche, A. Shrier. Nonlinear dynamics, chaos and cardiac arrhythmias. — Proc. R. Soc. London, Scr. A, 1987, v. 413, 9–26 p.
A.L. Goldberger. Nonlinear dynamics, fractals, and chaos: applications to cardiac electrophysiology. — Ann. Biomed. Eng., 1990, v. 18, №2, 195–209 p.
Garfinkel, M.L. Spano, W.L. Ditto. Controlling cardiac chaos. — Science, 1992, v. 257, 1230–1235 p.
А.Ю. Лоскутов. Нелинейная динамика и сердечная аритмия. Прикладная нелинейная динамика, 1994, т. 2, №3–4, 14–25 c.
S. Hayes, С. Orebogi, E. Ott. Communicating with chaos. — Phys. Rev. Lett., 1993, v. 70, №20., 3031–3034 p.
S. Hayes, С. Orebogi, E. Ott, A. Mark. Experimental control of chaos for communication. — Phys. Rev. Lett, 1994, v. 73, №13, 1781–1784 p.
A.A. Бредихин, А.Ю. Лоскутов. Временные ряды с переменной дисперсией и финансовые рынки России. — Анализ риска, 1998, т. 1, №1, 28–45 с.
R.P. Engle. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of U.K. inflation. — Econometrica, 1982, v. 50, 987–1008 p.
A.K. Bera and M.L. Higgins. ARCH models: properties, astimation and testing. — J. Econ. Surveys, 1993, v. 7, 305–366 p.
J.–M. Zakoian. Threshold heuroscedasticity model. — Mimeo, 1990, INSEE. Paris.
Фракталы в физике. Ред. Я.Г. Синаи и И.М. Халатников. — М., Мир, 1988
E. Федер. Фракталы. — М., Мир, 1991.
К. Kaneko. Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in a network of chaotic elements. — Physica D, 1990, v. 41, №2, 137–172 p.
Chaos, 1992, v. 2, №3 (Номeр, целиком посвяшенный решеткам сцепленных отображений).
Р. Gray and S.K. Scott. Chemical Oscillations and Instabilities. — Oxford Universiti Press, 1990.
H.G. Othmer. Nonlinear Oscillations in Chemistry and Biology. — Springer, Berlin, 1987.
Mathematical Models of Chemical Reactions: Theory and Applications of Deterministic and Stochastic Models. Eds. P. Erdi, J. Toth. — Manchester Univ. Press and Princeton Univ. Press, 1989.
Concerning the Hilbert 16th problem. Eds. Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko. — АМS Transl. Ser. 2, 1995, v. 165. (Adv. Math. Sci., v. 23)
Kotova, V. Stanzo. On few–parameter generic families or vector fields on the two dimensional sphere. — AMS Transl. Ser. 2, 1995, v. 165. (Adv, Math. Sci., v. 23), 155–201 p.
С.И. Трифонов. Цикличность элементарных полициклов типичных гладких векторных полей. — Труды Матем. ин–та им. В.А. Стеклова, 1997, т. 213, 152–212 с.
Д.Н. Дерюгин, Л.Ю. Лоскутов. О рождении предельных циклов из сепаратрисного контура в трехпараметрнческом семействе динамических систем на двумерных ориентируемых многообразиях. — Дифференциальные уравнения, 2000.