Литвин В.М. к. т. н. с. н. с.
Приведен алгоритм оценки хаотического фона динамической системы
Динамический хаос – неизбежный, обязательный атрибут жизни динамической системы. Так работают сердце и мозг – на их регулярные ритмы наложен хаотический фон, и его исчезновение ведет к смерти.[2].Поэтому разработка алгоритма с такой оценкой представляется актуальной. Как известно, математическим отображением установившихся периодических изменений является предельный цикл, а квазипериодических — инвариантный тор. А разрушителем — являются резонансные колебания, к которым часто приводят методы оптимизации.
И устойчивые циклы, и инвариантные торы являются аттракторами (буквально — «притягателями»), поскольку в прямом смысле они притягивают все близкие траектории. Физически это означает, что при отклонении от таких колебаний (вследствие каких-либо воздействий) система спустя некоторое время вновь возвращается к ним, т.е. такое движение как бы притягивает [2].
Особенностью хаотического фона внутри цикла является его постоянство энтропии (стационарности) по среднему во времени [3].Такой же вывод можно получить используя проверку на стационарность коррелированных случайных данных внутри цикла по методу последовательных разностей[4].
При разработке алгоритма оценки хаотического фона внутри цикла используется непараметрическая статистика Кендалла [4]
n-1 n
Вn = Е * E u(x - x);
i=1 J=i+1 i j
где n-число данных временного ряда ;
x – x -первые разности между каждым предыдущим и
i j
последующим значениями ряда
i = 1,2,3.... n-1
j = i+1,i+2,.... n
| 1 при x < x
u(x – x )= | i j -решающая единичная функция
i j | 0 при x > x
i j
При N > 10 распределение случайной величины Bn соответствует нормальному закону распределения со средним значением
2
M = n*(n-1)/4 = n /4,
Bn
3 2
(2n +3n -5n) 3
и дисперсией G = ----------- = n /36
Bn 72
Предположение о постоянном во времени MBn основано на малой вероятности монотонного изменения среднего значения стационарного временного ряда.
Доверительные границы изменения во времени среднего значения процесса в цикле при 5% ошибке определяются в виде
Вmax(n,a/2) = М + G* P +1.05
Bn Bn (a/2)
Bmin(n,1-a/2) = М - G * P -1.05
Bn Bn (1-a/2) ,
где P и P процентные точки нормального распределения
a/2 1-a/2
M и G - текущее среднее и текущая дисперсия
Bn Bn
Решающее правило в этом случае состоит в сопоставлении расчетных значений процесса Bn с граничными значениями, характерными для стационарного среднего процесса в цикле.
Вmin(n,1-a/2) < Bn < Bmax(n,a/2) ,
где n-число данных временного ряда
При использовании статистики Кендалла теряется информация об амплитудах процесса, однако ее можно восстановить используя совпадение индексов реализации процесса и индексов стационарных по среднему составляющих процесса внутри цикла[1].
Наличие стационарности случайных составляющих внутри цикла позволяет определить функцию корреляции стационарных составляющих и выделять из них только некоррелированные значения, определяющие хаотический фон.
Для этого используется оценка первого пересечения корреляционной функцией оси абсцисс.
Затем по известным соотношениям для нормального закона можно оценить среднее значение фона и его стандартное отклонение, а также доверительные интервалы этих значений при вероятности ошибки 5%.
В качестве примера использования алгоритма приводится расчет хаотического фона в цикле гармонического процесса с различным фазовым сдвигом. На графиках 1, 2 приведены гармонический процесс с различным фазовым сдвигом и состояния этого процесса в цикле.
В таблице 1 приведены результаты расчета 73 данных гармонического процесса, значения которого табулированы и поэтому не приводятся.
Таблица 1
------------------------------------------------------------------
N Фаза Колич. Колич. Среднее Доверит. Среднеквадр. Доверит.
корр. некор. значение интервалы. отклонение интервалы
в цикле в цикле
-----------------------------------------------------------------
1 0 33 9 0.401E+00 -,+ 0.5% 0.729E+00 -,+0.4%
2 15 32 8 0.240E+00 -,+ 0.6% 0.765E+00 -,+0.5%
3 30 31 8 0.555E-01 -,+ 0.6% 0.751E+00 -,+0.6%
4 45 40 8 0.125E+00 -,+0.4% 0.729E+00 -,+0.5%
5 60 57 9 0.192E+00 -,+0.3% 0.585E+00 -,+0.4%
6 75 53 8 0.555E-01 -,+0.3% 0.593E+00 -,+0.4%
7 90 54 9 0.240E+00 -,+0.3% 0.685E+00 -,+0.4%
--------------------------------------------------------------
График гармонического процесса при сдвиге по фазе через 15 градусов
График фазовых характеристик гармонического процесса в цикле при сдвиге по фазе через 15 градусов при 5% вероятности ошибки.
Таким образом, минимальное значение среднего хаотического фона имеет место при сдвиге 30 и 75 градусов, а стандартное отклонение максимально при сдвиге 15 градусов.
Литература
1. Литвин В.М.Архитектура пакетов статистической обработки
Журнал Механизация и Автоматизация 1991г.
2. Арнольд И.В. Теория катастроф. Соврадио 2001г.
3. Синай Я.Г. Теорема эргодичности в динамических системах.
Вестник МГУ 1999Г.
4 Кендалл М. Статистический анализ и временные ряды .Наука 1976г.