В.А.Белавин, С.П.Курдюмов — Институт Прикладной Математики РАН
Е.Н.Князева — Институт Философии РАН

Применение принципов коэволюции сложных систем, законов развития нелинейных открытых диссипативных сред, правил построения на них сложных эволюционирующих структур быть может, позволит сформировать новый конструктивный подход к решению глобальных проблем, стоящих перед современной наукой, перед всей человеческой цивилизацией.

Человек находится в состоянии смятения перед сложным. Как ориентироваться в современном сложном и нестабильном мире? Как понять границы предсказуемости и принципиальной непредсказуемости сложных систем? Какова природа сложного и законы его развития? Ситуация ожиданий и забот сегодняшнего времени затрагивает каждого из нас. Как вывести страну из тисков социального кризиса и поставить ее на путь цивилизованного прогресса? Каковы условия быстрого экономического роста? Как избежать нависших над человечеством катастроф, угрожающих самому его существованию?

Синергетика в ее нынешнем виде, конечно, еще далеко не во всех случаях способна стать основой для конкретных и действенных моделей выхода из кризисных ситуаций. Но с позиций синергетики открываются возможности поиска универсальных принципов самоорганизации и коэволюции сложных систем. А такого рода знание исключительно важно для конкретного моделирования эволюционных процессов и катастрофических ситуаций в экономике и экологии, в политике и социальной сфере. Каждому историческому периоду в развитии науки свойственны свои специфические идеалы научного знания и методологические подходы к осмыслению действительности. В науке Нового времени — классической науке — идеалами научного знания служили простота, линейность, исключение неопределенности. Классический, господствующий по сей день подход к управлению сложно-организованными системами основывается на линейном представлении об их функционировании. Согласно этому представлению результат внешнего управляющего воздействия есть однозначное и линейное, предсказуемое следствие приложенных усилий. Чем больше вкладываешь, тем больше должна быть отдача.

Вместе с бурным развитием статистических теорий (теория игр, теория ошибок, статистическая физика, демография и пр.) происходил переход к вероятностному стилю научного мышления, статистические закономерности перестали рассматриваться как нечто временное и преходящее. Интенсивное развитие системных исследований и кибернетики привело к очередному изменению в стиле научного мышления. Системный подход не отменяет вероятностное видение мира, дополняя его такими важнейшими элементами, как сложность, системность, целенаправленность.

Если искать предельно краткую характеристику синергетики как новой научной парадигмы, то такая характеристика включили бы в себя три основные идеи: нелинейность, открытость, диссипативность.

• Нелинейность как необычная реакция на внешние воздействия, когда «правильное» воздействие оказывает большее влияние на эволюцию системы, чем воздействие более сильное, но организованное не адекватно ее собственным тенденциям.
• Открытость, наличие внешних источников (стоков) как необходимое условие существования неравновесных состояний, в противоположность замкнутой системе, неизбежно стремящейся, в соответствии со вторым началом термодинамики, к однородному равновесному состоянию.
• Диссипативность как фактор «естественного отбора», разрушающий все, что не отвечает тенденциям развития, «молоток скульптора», которым тот отсекает все лишнее от глыбы камня, создавая скульптуру.

Представляется вероятным, что именно нелинейные открытые диссипативные системы лежат в основе большинства физических, биологических, социальных явлений. Не случайно многие общие принципы эволюции можно отнести к самым различным объектам живой и неживой природы. Это и регенерация (восстановление собственной структуры, нарушенной внешним воздействием), и морфогенез, сопровождаемый своеобразным «дефектом массы», обуславливающим большую эффективность одних структур по сравнению с другими. Научная картина мира включает в себя принцип единства, проявляющийся в существовании законов, справедливых для самых разнообразных уровней существования, от микромира до Метагалактики, от неживой природы до человека и общества. В классической науке такими законами были, например, закон сохранения энергии, второе начало термодинамики… В современной постклассической науке ими могут стать законы коэволюции нелинейных открытых диссипативных систем.

Рассмотрение несложных моделей позволяет выявить некоторые основные принципы, характерные для многих реально существующих систем; уравнения, построенные в этих моделях, описывают широкий спектр явлений, от квантовых состояний атома водорода и строения Солнечной системы до закона роста численности человечества и моделей преодоления глобальных кризисов. Становится понятным, каким образом человек познает мир, если предположить, что мозг человека подчиняется тем же законом развития, что и окружающая его живая и неживая природа, но на более высоком уровне, характеризующемся большей нелинейностью, другим соотношением факторов открытости и диссипативности системы. Тогда в мозге могут быть созданы и исследованы структуры, соответствующие структурам — объектам окружающего мира. Однако такие модели могут быть созданы только для систем менее сложных, чем мозг, а объекты более сложные не могут принципиально быть смоделированы человеческим разумом. Нельзя объять необъятное. Тем не менее, даже для таких сверхсложных объектов можно указать многие принципы и законы развития, общие для всех сложных систем.

Антропный принцип утверждает, что существование того или иного закона природы связано с возможностью существования человека. Так, например, изменение мировых констант всего на несколько процентов сделало бы невозможным возникновение во Вселенной жизни, а попытки построить живую клетку на основе химических элементов, иных чем углерод, водород и кислород, не имели бы шансов на успех (исключая, возможно, замену углерода на кремний). Подобная ситуация складывается также и при исследовании моделей поведения сложных систем. Строгие математические расчеты и численные эксперименты, проведенные в ИПМ им. М.В.Келдыша РАН (KIAM) и МГУ им. М.В.Ломоносова, показали, что широкий спектр сложных структур может существовать только в очень узком классе нелинейных открытых диссипативных сред, так называемом «антропном» классе моделей. Их исследования выявили некоторые существенные особенности эволюции подобных систем.

• Во-первых, это режимы с обострением (blow-up), в которых благодаря нелинейным источникам некоторые величины изменяются в течение некоторого периода в режиме неограниченного роста за конечное время. Реально бесконечность, конечно, не достигается, но значение и скорость роста этих величин вблизи «момента обострения» возрастает в тысячи и миллионы раз.
• Во-вторых, это существование спектра структур-аттракторов (С-аттракторов) системы, устойчивых или метастабильных состояний, к которым она стремится в процессе развития. Существенным представляется факт неединственности С-аттрактора, зависимость его от начального состояния системы. С-аттракторы делят пространство всех возможных состояний системы на области притяжения, попав внутрь которой, система неизбежно эволюционирует к соответствующему С-аттрактору. Этим обуславливается пороговость любого внешнего воздействия на систему. Воздействие может быть эффективным, изменить тенденции системы, только если оно переводит состояние системы в область притяжения другого С-аттрактора. Кроме величины, энергии воздействия важно еще и правильное его «приложение», распределение его энергии между компонентами системы.
• В-третьих, структура-аттрактор, развитая стадия эволюции системы оказывается всегда гораздо проще промежуточных стадий развития, описывается гораздо более простыми уравнениями, чем весь эволюционный путь (Подобно тому, как в классической термодинамике система с огромным числом степеней свободы — газ с 1024 молекул, — на асимптотической, равновесной стадии описывается несколькими простыми уравнениями).

Применение подобных моделей в самых различных областях науки оказывается очень продуктивным: в физике плазмы был открыт Т-слой, в астрофизике предложено новое объяснение хромосферных вспышек на Солнце, в демографии — была построена теория роста населения Земли. В настоящее время общество, человечество является одной из наиболее сложных самоорганизующихся систем. Необходимость рассмотрения человечество как единой системы признается сегодня большинством демографов и социологов. Однако системное поведение было свойственно человечеству практически с момента возникновения. Это подтверждается тем фактом, что закон роста населения Земли оставался неизменным в течение миллионов лет, а отклонения от него были кратковременны и невелики. Социальные, экологические, демографические исследования показывают, что человечество вступило сейчас в период глобального кризиса. Рост населения Земли происходит в режиме с обострением, момент обострения оценивается примерно 2025 годом. Это означает, что закон роста должен неизбежно смениться новым в течение ближайших десятилетий.

Экологические, энергетические, экономические, социальные, политические кризисы, наблюдаемые сейчас в мире и отдельных странах и регионах — это разные проявления всеобщего глобального кризиса, связанного, в частности, со сверхбыстрым ростом человечества в преддверии момента обострения. Поэтому сейчас как никогда остро стоит вопрос о постановке и решении глобальных проблем, порожденных кризисом.

Что же дает синергетика для разрешения этих проблем?

• Во-первых, существование и неединственность структур-аттракторов, своеобразных «целей» эволюции системы ставит вопрос об отыскании спектра этих С-аттракторов и их областей притяжения. Нужно понимать механизмы самоорганизации сложной системы. Существенную роль играет здесь хаос, «свобода воли», неупорядоченное поведение на микроуровне, приводящее к появлению на макроуровне диссипативных процессов. Именно диссипативные процессы объединяют составные части системы в единое целое, способствуют их совместному развитию. Это передача информации и миграции людей, это распространение болезней и рыночные отношения. Без таких явлений каждая часть системы замыкается на себя, выпадает из общей структуры. С другой стороны, необходимо целенаправленное управление процессом развития как человечества в целом, так и отдельных стран. Популярное мнение о том, что одни только внутренние механизмы системы (например, рынок) «вынесут» нас к устойчивому конечному состоянию, не учитывает, что такое состояние не единственно. На какую именно структуру-аттрактор вынесет нас эволюция? Не исключено, что это будет состояние полного хаоса, анархии, или. напротив, жесткий авторитарный режим. Чтобы этого не произошло, надо знать, какие структуры можно построить на среде, которую представляет собой современное общество. Нужно выявить тенденции системы, отвечающие стремлениям и потребностям человека и общества, и целенаправленно развивать их, а не тратить средства, ресурсы, энергию на создание структуры, чуждой среде, неизбежно подверженной разрушению.
  Очень важно учесть также текущее состояние системы. Одна и та же система при различных начальных условиях может проявлять совершенно разные, даже противоположные тенденции развития, стремиться к различным «целям» — С-аттракторам, и действовать в одном случае по аналогии с другим неэффективно или даже бессмысленно. Поэтому нельзя, например, непосредственно переносить опыт развития западных стран на российскую «среду», слишком различны начальные условия (а возможно, и сами среды). Еще сложнее изменить путь эволюции у системы, уже приблизившейся к асимптотической стадии развития, к своему С-аттрактору. Пороговость воздействия играет здесь первостепенную роль. Прежний С-аттрактор «не отпускает» систему, и нужно приложить существенные усилия, чтобы преодолеть существующие тенденции, выйти из его области притяжения. Длительное, но слишком слабое или неправильное топологически воздействие будет лишь пустой тратой времени и энергии, система вновь вернется на прежний путь. Не подобную ли ситуацию наблюдаем мы сейчас в России?
• Во-вторых, даже удостоверившись, что система попала в область притяжения С-аттрактора, нельзя сидеть сложа руки и ждать, пока наступит Золотой Век. Развитые западные страны формировали свою государственность, свой социально-политический и экономический уклад в течение сотен лет. У России нет ста лет, чтобы построить цивилизованное общество, у всего человечества сегодня нет времени, чтобы действовать методом проб и ошибок. Темп развития цивилизации вблизи момента обострения настолько велик, что микроскопические случайности выходят на макроуровень. Небольшая группа террористов в состоянии поставить под угрозу существование всего человечества, не говоря уже о политике целых государств. В этой ситуации человечество неизбежно должно знать и использовать принципы коэволюции сложных систем, законы их сосуществования и совместного развития. Эти принципы были получены при исследовании математических моделей развития нестационарных структур, возникающих и эволюционирующих на открытых нелинейных диссипативных средах.

Прежде всего, нужно отказаться от принципа выравнивания, «гомогенизации» системы. В сложную структуру могут объединяться структуры самого разного уровня развития. Так, в человеческом теле находятся одновременно копчик, рудимент хвоста, не имеющий существенного значения в жизнедеятельности организма, и кора головного мозга, не имеющая аналогов в остальном животном мире. Так, в современном обществе новейшие достижения техники и науки могут уживаться с идолопоклонством и ритуальными жертвоприношениями. Тем не менее, несмотря на различие в уровне развития, объединение в сложную структуру оказывается выгодным для всех ее составных частей. процесс эволюции ускоряется, развитие требует меньших затрат ресурсов, энергии. Уровень развития остается различным, но отставание во времени у менее развитой структуры становится все меньшим, по мере приближения к моменту обострения. Одновременно все ярче проявляются тенденции к сближению, усиливаются центростремительные процессы.

Это проявляется в распространении единого образа мышления, стиля жизни, унификации жизни вообще. Но надо помнить, что не любые простые структуры можно объединить в сложную. Попытки искусственно установить состояние, не свойственное данной системе, нелинейной среде, приведет к неминуемому распаду его или потребует колоссальных затрат энергии и ресурсов для поддержания этого состояния. Диссипативные процессы разрушат все, что не отвечает потребностям системы, перераспределив энергию, вложенные средства и т.д. в соответствии с внутренними тенденциями среды, а если эти тенденции не активизированы, сведут систему к максимально неупорядоченному состоянию, хаосу или нескольким изолированным простым структурам.

Ключевым моментом становится согласованность темпов развития. Простые структуры, объединенные в сложную, должны иметь один общий момент обострения, существовать «в одном темпомире», иначе даже незаметное различие на асимптотической стадии катастрофически усугубляется. Это ведет, в частности, к неустойчивости всех сложных структур. Неустойчивость эта, однако, принципиально отличается от неустойчивости, характерной для классических, линейных систем. 99% времени система развивается очень медленно и устойчиво. Неустойчивость проявляется только вблизи момента обострения. Флуктуации, несущественные на медленной, квазистационарной стадии развития, становятся тогда важным фактором эволюции и ведут к распаду сложных структур. Однако для достаточно сложной системы (с сильной нелинейностью) процесса распада можно избежать. Численные эксперименты показывают, что для этого нужны «релаксационные» процессы, замедление роста, «восстановление старых следов». Такие процессы наблюдаются во многих сложных системах (например, сон у человека и животных, колебания численности биологических популяций).

Для некоторых систем они только отодвигают окончательный распад, «смерть», продлевая «жизнь» структуры в десятки и сотни раз. Для систем с еще более сильной нелинейностью они могут привести к возникновению квазиколебательных режимов, тем самым устраняя саму возможность распада. «Релаксационные» процессы разрушают унификацию, возрождают самобытность компонент сложной структуры, однако это происходит в рамках совместного развития, без распада структуры на составные части, что позволяет после завершения периода «релаксации» снова вернуться к режиму ускоряющегося роста, централизации, унификации.

Что же делать, как избежать распада, как активизировать механизмы «релаксации», продлевающие жизнь системы?

Для этого нужно поднять уровень сложности, степень нелинейности среды. Такого рода «воспитание среды» также часто встречается в самоорганизующихся системах. Не этим ли занимаются люди каждый день, воспитывая своих детей. Если уподобить мозг ребенка tabula rasa, чистой странице, то воспитание есть не просто заполнение ее знаниями и умениями, но прежде всего совершенствование самого материала этой страницы с тем, чтобы она могла, подобно скатерти-самобранке, рождать идеи и представления, строить на своей среде модели внутреннего и окружающего мира. В отношении человеческой цивилизации это можно проиллюстрировать другим примером. Согласно теории роста населения Земли, предложенной С.П.Капицей, в течение длительного периода скорость роста была пропорциональна квадрату числа людей. Это означает, что главную роль в развитии человеческой цивилизации играли парные контакты между людьми: мужчина — женщина, правитель — правитель, ученик — учитель, слуга — господин… Следствием этого был гиперболический закон роста N = C / (T0 — T) с моментом обострения T0 около 2025 года. На протяжении 6 миллионов лет человеческой истории были выделены 11 периодов замедления и ускорения развития человечества. Эти колебания могут быть обусловлены наличием в модели эволюции человеческой цивилизации нелинейных диссипативных факторов. Однако период колебаний сокращался с приближением к моменту обострения, что указывает на недостаточно сильную степень нелинейности системы.

Различные сценарии перехода через момент обострения и прогнозы дальнейшего развития человечества предполагают существенное замедление роста (или даже уменьшение численности людей), но не дают ответа на вопрос о дальнейших тенденциях системного поведения, сохранявшегося до этого в течение миллионов лет. Однако, возможно, вопрос надо ставить не об эволюции системного поведения, а об изменении самой системы, которую представляет собой человеческая цивилизация. Информационное общество, формирующееся в течение последних десятилетий, коренным образом изменило характер взаимоотношений между людьми. Парные взаимодействия еще играют существенную роль, однако на смену им идут взаимодействия коллективные, когда благодаря средствам массовой информации, компьютерным сетям, новейшим средствам связи и транспорта в общении могут принимать участие десятки и сотни людей. Это ведет к существенному увеличению степени нелинейности системы, и переход к новым соотношениям между источником и диссипацией, между производством и распространением информации, материальных ценностей, людей, по-видимому, и представляет собой сущность нынешнего переломного периода в развитии человечества.

Таким образом, применение принципов коэволюции сложных систем, законов развития нелинейных открытых диссипативных сред, правил построения на них сложных эволюционирующих структур быть может, позволит сформировать новый конструктивный подход к решению глобальных проблем, стоящих перед современной наукой, перед всей человеческой цивилизацией.

Литература:

А.А.Самарский, В.А.Галактионов, С.П.Курдюмов, А.П.Михайлов. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений.
М Наука, 1987. 470с. [English translation: A.A.Samarskii, V.A.Galaktionov, S.P.Kurdyumov, A.P.Mikhailov. Blow-up in Problems for Quasilinear Parabolic Equations. Berlin, N.Y., Walter de Gruyter, 1995, 533p.]
S.P.Kurdyumov. Evolution and Self-Organization Laws in Complex Systems. //International Journal of Modern Physics. C1 (1990), p.299-397.
Сборник: Наука, технология, вычислительный эксперимент. //Серия «Кибернетика — неограниченные возможности и возможные ограничения». М., Наука, 1993.
Т.С.Ахромеева, С.П.Курдумов, Г.Г.Малинецкий, А.А.Самарский. Нестационарные диссипативные структуры и диффузионный хаос. М., Наука, 1992, 541с. [English translation: T.S.Achromeeva, S.P.Kurdyumov, G.G.Malinetskii, A.A.Samarskii. Nonstationary Dissipative Structures and Diffusion-Induced Chaos in Nonlinear Media. //Physical Reports. Vol. 176 (1989). p.189-372.
С.П.Капица. Математическая модель роста народонаселения Земли. //Мат.маделирование, 1992, т.4, № 6, с.65-79.
S.P.Kurdyumov, A.A.Samarskii, N.V.Zmitrenko. Heat Localization Effects in Problem of ICF (inertial confinement fusion). //International Journal of Modern Physics, B9, №15 (1995), p.1797-1811.
Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М., Наука, 1994, 236с. [The English advertising presentation of the book: E.N.Knyazeva, S.P.Kurdyumov. Synergetics in Cultural Context. Contributions to Resolution of the Current Civilizational Crisis. //Dialectic, Cosmos and Society. Chicago, Summer 1995, № 8, p.3-8.
Московский Синергетический Форум. Январская (1996) встреча. "Устойчивое развитие в изменяющемся мире". Тезисы. //Под редакцией В.И.Аршинова, Е.Н.Князевой. М., 1996, 118с.
Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов Синергетика и Восток. Близость далекого. //Духовные истоки Японии. Альманах. М., Толк, 1995, с. 273-312.
С.П.Капица. Феноменологическая теория роста населения Земли. //УФН, № 1 (1996), том 166, с.63-79.
Additional literature:
A.A. Samarskii and I.M. Sobol, "Numerical examples of computations of heat waves", Z. Vychisl. Matem i Matem Fiz. 3 (1963) 703, in Russian.
A.N. Tikhonov, A.A. Samarskii, L.A. Zakljazmenskii, P.P. Volosevich, L.M. Degtyarev, S.P. Kurdyumov, Ju.P. Popov, V.S. Sokolov, and A.P. Favorskii, "Nonlinear effect of appearance of self-supporting high-temperature gas layer in nonstationary processes of gas hydrodynamics , Doklody AN SSSR 173 (1967) 808, in Russian.
L.M. Degtyarev, L.A. Zakljazmenskii, S.P. Kurdyumov, A.A. Samarskii, V.S. Sokolov, and A.P. Favorskii, "Development of finite local perturbations of heat conductivity in a flow of weakly conducting gas under a magnetic field", Teplofiz. Visokih Temperatur 7 (1969) 471, in Russian.
A.A. Samarskii, V.A. Dorodnitsyn, S.P. Kurdyumov, Ju.P. Popov, "T-layer for- mation in a process of retardation of plasma by a magnetic field", Doklady AN SSSR 216 (1974) 1254, in Russian.
N.V. Zmitrenko and S.P. Kurdyumov, "Appearance conditions of structures in a self- similar compressing regime", Doklady AN SSSR 219 (1974) 578, in Russian.
S.P. Kurdyumov, Ju.P. Popov and A.A. Samarskii, "Nonlinear effects of development of structures in radiational magnetic hydrodynamics", Proc. Heat snd Mass Tronsfer, uol. VIII, (Minsk, 1972), p. 11, in Russian.
N.V. Zmitrenko and S.P. Kurdyumov, "Self-similar compressing regimes of a finite mass of substance by a piston", Proc. H®at and Mass Transfer, sol. VIII, (Minsk, 1972), p. 20, in Russian; Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 16, 1973; Doklady AN SSSR 218 (1974) l306, in Russian.
S.P. Kurdyumov, "Nonlinear processes in a dense plasma", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 18, 1975, in Russian.
A. A. Samarskii, N.V. Zmitrenko, S.P. Kurdyumov, and A.P. Mikhailov, "Effect of metastable heat localization in a medium with nonlinear heat conductivity", Doklady AN SSSR 223 (1975) 1344, in Russian.
S.P. Kurdyumov, "Heat, localiza,tion in nonlinear media", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 39, 1976, in Russian.
N.V. Zmitrenko, S.P. Kurdyurnov, A.P. Mikhailnv, and A.A. Samarskii, "Structure ap- pearance in nonlinear media and nonstationary thermodynamics of blowing-up regimes", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 74, 1976, in Russian.
A.A. Samarskii, N.V. Zmitrenko, S.P. Kurdyumov, and A.P. Mikhailov, "Heat struc- tures and the fundamental length in a medium with nonlinear heat conduction and volumetric heat sources", Doklady AN SSSR 227 (1976) 321, in Russian.
A.A. Samarskii, N.V. Zmitrenko, S.P. Kurdyumov, and A.P. Mikhailov, "Nonlinear effects in plasma", in "Technology of Inertial Confinement Experiments", Technical Document IAEA-200, Vienna, 1977, pp. 185 -- 202.
N.V.Zmitrenko and S.P. Kurdyumov, "N and S compressing regimes of a finite mass of gas and peculiarities of blowing-up regimes", Pricl. Mehan. i Techn. Fiz. 1 (1977) 3, in Russian.
G.G. Elenin and S.P. Kurdyumov, "Conditions of self-complication of organization to a nonlinear medium", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 106, 1977, in Russian.
S.P. Kurdyumov, A.P. Mikhailov and K.E. Plohotnikov, "Heat localization in multi- dimensional problems nf nonlinear heat conduction", Preprint, Keldysh Inst. Appk Math., no. 22, 1977, in Russian.
A.A. Samarskii, G.G. Eilenin, N.V. Zmitrenko, S.P. Kurdyumov, and A.P. Mikhailov, "Combustion of a nonlinear medium as complex structures", Dokladg AN SSSR 237 (1977) 1330, in Russian.
N.V. Zmitrenko, S.P. Kurdyumov, A.P. Mikhailov, and A.A. Samarskii, "Localization of thermonuclear combustion in a plasma with electron heat conductivity", Pis'ma v JETF 26 (1977) 620, in Russian.
S.P.Kurdyumov, E.S. Kurkina and G.G. Malinetskii, "Dissipative structures in media with distributed parameters", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math.< no. 16, 1979, in Russian.
A.A. Samarskii, S.P. Kurdyumov, E.S. Kurkina, and G.G. Malinetskii, "Dissipative structute in a nonuniform burning media," Doklady AN SSSR 251 (1980) 587, in Russian.
A.A. Samarskii, S.P. Kurdyumov, G.G. Malinetskii, Ju.A. Povechenco, and Ju.P. Popov, "Dissipative structures interaction in nonlinear media", Doklady AN SSSB 251 (1980) 386, in Russian.
S.P. Kurdyumov, "Combustion eigenfunctions of a nonlinear medium and constructive laws of construction of its organization", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 29, 1979; in Modern Problems of Mathematical Physics and Numerical Mathematics, (Nauka, Moscow, 1982), pp. 217 -- 243, in Russian.
V.A. Galattionov, S.P. Kurdyumov, A.P. Mikhailov, and A.A. Samarskii, "Comparison of solutions of parabolic equations by means of a priori point-wise estimites of higher- oider derivatives", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 21, 1979, in Russian.
V.A. Galaktionov, S.P. Kurdyumov, A.P. Mikhailov, and A.A. Samarskii, "Localization of diffusion processes in media with constant properties , Doklady AN SSSR 247 (1979) 349, in Russian.
G.G. Elenin, V.A. Dorodnitsyn, and S.P. Kurdyumov, "On some invariant solutions of a heat equation with source", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 31, 1980, in Russian.
G.G.Elenin, "Formation of quasi-stationary travelling waves in periodic structure from nonstationary Sows of barotropic gas moving under nonlinear volumetric forces", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 126, 1977, in Russian.
V.A.Dorodnitsyn, "Group properties and invariant solutions of a. nonlinear heat equa- tion with source or absorption", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 57, 1979, in Russian.
N.V.Zmitrenko, S.P. Kurdyumov and A.A. Samarskii, "On the possibility of use of heat localization in compressing regimes of 8-pinch with blowing-up", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 153, 1980, in Russian.
N.V.Zmitrenko and S.P. Kurdyumov, "Compressing and rarefying regimes of a finite mass of a plasma admitting inversion of the time in a dissipative media", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 39, 1981, in Russian.
A.A. Samarskii, S.P. Kurdyumov, E.S. Kurkina, a,nd G.G. Malinetskii, "Nonstationary dissipative structures in nonlinear two-component media with volumetric sources", Doklady AN SSSR 258 (1981) 1084, in Russian.
V.A. Galaktionov, S.P. Kurdyumov, A.P. Mikhailov, and A.A. Samarskii, "Heat local- ization in nonlinear media", Digerentsial'nye Vraunenija 17 (1981) 1826, in Russian.
S.P. Kurdyumov, G.G. Malinetskii, Ju.A. Povechenco, Ju.P. Popov, and A.A. Samarskii, "Dissipative structures in trigger media", Doklady AN SSSR 258 (1981) 1875, in Russian.
S.P. Kurdyumov, E.S. Kurkina and A.B. Potapov, "Investigations of multi-dimensional eigenfunctions architecture of nonlinear media", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 75, 1982, in Russian.
G.G. Elenin, S.P. Kurdyumov and A.A. Samarskii, "Nonstationary dissipative structures in nonlinear heat media", Z. Vychisl. Matem i Matem Fiz. 23 (1983) 380, in Russian.
S.P. Kurdyumov, E.S.Kurkina, A.B. Potapov, and A.A. Samarskii, "Architecture of multi-dimensional heat structures", Doklady AN SSSR 274 (1984) 1071, in Russian.
V.A. Galaktinov. S.P. Kurdyumov and A.A. Samarskii, "On an asymptotic stability of invariant solutions to nonlinear heat equations with source", Digerentsial'nye Urau- nenija 20 (1984) 614, in Russia'n.
F.V. Bunkin, N.A. Kirichenko, S.P. Kurdyumov, G.G.Malinetskii, and A.A. Samarskii, "Auto waves processes in the laser theorem-chemistry", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 81, 1983, in Russian.
T.S. Archromeeva, S.P. Kurdyumov, G.G. Malinetskii, and A.A. Samarskii, "On a classification of two-component systems in a neighborhood of a bifurcation point", Doklady AN SSSR 279 (1984) 591, in Russian.
S.P.Kurdyumov, S.A. Posashkov and A.V. Sinilo, "Self-similar structures in a non- linear medium with heat absorption", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 111, 1984, in Russian.
S.P. Kurdyumov, S.A. Posashkov and A.V. Sinilo, "On invariant solutions of a heat equation with heat conduction coe%cient admitting the widest transformations group", Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 110, 1984, in Russian.
T.S. Achromeeva, S.P. Kurdyumov, G.G. Malinetskii, and A.A. Samarskii, "On a dif- fusion chaos in nonlinear dissipative systems", Doklady AN SSSA 279 (1984) 1091, in Russian.
V.A. Galaktionov, S.P. Kurdyumov and A.A. Samarskii, "On an asymptotic stability of self-similar solutions to a heat equation with nonlinear absorption", Doklady AN SSSR 281 (1985) 23, in Russian.
S.P. Kurdyumov, S.A. Posashkov, A.A. Samarskii, and A.V. Sinilo, "Nonstationary heat structures in a non]inear medium with absorption», Doktody AN SSSR 290 (1986) 515, in Russian.
V.A.Galaktionov, «On conditions of localization of solutions to quasilinear parabolic equations», Doklady AN SSSR 264 (1982) 1035, in Russian.
V.A.Galaktionov, «Proof of the localization on blowing-np solutions of a nonlinear parabolic equation», Digferentsial’nye Uravneoija 21 (1983) 15, in Russian.
V.A. Galaktionov, S.P. Kurdyumov and A.A. Samarskii, «On an asymptotic stability of eigenfunctions of the Cauchy problem for a nonlinear parabolic equation», Mstem. Sbornik 128 (1985) 435, in Russian.
A.A. Samarskii, «Numerical simulation and nonlinear processes in dissipative media», in Self-Organisotion, Auto Waues aod Structores Far from Eguilibrium, ed. V.I. Krin- sky, (Springer Verlag, Berlin, 1984), pp. 119 — 129.
A.A. Samarskii, «On new investigation methods of properties of nonlinear parabolic equations», Proc. Stekloo Math. Inst,, vol. 158, Moscow, 1981, pp. 153-158, in Russian.
A.A. Samarskii, S.P. Kurdyumov, T.S. Achromeeva, and G.G. Malinetskii, «Nonlineat phenomena and computational experiment, Vestoik Acad. Sci. USSB 9 (1985) 64, in Russian.
T.S. Achromeeva, S.P. Kurdyumov, G.G. Malinestkii, and A.A. Samarskii, ‘»Two- component dissipative systems in a neighborhood of a burification point», in Mathematical Modeling. Processes in 1Vonlinear Media, (Nauka, Moscow, 1986), pp. 7 — 59, in Russian.
A.P.Mikhailov and V.V. Stepanova, «Localization and structures under a self-similar compression of adiabatic gas by a blowing-up regime», Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 118, in Russian.
A.P. Mikhailov ar.i V.V. Stepanova, «Localization of gas dynamics processes under isoentropic compressing of a gas by a blowing-up tegime», Digereotsial’nye Uravneoija 19 (1983) 483, in Russian.
M.A. Demidov, Ju.A. Klokov, and A.P. Mikhailov, «Structures under spherical com- pression without shock waves of a gas with an arbitrary distribution of entropy», Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 73, 1985, in Russian.
M.A.Demidov and A.P. Mikhailov, «Multi-dimensional flows with a uniform density and localization effects», Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 53, 1986, in Russian.
M.A. Demidov and A.P. Mikhailov, «Localization eHects and structures development under compression of a finite mass of gas by a blowing-up regime», Pricl. Matem. i Mechon. 50 (1986) 119, in Russian.
M.A. Demidov, A.P. Mikhailov and V.V. Stepanov, «Localization and structures under compression of a gas by a blowing-up regime», Doklady AN SSSR 281 (1985) 41, in Russian.
A.P. Mikhailov, «Metastable localization of heat disturbances in a medium with nonlin- ear heat conductivity», Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 64, 1977, in Russian.
M.M. Ad’utov, Ju.A. Klokov and A.P. Mikhailov, «Self-similar heat structures with diminishing semi-width», D,gerentsiol’oy® Vravnentja 19 (1983) 1107, in Russian.
M.M. Ad’utov and L.A. Lepin, «Nonexistence of blowing-up self-similar structurss in a medium with source and constant heat conductivity», Digerentsial’oye Urovnenija 20 (1984) 1279, in Russian.
F.V.Bunkin, V.A. Galaktionov, N.A. Kirichenko, S.P. Kurdyumov, and A.A. Samarskii, «gualitative methods in physics of laser heating of metal in air», Izuestija AN SSSR, Ser. Physicol 49 (1985) 1046, in R.ussian.
F.V.Bunkin, N.A. Kirichenko, S.P. Kurdyumov, A.B. Potapov, and A.A. Samarskii, «Auto wave processes in gas media with thermodifEusion initialized by a laser radia- tion», Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 40, 1986, in Russian.
T.S.Achromeeva, F.V. Bunkin, N.A. Kirichenko, S.P. Kurdyumov, G.G. Malinetskii, and A.A. Samarskii, «Periodic auto waves processes and diffusion chaos in some laser thermochemical problem», Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 41, 1986, in Russian.
T.S. Achromeeva, S.P. Kurdyumov, G.G. Malinetskii, A.B. Potapov, and A.A. Samarskii, «New types of order and stochastic regimes in nonlinear media», in Ther- modynomics and Patt®rn Formotion i Biology, (Walter de Grayter, 1988), pp. 35 — 56
A.A. Samarskii, S.P. Kurdyumov, T.S. Achromeeva, and G.G. Malinetskii, «Simu- lation of nonlinear phenomena in modern science», in Informatics and Scientipc- Technical Progress, Ser. Cybernetics-Unbounded Possibilities and Possible Boonds, (Nauka, Moscow, 1987), pp. 69 — 91, in Russian.
N.V.Zmitrenko, S.P. Kurdynmov and A.P. Mikhailov, «Theory of blowing-up regimes in compressible media», in Results of Science and Techniques. Modern Mathematical Problerns. VINITI AN SSSR, Moscow, vol. 28, 1986, pp. 3 — 94, in Russian.
V.A. Galaktionov, V.A. Dorodnitsyn, G.G. Elenin, S.P. Kurdyumov, and A.A. Samarskii, «Quasilinear heat equation with source: blow-up, localization, symmetries, explicit solutions, asymptotics, structures», in Results of Science and Techniques. Mod- ern Mathematical Problems. VINITI AN SSSR, Moscow, vol. 28, 1986, pp. 95 — 199, in Russian.
T.S. Achromeeva, S.P. Kurdyumov, G.G. Malinetskii, and A.A. Samarskii, «On a clas- sification of solutions to systems of nonlinear equations in a neighborhood of a bifur- cation point», in Results oj Science and Techntques. Modern Mathematical Problems. VINITI AN SSSR, Moscow, vol. 28, 1986, pp. 207 — 308, in Russian.
A.A. Samarskii, V.A. Galaktionov, S.P. Kurdyumov and A.P. Mikhailov, «Blotu-up in Problems for Quasilioeor Parabolic Equations», (Nauka, Moscow), p. 477, in Russian.
S.P. Kurdyumov and G.G. Malinetskii, «Synergetics — Theory of self-organization, ideas, methods, views», in Computers, Models, Computational Experiment. Introduc- tion to Informatics dy Means of Matl)ematical Modeling, Ser. Cybernetics-Vnboonded Possibilities aod Possib(e Bounds, (Nauka, Moscow, 1988), pp. 79 — 136, in Russian.
Ju.P. Popov and A.A. Samarskii, «Computational Experiment», in Computers, Modeb, Cornputational Experiment. Introduction to Inforrnatics by Means of Math- ematica( Modeling, Ser. Cybernetics-Unboonded Possibilities ond Possibilites Bounck, (Nauka, Moscow, 1988), pp. 16 — 78, in Russian.
N.V.Zmitrenko and A.P. Mikhailov, «Heat inertia phenomena», in Computers, Models, Computational Erperiment. Introduction to Informatics by Means of Mathematical Nodeting, Ser. Cybernetics- Unbounded Possibilities and Possible Bounck, (Nauka, Moscow, 1988), pp. 137 — 170, in Russian.
S.P. Kurdyumov, G.G. Malinetskii and A.B. Potapov, «Structures in nonlinear me- dia», in Comput®rs, Modeb, Computationol Esperimeotal, Introduction to Ioforrnat- tcs by Means of Mathematical Modeling, Ser. Cybernettcs-Unbounded Possibilities s d Possible Bounds, (Nauka, Moscow, 1988), pp. 5 — 43, in Russian.
T.S. Achromeeva, S.P. Kurdyumov, and G.G. Malinetskii, «Paradoxes of the nonsta- tionary structures world», in Computers, Modeb, Computatiooal Experimeot. Introduction to Informatics by Means of Mothematical Modeling, Ser Cybernetics-Unbounded Possibilities and Possible Models, (Nauka, Moscow, 1988), pp. 44-122, in Russian.
V.A. Dorodnitsyn and G.G. Elenin, «Symmetry of nonlinear phenomena», in Computers, Models, Computationnl Experiment. Jntrorhsction to Informatics by Means of Mathemotical Modcling, Ser. Cybernetics- Uobounrl®d Possibilities and Possible Bounck, (Nauka, Moscow, 1988), pp. 123 — 191, in Russian.
M.I. Bakirova, S.N. Borshukova, V.A. Dorodnitsyn, and S.R. Svirchevskii, «On directed heat propagation in a nonlinear non-isotropic media», Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 182, 1985, in Russian.
M.I. Bakitova, S.N. Borshukova, V.A. Dorodnitsyn, S.P. Kurdyumov, A.A. Samarskii, and S.R. Svirchevskii, «Invariant solutions of a heat equation describing directed heat propagation of combustion and spiral waves in a nonlinear medium», Doklady AN SSSR 302, (1988) 68, in Russian.
V.A. Dorodnitsyn, «On invariant solutions of nonlinear heat equation with source», Z. Vychisl. Matem i Motem Fis. 22 (1982) 1393, in Russian.
V.A. Dorodnitsyn, I.V. Kniaseva and S.R. Svirchevskii, «Group properties of a non- linear heat equation with source in two and three space dimensions», Digereotaial’nye Urawenija 19 (1983) 1215, in Russian.
S.R.Svirchevskii, «On Lie-Backlund groups admitted by a heat equation with source», Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., no. 101, 1983, in Russian.
S.P.Kurdyumov, E.S. Kurkina, A.B. Potapov, and A.A. Samarskii, «Complex multi- dimensional combustion structures of a nonlinear medium», Z. Vychisl. Matem i Matem Fis. 2B (1986) 1189, in Russian.
S.P. Kurdyumov, «Dissipative structures and chaos in a nonlinear medium», Proc. of the Coof. on Plasms Theory ond Nonlioear Turbolent Procewea in Physics (Kiev, USSR), (World Scientific, 1990), pp. 431 — 459.
T.S. Achromeeva, F.V. Bunkin, N.A. Kirichenko, S.P. Kurdyumov, G.G. Malinetskii, and A.A. Samarskii, «Periodic oscillations and diKusion chaos under heating of metals by radiation», Isvestija: AN SSSR, Ser. Physical 51 (1987) 1054, in Russian.
T.S.Achromeeva, S.P. Kurdyumov, G.G. Malinetskii, and A.A. Samarskii, «Nonstationary dissipative structures and diffusion-induced chaos in nonlinear media», Phys. Reports 176 (1989) 189.
F.V.Bunkin, V.A. Galaktionov, N.A. Kirichenko, S.P. Kurdyumov, and A.A. Samarskii, «Localization in some nonlinear problem of initialization of combustion by radiation», Doklady A N SSSR 302 (1988) 68, in Russian.
S.P.Kurdyumov, E.S. Kurkina and O.V. Tel’kovskaya, «Blowing-up regimes in two- components media», Matem. Model 1 (1989) 35, in Russian.
S.N. Dimova, I.S. Kaschiev and S.P. Kurdyumov, «Numerical analysis of eigenfunctions of combustion of a nonlinear media in radially symmetric case», Z. Vpchisl. Matem i Matem Eis. 29 (1989) 1683, in Russian.
V.A. Galaktionvo and A.A. Samarskii, «Methods of construction of approximate self- similar solutions of nonlinear heat equations, I — IV», Matem, Sbornik 160 (1982) 291; 160 (1982) 435; 162 (1982) 3; 163 (1982) 131, in Russian.
O.V.Telkovskaya, «The structure of linearized approximation of eigen{unction o{ LS regime of two-component media», Preprint, Kurchatov Institute of Atomic Energy, no. 4814/1, 1989, in Russian.
T.S.Achromeeva and G.G. Malinetskii, «On the strange attractor in some synergetical problem», Z. Vychisl. Matem i Matem Fiz. 27 (1987) 202, in Russian.
S.V. Ershov, G.G. Malinetskii and A.A. Ruzmaikin, «A generalized two-disk dynamo model», Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 47 (1989) 251.
G.G. Malinetskii and A.B. Potapov, «On a calculation of dimensions of strange attrac- tors, Z. Vychisl. Natem. i Matem Fis. 2S (1988) 1021, in Russian.
V.A. Galaktionov, S.P. Kurdyumov and A.A. Samarskii, «On the method of stationary states fot quasilinear parabolic equations», Matem. S6ornik 180 (1989) 995, in Russian.