Итак, правила перехода были следующими:

Закон эволюции задавался следующей формулой:

Таким образом, каждый элемент фактически максимизирует последнее слагаемое в выражении для X i ( t+1 ) за счет изменения структуры связей. В выбранном варианте поиск связей определялся не детерминированным алгоритмом, а вероятностно с помощью метода Монте-Карло.

Оказалось, что исследуемое сообщество, несмотря на интуитивно очевидные и «бесконфликтные» правила, не приходит к однородности на достаточно длительном участке времени. Это демонстрируется на рис. 1,

Рис. 1. Пример эволюции системы, состоящей из 100 элементов Вверху приведена шкала градаций «близости» элементов по своим связям. Цвет каждого элемента показывает, насколько близок элемент с теми, с кем он связан – чем светлее, тем ближе.

где приведена эволюция системы, состоящей из 100 элементов. На нем хорошо видно, что ряд индивидуумов (хотя их число несколько уменьшается со временем) постоянно оказываются в «кризисной» ситуации, в которой установленные ими информационные связи их не удовлетворяют. Это объясняется тем, что разрыв связей происходит по «требованию» хотя бы одной стороны, и после этого другая сторона должна перестраивать свои связи по-новому. Таким образом, каждый элемент популяции может оказаться «на обочине» популяционных норм на каком-то шаге эволюции, то есть его свойства не соответствуют требуемым в данной системе. Эти свойства могут быть проинтерпретированы как индивидуальные характеристики элементов системы по работе с информационным ресурсом или как уровень «профессиональной подготовки» этого элемента.

Естественно предположить, что поведение субъекта будет меняться в зависимости от того, к какой группе по уровню «профессиональной подготовки» будет относиться данный элемент и каково его положение в этой группе, и что существуют количественные и качественные соображения относительно процесса группировки (кластеризации) и удержания связей между элементами системы, которую можно представить основой для формирования любой системы, то есть процесса некоторой самоорганизации в системе.

Сравним поведение четырех различных вариантов этой системы. Они отличаются введенными ограничениями на количество связей, которые могут быть установлены в системе, и критерием, по которому элементы системы оптимизируют свое поведение.

Рассмотрены два варианта структуры связей в системе:

На рисунках приведены несколько последовательных стадий эволюции системы (в этом примере моделирования использовались системы, содержащие по 144 элемента) для всех четырех вышеописанных вариантов.

На каждом фрагменте рисунков приведены следующие данные:

Клетки с крестиками означают, что данный элемент не имеет ни одной связи. В частности, видно, что в системах, где ограничено общее число связей в системе, именно они становятся главным ресурсом, за который и идет борьба. Подобное поведение характерно, например, для экономических систем [74], где борьба идет не только за финансовые ресурсы, но и за каналы сбыта.

Сравнивая эволюцию систем, представленную на рис. 2 и 3,

Рис. 2. Эволюция системы, в которой оптимизация проводится по расстоянию между элементами и количество связей во всей системе фиксировано

можно выделить характерные отличия случаев, когда оптимизация проводится по расстоянию в пространстве индивидуальных характеристик и когда – по количеству получаемого ресурса. В первом случае (рис. 2) эволюция проходит как бы в более жестких условиях: большее число элементов теряют все связи, вследствие чего быстрее убывает среднее количество ресурса на один элемент, быстрее происходит расслоение элементов по количеству имеющихся связей, возникают более жесткие требования к этим связям. Во втором случае (рис. 3)

Рис. 3. Эволюция системы, в которой оптимизация проводится по количеству получаемого ресурса и количество связей во всей системе фиксировано

каждый элемент как бы заботится о своем «ресурсном благополучии» и это смягчает все происходящие процессы: значительно медленнее происходит дифференциация элементов по количеству связей и медленнее убывает количество ресурса в системе.

В системах, где ограничение по количеству связей накладывается на элементы, наблюдается качественно другое поведение (рис. 4 и 5):

Рис. 4. Эволюция системы, в которой оптимизация проводится по расстоянию между элементами и ограничено количество связей у одного элемента

Рис. 5. Эволюция системы, в которой оптимизация проводится по количеству получаемого ресурса и ограничено количество связей у одного элемента

почти все элементы устанавливают почти максимально возможное число связей и очень быстро выходят на максимально возможное количество ресурса. Практически любые отклонения от максимальных показателей объясняются существованием некоторой постоянной перестройки системы связей – какие-то связи разрываются, а на их месте начинают образовываться новые.

Опишем теперь, чем можно охарактеризовать процесс самоорганизации в рассмотренных системах. Для этого проанализируем, как располагаются связи в пространстве внутренних характеристик элементов. Как уже отмечалось выше, это пространство представляет собой единичный куб, а каждый элемент системы может быть представлен точкой в этом кубе. Каждой связи между элементами поставим в соответствие отрезок, соединяющий эти точки. Для наглядности рассмотрим проекцию этого куба на одну из координатных плоскостей (в нашем случае – плоскость параметров ( Z , P )) и набор возможных значений, которые принимают углы наклона этих отрезков. Этот набор является дискретным множеством, потому что координаты вершин отрезков, т. е. координаты элементов системы в пространстве своих внутренних характеристик, принимают конечный набор значений. Изучим, какое количество элементов принимает то или иное значение и как оно изменяется со временем.

Рассмотрим эволюцию системы в случае, когда ограничено максимальное число связей для каждого элемента. На рис. 6

Рис. 6. Пример самоорганизации в системе с ограничением на количество связей у одного элемента

представлены примеры положения связей на плоскости и гистограмма по значениям их наклонов в моменты времени Step=1 и 150. Очень хорошо видно, что возможных значений углов наклона остается значительно меньше, чем вначале, и общее число связей с углами наклона отличными от 0 и 90 градусов, уменьшается.

В случае, когда ограничено общее число связей в системе, пример эволюции приведен на рис. 7.

Рис. 7. Пример самоорганизации в системе с ограничением на общее количество связей

Хорошо видно, что упорядочение связей происходит не столько по значениям углов наклона, сколько по значению одного из параметров, определяющих поведение системы, – процента ресурса, который элемент может распределить по связям. Таким образом, самоорганизация в системе заключается в том, что с течением времени в системе остаются только те элементы, которые тратят на систему как можно больше своих ресурсов.

Возвращаясь к модельному примеру, связанному с информационным общением в Internet, обсудим результаты приведенного моделирования. Отметим, что обсуждается процесс с постоянными психологическими характеристиками элементов и интересами участников.

В системе, где ограничено количество связей у каждого элемента, наблюдается постоянный выход на более или менее фиксированный круг корреспондентов у каждого участника сетевого общения. При этом все участники практически полностью удовлетворяют свои информационные потребности (информационный ресурс всех элементов находится на максимуме). Самоорганизация в этих системах заключается в том, что со временем большинство участников системы находят себе наиболее близких и интересных собеседников, которые обеспечивают их основной, регулярной, необходимой информацией, получаемой от общения в сети.

Система, в которой ограничено общее количество связей, моделирует информационное общение в сети, в которой имеется мало коммутируемых каналов. Тогда для получения возможности общения в сети участники должны сначала получить этот канал связи. Время получения такого канала может оказаться достаточно большим, поэтому участники общения в системе, которые не готовы тратить достаточно много времени, вынуждены отказываться от таких источников информации и не пользоваться такими сетями. Фактически, с течением времени, остаются только те члены сообщества, которые готовы, по разным причинам, тратить практически все свое время на общение в сети с такими же единомышленниками (такие люди являются энтузиастами своего дела и, в период становления Internetа, только благодаря им, как мы прекрасно видели, шло развитие сетевых технологий). Тем самым первые не получают от сети никакой информации, вторые же удовлетворяют свои информационные потребности полностью. Самоорганизация в таких системах как раз и заключается в таком расслоении членов данного сообщества.

Заканчивая обсуждение предложенной модели, выскажем некоторые замечания.

В рассмотренных моделях можно выделить два характерных масштаба времени:

Если рассматривать системы с ограничением на количество связей для каждого элемента, то значение ресурса, которым обладает элемент, приобретает максимальное значение в пределах первых 10 шагов по времени. Это первое характерное время, описывающее поведение исследуемой системы. Время же, описанной выше, самоорганизации в этих системах, составляет более 100 шагов по времени.

Создавая искусственно начальное неравномерное распределение элементов в пространстве внутренних характеристик (две большие группы в противоположных углах этого пространства), получаем группировку элементов по этим характеристикам. Устанавливаемые связи располагаются преимущественно внутри группы элементов с близкими значениями внутренних характеристик, и это происходит за период времени, характерный для самоорганизации системы, то есть порядка сотни шагов по времени.

Заключение

Дальнейшие варианты развития этого класса моделей связаны со следующими направлениями:

На этом пути исследовались разные модели процесса общения людей между собой, в одной из которых была получена интерпретация четырех основных психологических типов людей: сангвиник, холерик, флегматик и меланхолик. В этих моделях расстояние между элементами рассматривалось как в пространстве внутренних характеристик элементов, так и в физическом пространстве элементов. Изучались варианты, когда элементы на каждом шаге создавали некоторое количество ресурса, в зависимости от своих характеристик, и, кроме того, оптимизация проводилась не только по количеству ресурса, но и по количеству связей, устанавливаемых элементом.

Еще одним интересным направлением применения моделей данного класса является экономическое поведение индивидуумов. В частности, анализируя поведение системы с взаимодействием элементов по принципу дополнительности и возможностью менять свои внутренние характеристики в зависимости от внешних и внутренних условий, было получено поведение системы и распределение элементов по своим характеристикам свойственное для «дикого» капитализма и периода первичного накопления капитала.

Таким образом, изучение моделей, относящихся к клеточным сетям с переменной структурой связей, сейчас проходит период, так называемого, первичного накопления эмпирических фактов. С прикладной точки зрения, исследуются возможные постановки задачи, классы явлений, описываемых этими моделями, адекватность интерпретаций и согласованность с результатами в соответствующих предметных областях. С теоретической точки зрения, изучаются динамики системы, характерные и возможные в данном классе моделей, а также подбираются математические методы для возможного построения математической теории клеточных сетей с переменной структурой связей.

В заключение я хотел бы поблагодарить члена-корреспондента РАН С.П. Курдюмова и профессора Г.Г. Малинецкого за постоянное внимание к этой работе и ее поддержку, а также своих студентов и дипломников: Зайцева С.В., Козлова Д.А. и Серебрякова Д.В., разрабатывавших и анализировавших различные варианты моделей этого класса и внесших свой вклад в это научное направление, имеющее, по всей видимости, большие перспективы.

Литература

1. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М., Наука, 1979.

2. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М., Наука, 1992.

3. Хакен Г. Синергетика. М., Мир, 1980.

4. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М., Мир, 1985.

5. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М., Мир, 1979.

6. Головина Г.М., Крылов В.Ю., Савченко Т.Н. Математические методы в современной психологии: статус, разработка, применение. М., Институт психологии РАН, 1995.

7. Математическое моделирование исторических процессов. Сб. статей под ред. Л.И. Бородкина. М., 1996.

8. Вартовский М. Модели. Репрезентация и научное понимание. М., Прогресс, 1988.

9. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М., Мир, 1971.

10. Крылов В.Ю. Методологические и теоретические проблемы математической психологии. М., Янус-К, 2000.

11. Павловский Ю.Н. Имитационные модели и системы. М., Фазис, ВЦ РАН, 2000.

12. Льюс Р., Райфа Х. Игры и решения. Введение и критический обзор. М., Изд. иностр. литер., 1961.

13. Бестужев-Лада И.В. Будущее предвидимо, но не предсказуемо: эффект Эдипа в социальном прогнозировании. В сб. «Пределы предсказуемости». Ред. Кравцов Ю.А. М., ЦентрКом. 1997.

14. Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. М., Прогресс-Традиция, 2000.

15. Синергетика и психология. Материалы круглого стола. 10 марта 1997 г., Санкт-Петербург, Доклады.

16. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М. и Л., 1963.

17. Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. М., Мир, 1991.

18. Чернавский Д.С. Синергетика и информация. М., Знание, 1990 г., (Новое в жизни, науке и технике. Математика, кибернетика. N 5).

19. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М., Наука, 1984.

20. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и исторический прогноз The Edwin Mellen Press, 2000.

21. Кульба В.В. Об информационном управлении. Информатика и вычислительная техника. 1996, №1 ? 2.

22. Мелик-Гайказян И.В. Информационные процессы и реальность. М., Наука, 1997.

23. Налимов В.В. Вероятностная модель языка. М., Наука, 1979.

24. Mathematical methods in social sciences. Stanford, 1962.

25. Reading in mathematical psyhology. N.Y., 1963.

26. Крылов В.Ю. Геометрическое представление данных в психологических исследованиях. М., Наука, 1990.

27. Гельфанд И.М., Розенфельд Б.И., Шифрин М.А. Очерки о совместной работе математиков и врачей. М., Наука, 1989.

28. Пределы предсказуемости. Ред. Кравцов Ю.А. М., ЦентрКом. 1997.

29. Цетлин М.Л. Исследования по теории автоматов и моделированию биологических систем. М., Наука, 1969.

30. Popper K.R. The open society and its enemies. London, 1945. Русский перевод: Поппер К. Открытое общество и его враги. Международный фонд «Культурная инициатива» Soros foundation (USA), М., 1992.

31. Анализ систем на пороге XXI века: теория и практика. Материалы международной конференции. Москва 27-29 февраля 1996 г., М., Интеллект, 1996.

32. Кузнецова Д.В. Математическое моделирование коммуникационных процессов в средней группе. Сорок первая научная конференция МФТИ. 27-28 ноября 1998 г. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. ч.2., Тезисы. Изд. МФТИ, Долгопрудный 1998.

33. Кузнецова Д.В., Митин Н.А. Математическое моделирование коммуникационных процессов в социальных средах. VI международная конференция «Математика, компьютер, образование». Пущино, 24-31 января 1999 г., Тезисы. Москва 1999 г.

34. Малинецкий Г.Г., Кащенко С.А., Потапов А.Б. и др. Математическое моделирование системы образования. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, N 100, 1995.

35. Малинецкий Г.Г., Кащенко С.А., Потапов А.Б. и др. Исследование развития высшей школы. Модели среднего уровня. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, N 37, 1996.

36. Akhromeeva T.S., Kaschenko S.A., Kurdyumov S.P. et al. Higher education as an object of mathematical modeling. PhysTech. Journal, 1997, v. 3, № 2, p. 115-145.

37. Малинецкий Г.Г., Кащенко С.А., Потапов А.Б. и др. Математическое моделирование системы образования. В сборнике «Синергетика и методы науки.», С.-Петербург, Наука, 1998 г.

38. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М., УРСС, 2001.

39. Трофимова И.Н., Митин Н.А., Потапов А.Б., Малинецкий Г.Г. Описание ансамблей с переменной структурой. Новые модели математической психологии. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, N 34, 1997.

40. Митин Н.А. Анализ некоторых моделей математической психологии. Труды V Международной конференции «Математика, компьютер, образование», Дубна, 1998.

41. Митин Н.А. Математическое моделирование и самоорганизация информационных потоков в социальных средах. V Всероссийская конференция «Нейрокомпьютеры и их приложения». Сборник докладов. Москва, 17-19 февраля 1999.

42. Митин Н.А. Самоорганизация в некоторых моделях математической психологии. VI Международная конференция «Математика, компьютер, образование». Пущино, 24-31 января 1999 г., Тезисы. Москва 1999.

43. Митин Н.А. Новая модель информационно-го взаимодейст-вия в социаль-ных системах. В сб. «Математическое моделирование социальных процессов.» Вып. 2, МГУ, Социологический факультет, Москва, 2000.

44. Гейтс Б. Дорога в будущее. М., Русская редакция, 1996.

45. Гейтс Б. Бизнес со скоростью мысли. М., Эксмо-пресс, 2001.

46. Ионов Д.В., Митин Н.А. Модель динамической перколяции. Сорок первая научная конференция МФТИ. 27-28 ноября 1998 г. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. ч.2., Тезисы. Изд. МФТИ, Долгопрудный 1998.

47. Ионов Д.В., Митин Н.А. Модель динамической перколяции. VI Международная конференция «Математика, компьютер, образование». Пущино, 24-31 января 1999 г., Тезисы. Москва 1999.

48. Ионов Д.В., Митин Н.А. Динамическая перколяция – новая модель утечки информации. Материалы шестой Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем». Тезисы докладов. Москва 1999.

49. Bak P. How nature works: the science of self-organized criticality. Springer–Verlag, New-York, Inc. 1996.

50. Малинецкий Г.Г., Митин Н.А. Нелинейная динамика в проблеме безопасности. В сборнике «Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур». М.: Наука, 1996.

51. Малинецкий Г.Г., Митин Н.А. Самоорганизованная критичность. Журнал физической химии. Том 69, № 8, с. 1513-1518, 1995.

52. Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Парадигма самоорганизованной критичности. Иерархия моделей и пределы предсказуемости. Прикладная нелинейная динамика (Известия ВУЗов), 5(5), 89, 1997.

53. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М., Наука, 1974.

54. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М., Наука, 1978.

55. Мохонько Е.З. Динамика информационных процессов в неантагонистических играх. Автореферат дисс. на соискание степени д.ф.–м.н., М., 1997.

56. Малинецкий Г.Г., Митин Н.А., Потапов А.Б. и др. Изменение структуры высшей школы России. Модели среднего уровня. Тезисы докладов III-ей международной конференции: «Математика, компьютер, образование», Дубна, 1996.

57. Малинецкий Г.Г., Митин Н.А. Нелинейная динамика в проблеме безопасности. Проблемы безопасности. 1994. №11.

58. Малинецкий Г.Г., Митин Н.А. Анализ безопасности сложных систем и методы нелинейной динамики. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1994 г. N 85.

59. Малинецкий Г.Г., Митин Н.А., Потапов А.Б., Шакаева М.С. Математическое моделирование системы высшего образования. Тезисы докладов 2-ой конференции: «Математика, компьютер, образование», Пущино, 1995.

60. Малинецкий Г.Г., Митин Н.А., Подлазов А.В. Новые аспекты самоорганизованной критичности. Тезисы международной конференции «Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах» Суздаль, 1995.

61. Малинецкий Г.Г., Митин Н.А., Трофимова И.Н., Потапов А.Б. Структурный анализ индивидуальных различий и построение динамических моделей на основе эволюционно-синергетического подхода. Труды IV Международной конференции «Математика, компьютер, образование». Москва-Пущино, 1997.

62. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Митин Н.А., Потапов А.Б. Синергетический подход к моделированию социально-психологических явлений. В сборнике «Синергетика и психология. Материалы круглого стола. 10 марта 1997 г. Санкт-Петербург. Доклады.» 1997.

63. Малинецкий Г.Г., Митин Н.А., Трофимова И.Н., Потапов А.Б. Структурный анализ индивидуальных различий и построение динамических моделей на основе эволюционно-синергетического подхода. Тезисы докладов IV Международной конференции «Математика, компьютер, образование». Москва-Пущино, 1997.

64. Митин Н.А. Безопасность в социально-психологических системах. «Проблемы управления безопасностью сложных систем» Пятая международная конференция. Москва, 1998 г. Тезисы докладов.

65. Митин Н.А. Сравнительный анализ некоторых моделей математической психологии. Тезисы докладов V Международной конференции «Математика, компьютер, образование». Дубна, 1998.

66. Гумилев Л.Н. Этногенез и биосфера Земли. Ленинград, Изд. Ленинградского Университета, 1989.

67. Mainzer K. Thinking in complexity. The complex dynamics of matter, mind, and mankind. Springer, 1996.

68. Waldrop M.M. Complexity: The emerging science at the edge of order and chaos. – Touchstone, New York, 1993.

69. Лем С. Сумма технологии. М., Мир, 1968.

70. Тойнби А.Дж. Постижение истории. М., Прогресс, 1991.

71. Гумилев Л.Н. География этноса в исторический период. Ленинград, Наука, 1990.

72. Лоренц К. Агрессия. М., Издательская группа «Прогресс», «Универс», 1994.

73. Levin K. Principles of topological psychology. N.Y. 1936.