И.А. Евин
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН

Понимание общих принципов построения и функционирования сетей заставило по-новому взглянуть на многие прикладные задачи в самых различных научных областях – от повышения безопасности Интернет и борьбой с распространением эпидемий в обществе до изучения структуры художественных произведений, прошедших проверку временем. Сейчас можно наблюдать разворачивание широкого фронта исследований структурной организации искусства и культуры с точки зрения современной теории сетей. Уже выявлены некоторые количественные и качественные закономерности, как в структуре отдельных художественных произведений, так и в социальной организации некоторых направлений художественного творчества

Введение

В 1967 году социолог из Гарвардского университета С.Милграм ( Stanley Milgram ) на основе своего сравнительно простого исследования сделал удивившее многих утверждение: каждого человека можно связать с любым другим человеком на земном шаре цепочкой из шести знакомых. Исследование Мильграма заключалось в том, что он разослал 60 писем с одинаковым содержанием, случайно выбранным людям в разных городах США. В каждом из этих письмах сообщалось, что данное письмо должно достигнуть определенного человека в Бостоне, с которым эти 60 человек не были знакомы, и адрес этого человека им не был известен. Каждый из получивших такое письмо должен переслать его одному из своих знакомых, который, по его мнению, может ему помочь достигнуть нужного конечного адресата [1].

Как оказалось, в конечном итоге большинство писем достигло нужного человека в Бостоне, причем каждое письмо в среднем опускалось в почтовый ящик 5,5 раза. Этот эксперимент считается первым эмпирическим доказательством «явления тесного мира» (“ small world phenomenon ”). Недавно этот эксперимент был повторен на международном уровне с использованием электронной почты. Результат тот же – каждое электронное письмо достигало нужного адресата в среднем через шесть посредников.

Это действительно нетривиальный результат: несмотря на то, что на Земле живет более шести миллиардов людей, мир оказался действительно сильно взаимосвязанным. Это свойство социальной коммуникации получило еще название «шесть ступеней разделения» — по названию бродвейской пьесы [2], а затем и фильма (“ Six degrees of separation ”). Героиня этого фильма говорит:

Я где-то читала, что каждый на нашей планете отделен от другого человека только шестью людьми. Шесть ступеней отделения…. Между нами и любым другим на планете. Президентом Соединенных Штатов. Гондольером в Венеции….. Не обязательно известные имена. С любым. Можно найти ровно шесть людей, чтобы установить связь. Туземцем в джунглях. Эскимосом. …Каждая персона как новая дверь, распахнутая в остальной мир.

В середине 1990 годов С. C трогатц ( Steven Strogatz ) и его аспирант Д.В o ттс ( Duncan Watts ) из Корнельского университета в Итаке (штат Нью-Йорк, США) решили изучить свойство коммуникационных систем, которые обладают свойством “тесного мира”. Такие сложные системы можно описать в виде сетей, узлами которых являются элементы этих систем. Например, все население Земного шара можно изобразить в виде гигантской сети, узлами которой являются каждый отдельный человека. Узлы в такой сети будут соединены между собой, если соответствующие им люди знакомы друг с другом.

Социологические исследования показывают, что люди сгруппированы в малые кластеры друзей, коллег и знакомых и эти кластеры обычно слабо связаны с другими аналогичными кластерами. Поэтому чем лучше ваши друзья знают друг друга, тем в меньшей степени вы можете рассчитывать на то, что они помогут вам связаться с незнакомым вам человеком [3,4].

Исследования различных типов коммуникационных сетей показало, что свойствами «тесного мира» обладают сети с высокой степенью кластеризации. Структура Интернета и Всемирной Паутины – сети, размеры которых еще больше, чем сеть жителей земли, также обладает свойством «тесного мира». Ученые из университета Нотр Дам, США, показали, что среднее число «кликов», которые необходимо сделать, чтобы перейти от одной Web -странички (общее число таких страничек в Интернете примерно в тысячу раз превышает число жителей Земли) на любую другую равно 18 и, следовательно, всемирная паутина также представляет собой “тесный мир”.

В 1999 году физик из университета Нотр Дам ( Notre Dame ) (Индиана, США) Л.Барабаши ( Laszlo Barabasi ) вместе со своей аспиранткой Р.Альберт ( Reka Albert ) изучали свойства реальных сетей с несколько иной точки зрения. Если Строгатц и Воттс в своем исследовании сетей исходили из феномена «тесного мира», то Барабаши и Альберт решили исследовать закон распределения узлов некоторых реальных сетей по числу связей [5].

Оказалось, что соответствующее распределение подчиняется хорошо известному в социологии закону концентрации и рассеяния. Поясним смысл этих понятий на примере распределения научных работников по их продуктивности. Концентрация — это накопление статей на небольшой множестве высокопродуктивных ученых, то есть наличие малой группы научных работников, пишущих основную массу статей. Рассеяние заключается в распределении оставшейся массы печатной продукции по большому числу малопродуктивных ученых.

Явление концентрации и рассеяния поистине универсальны в социальной системе. Этот рост населения городов-гигантов и рост числа малых городов. Концентрация капитала в небольшом числе крупных фирм и рост числа малых фирм с небольшим капиталом. Концентрация основного содержания текста в малом числе слов и резкое возрастание числа слов при расширении этого содержания.

Этому феномену американский социолог Роберт Мертон дал название “эффект Матфея”, имея в виду библейское изречение “имущему дается…”[6]. Существуют и другие афористические выражения этого явления: “успех порождает успех”, “ресурс идет к ресурсу”, “деньги — к деньгам” и т.д.

Таким образом, во многих реальных сетях небольшое число узлов содержит очень большое число связей, а огромное число узлов содержит лишь несколько связей. Такие сети получили название безмасштабных сетей ( scale free networks ) [5]. Понятия «шесть ступеней разделения», сети со свойствами «тесного мира», «безмасштабные сети», еще несколько лет назад знакомые лишь узкому кругу специалистов, в настоящее время стали частью общественного сознания, вошли в современную популярную культуру.

Язык как сетевая структура

В 2001 году была сконструирована сеть для английского языка, в которой узлами являются слова. Два узла связаны между собой связью в том случае, если оба соответствующих этим узлам слова могут появиться в осмысленном предложении. Было обнаружена, что такая сеть, содержащая 440902 слова, обладает всеми свойствами безмасштабных сетей. Свойство «тесного мира» в такой сети проявляется в том, что переход от одного слову к любому другому можно совершить не более чем через три слова [9]. Аналогичные исследования были проведены для немецкого, чешского, румынского и других языков и их сетевые свойства оказались очень близкими для сети английского языка [10].

Сетевая структура героев древнегреческих мифов

В западноевропейской культуре древнегреческие мифы стали основой для развития сюжетов в литературе и в живописи. На протяжении трех тысяч лет писатели, поэты, художники, композиторы используют в своем творчестве мифологические образы древней Греции. Возможно, и сейчас эти сюжеты и образы формируют нас в большей степени, чем современная литература.

Словарь классической греческой мифологии Гранта и Хазеля содержит биографии всех персонажей древнегреческих мифов, как всем известных богов, так и малоизвестных нимф [7]. Всего в словаре 1647 богов, нимф, чудовищ, сирен, простых смертных.

На основе этого словаря была сконструирована сеть межличностных связей героев древнегреческих мифов [8]. В этой сети каждому узлу соответствует определенный персонаж, а узлы А и В соединены связью, если в при описании персонажа А появляется персонаж В и наоборот.

Например, Акакаллида, дочь Миноса и Пасифаи, родила Аполлону сына Амфидемиса и, возможно, Милета. Следовательно, Акакаллида связана с этими пятью персонажами направленными от нее связями. Если ее имя будет упоминаться в историях, связанных с другими героями, то появятся связи направленные к ней самой. На рисунке 1 показан фрагмент сети всех персонажей древнегреческой мифологии относящийся к Акакаллиде.

Рисунок 1. Фрагмент сетевой структуры героев древнегреческих мифов.

Показаны межличностные связи Акакаллиды – критянской нимфы. Для этого персонажа число выходящих и входящих связей соответственно .

Сконструированная таким образом сеть оказалась безмасштабной сетью со свойствами «тесного мира». В таблице1 указаны персонажи греческих мифов с наибольшим числом связей.

Таблица 1

Среднее число шагов между узлами в этой сети равняется 3,47, то есть персонаж древнегреческих мифов образуют сеть со свойствами «тесного мира». Более детальный анализ показывает, что она обладает также свойствами безмасштабных сетей и представляет собой иерархически организованную структуру сходную со структурой сети актеров Голливуда, которая будет описана ниже.

Сетевая структура взаимоотношений героев литературных произведений

Большой интерес представляет изучение свойств сетей, сконструированных для того, чтобы описать структуру литературных произведений. Д.Стиллер (James Stiller), Д. Неттл (Daniel Nettle) и Р.Данбар (Robin Dunbar) исследовали структуры взаимодействия персонажей в десяти наиболее популярных пьесах В.Шекспира. Каждый персонаж пьесы является узлом соответствующей сети. Два узла такой сети связаны между собой, если соответствующие персонажи хотя бы раз одновременно появлялись на сцене [11].

Анализ построенных сетей для всех десяти пьес показал, что герои связаны друг с другом не более чем двумя степенями разделения, а социальные связи в этих пьесах имеют высокую степень кластеризации. Увеличение числа персонажей в пьесах Шекспира ведет к росту числа социальных групп, драма увеличивается в размерах, но коммуникативные связи становятся менее насыщенными.

Обычно общее число персонажей в пьесах Шекспира варьирует в пределах 30-40, что сравнимо с размерами древних охотничьих сообществ и числом социальных контактов человека в современном обществе. Возможно, эта величина соответствует тем пределам когнитивных способностей человека, за которыми уже становится затруднительным отслеживание всех возможных изменений в структуре социальных контактов.

Аналогичные исследования были проделаны для изучения сетевой структура межличностных связей основных персонажей романа Виктора Гюго “Отверженные” [12]. Такая сеть также обладает свойствами «тесного мира». Мазуччи ( A . Masucci ) и Роджерс ( C . Rodgers ) построили сеть семантических связей слов в романе Дж.Оруэла «1984» по мере их появления в тексте [13] и также обнаружили свойства «тесного мира» в такой сети.

Безмасштабные сети музыкальных произведений

Партитура музыкального произведения легко преобразуется в сетевую структуру, если в качестве узлов такой сети взять музыкальные ноты всех возможных длительностей. Нетрудно подсчитать, что число узлов в такой сети не будет превышать 1800. В самом деле, число клавишей у рояля равно 88 и, умножая это число на 20 – число длительностей ноты (половинные, четверти, восьмые и т.д.), получаем 1760. Связи между узлами (нотами) в сети устанавливаются по хронологическому принципу: если нота I начинает звучать в момент времени T , а нота J в этот момент заканчивает свое звучание, то между соответствующими узлами сети имеет место связь.

Ли ( Xiaofan Liu ), Тсе ( Chi K . Tse ) и Смол ( Michael Small ) из политехнического университета Гонконга проанализировали статистические свойства сетей, построенных по описанному выше принципу, для произведений Баха, Моцарта, Шопена и современных китайских композитов, работающих в жанре поп музыки. Все эти сети оказались безмасштабными. Среднее число шагов между узлами в этих сетях варьируют в диапазоне от 2.8 до 4.2. Другие параметры сетей также изменялись довольно значительно для различных произведений.

Сеть актеров кино

Была изучена база данных актеров кино ( Internet Movie Database ), которая содержит все фильмы Голливуда и перечень всех играющих в них актеров с 1890 годов. В этой сети узлами являются актеры и два узла имеют связь, если оба соответствующих актера снимались в одном фильме. В 2000 году эта сеть, обладающая свойством «тесного мира» и свойствами безмасштабных сетей, содержала 449913 узлов (актеров)[3].

Исследование этой сети показали, что любой американский актер кино может быть соединен с любым другим актером, снимавшимся в Голливуде, цепочкой не более чем в четыре звена. Например, Чарли Чаплина можно связать а актером Кевином Баконом тремя звеньями: Чаплин снимался в фильме «Графиня из Гонконга» с Марлоном Брандо, который, в свою очередь, снимался в фильме «Апокалипсис сегодня» с Лоренсом Фишбурном, а последний снялся с К.Баконом в «Серебре».

Сеть сотрудничества джазовых музыкантов

Аналогичное исследование было проделано для сети сотрудничества джазовых музыкантов США в период наибольшего расцвета этого вида искусства с 1912 по 1940 годы. Для создания такой сети была использована единая база данных всех звукозаписывающих студий США. Дело в том, что многие музыканты того времени играли либо одновременно, либо в разное время в различных джазовых ансамблях. Понятно, что узлами в такой сети являются сами музыканты, а узлы соединены между собой, если соответствующие им музыканты играли в одном ансамбле. Всего такая сеть содержит 1275 имен, и ее исследование показало, что она обладает свойством «тесного мира» со средним числом шагов равным 2,79.

Таблица 2.

. В таблице 2 указаны имена 10 музыкантов, которые больше других сотрудничали со своими коллегами.

Заключение

Когда было обнаружено, что многие сложные системы имеют сходную архитектуру с аналогичными свойствами, ученые стали изучать причину такой универсальности. Оказалось, что соответствующие сетевые структуры очень устойчивы к случайным отказам. Например, в каждый момент времени сотни связей в Интернет выходят из строя, и, тем не менее, в этой сети редко возникают серьезные нарушения. Причина такой устойчивости – в неоднородности самой структуры таких сетей, их высокой степени кластеризации. С другой стороны такие сети оказались уязвимыми к скоординированным воздействиям на узлы с большим числом связей.

Понимание общих принципов построения и функционирования сетей заставило по-новому взглянуть на многие прикладные задачи в самых различных научных областях – от повышения безопасности Интернет и борьбой с распространением эпидемий в обществе до изучения структуры художественных произведений, прошедших проверку временем. Сейчас можно наблюдать разворачивание широкого фронта исследований структурной организации искусства и культуры с точки зрения современной теории сетей. Уже выявлены некоторые количественные и качественные закономерности, как в структуре отдельных художественных произведений, так и в социальной организации некоторых направлений художественного творчества.

Литература

•  Milgram S. The small world problem. Psychology Today. 1967, 2. 60-67

•  Guare Jhon. Six Degrees of Separation. Vintage Books, New York, 1990

•  Duncan Watts. Six degrees. W.W.Norton &Company, New York, 2004

•  Strogatz S. Sync. Hyperion books, New York, 2003

•  Barabasi A-L. LINKED: the new science of networks. Perseus, Cambridge, MA, 2002

•  Merton R. The Mattew Effect in Science. //Science. –1968. V.159. -N3810. P.56-63

•  Grant M. and. Hazel J. Gods and Mortals in Classical Mythology: A Dictionary. Dorset Press, 1985

•  Yeon-Mu Choi and Hyun-Joo Kim. A Directed Network of Greek and Roman Mythology. A rXiv:physics/0506142 v1 16 Jun 2005

•  Motter A., de Moura A., Lai Y., Dasgupta P. 2002, Topology of conceptual network of language. Physical Review E, 65, 065102

•  Ferrer-i-Cancho, R., Sole, R., Kohler, R. Patterns in Syntactic Dependency Networks., 2004 Physical Review E , 69, 05915

•  James Stiller, Daniel Nettle и Robin Dunbar. The Small World of Shakespeare's Plays. Human Nature, vol.14, N 4, 2003, pp.379-408

•  Newman M., and Girvan M. Finding and Evaluating Community Structure in Networks. 2004 Physical Review E , 69, 026113

•  Masucci A.P. and Rodgers G.J. Network properties of written human language. Physical Review E 74, 026102 (2006)

Аннотация

В статье дан краткий обзор нового направления в теории искусства – теории сетевых структур. Особое внимание обращено на структуры со свойствами «тесного мира» и безмасштабные сети. Причина широкого распространения и универсальности свойств таких структур заключается в их высокой степени неоднородности.

Abstract.

In this paper the brief review of the new direction in art science — the theory of network structures — is given. The special attention is turned on networks with “small world” and scale-free properties. The reason of ubiquity and universality of structures with such properties consist in their high degree of non-homogeneity.