Большинство этих моделей нелинейны. Формально это означает, что исследуемые уравнения содержат нелинейные функции (линейные функции y=ax, z=ax+by и т.д., нелинейные y=sin x, y=ax2, z=+by, где a и b всюду некоторые числа). Для них несправедлив принцип суперпозиции (наложения), позволяющий «сшивать» решение более сложной задачи из решений более простых задач. Эти уравнения описывает ситуацию, в которой изменение внешних воздействий в k раз, в отличие от линейных, не приведет к пропорциональному отклику объекта. По существу, нелинейность означает огромное разнообразие поведения и богатство возможностей, — пороговые эффекты, неединственность решений, существование хаотических траекторий, парадоксальный «антиинтуитивный» отклик при изменении внешних воздействий.

Мы имеем счастье жить в сложном и удивительном нелинейном мире. Огромную, вероятно, до сих пор не вполне осознанную, роль в его познании сыграли компьютеры, позволившие исследовать множество нелинейных математических моделей, описывающих нашу реальность. Возникла положительная обратная связь. Результаты компьютерного анализа приводят к рождению новых теорий, понятий, моделей. Изучение этих моделей с помощью вычислительных машин приводит к рождению теорий и моделей нового поколения и т.д.

Одним из принципиальных результатов этой «гонки», увлекшей немалую часть научного сообщества, стала концепция самоорганизации. Обратим внимание еще раз на картинки течения жидкости. В них видна организация и упорядоченность, симметрия. Отсюда напрашивается вывод, что для их математического описания нужно небольшое число переменных. Но в каждом случае это свои переменные. Какие они, как возникают, подчиняя себе остальные степени свободы, как изучать их динамику, исследует междисциплинарный подход, называемый теорией самоорганизации или синергетикой. Само слово и принципиальная роль в создании этого подхода принадлежат немецкому ученому Г.Хакену.

В самоорганизации, появлении упорядоченности, важную роль играют диссипативные процессы — диффузия, вязкость, теплопроводность и множество других. Разумеется, физики всегда понимали роль этих явлений — без трения нам бы не удалось ходить пешком, а без вязкости двигаться на весельной лодке. Однако представление о том, что эти процессы, уничтожающие порядок в простейших линейных системах, могут быть в нелинейном мире «архитекторами упорядоченности», до сих пор кажется парадоксальным. Чтобы подчернуть необычность этого взгляда, один из основоположников теории самоорганизации И.Пригожин назвал упорядоченность, возникающую в открытых нелинейных системах, далеких от равновесия, и существенно связанную с рассеянием энергии, вещества или информации, диссипативными структурами.

В ходе математического моделирования такие структуры были, вероятно, впервые найдены в 1952 г. Аланом Тьюрингом. Они были обнаружены в ходе математического моделирования одного из наиболее сложных и интересных биологических явлений — морфогенеза. Морфогенез или клеточная дифференцировка замечателен тем, что в ходе деления и развития клеток, содержащих одинаковую генетическую информацию, возникает сложнейшая организация, каковой является организм.

А.Тьюринг предположил, что в основе морфогенеза лежат химические процессы. Распределение гипотетических химических реагентов — активатора и ингибитора в первоначально однородной ткани, приобретая неоднородность, может «указать» клеткам, какие свойства в каких пространственных областях им следует приобретать. Уравнения, предложенные Тьюрингом, имели вид

ut = D1u + f (u,v)

vt= D2u + g (u, v) (1)+

Здесь u — концентрация активатора, v — ингибитора, D1 и D2 — соответственно коэффициенты диффузии первого и второго вещества, f(u, v) и g(u, v) — нелинейные функции, определяющие кинетику реакций между активатором и ингибитором,— оператор Лапласа (), традиционно возникающий при моделировании диффузионных процессов.

После некоторого переходного периода возникали пространственно-неоднородные стационарные (т.е. не зависящие от времени) диссипативные структуры. Примерно такие, как показано на рис.12. Когда ответ известен, его можно пояснить на пальцах. Коэффициент диффузии активатора обычно выбирается существенно меньше, чем ингибитора. Поэтому последний «не успевает» стабилизировать процессы во всей области и «уследить» за активатором.

Рис. 12. Типичный пример стационарной диссипативной структуры в двухкомпонентной среде типа реакция-диффузия. Такие структуры возникают при математическом моделировании морфогенеза, описании ряда химических реакций, неустойчивостей в полупроводниках, расселении биологических видов по ареалу и во многих других задачах.

Тем не менее, возникновение таких структур требует достаточно тонкого взаимодействия положительных и отрицательных обратных связей. Первые должны сделать пространственно-однородное состояние неустойчивым и обеспечить возможность рождения структур. Вторые нужны, чтобы стабилизировать процессы вдали от равновесия и задать диапазон, в котором будут меняться концентрации.

В XX в. теория управления, кибернетика, экономика, социология и множество других дисциплин огромное внимание уделили механизмам, обеспечивающим отрицательные обратные связи. Именно они во множестве ситуаций позволяют сохранить «статус кво». Положительные обратные связи, на наш взгляд, оказались недооценнеными. Однако вначале появились оригинальные простейшие производственные технологии, где важно обеспечить спонтанный уход от равновесия, а затем и социальные, политические, экономические технологии, ориентированные на эти связи. Ярким примером успеха такого подхода влиятельные американские экономисты считают создание и развитие Кремниевой долины в Калифорнии, ставшей «законодателем мод» в микроэлектронике.

Возникает соблазн изучить действие нелинейной положительной обратной связи «в чистом виде», не привлекая каких-либо усложняющих факторов и отвлекаясь от множества подробностей, связанных с описанием отдельных систем. Эта работа и была проведена упоминавшейся научной школой в Институте прикладной математики, МГУ и МФТИ, к которой и относят себя авторы этой книги.

Наиболее яркими и важными оказались результаты исследования нелинейной среды, в которой есть только два конкурирующих процесса. Это нелинейный источник, отражающий положительную обратную связь — Q(T), и диссипативный процесс, нелинейность которого определяется коэффициентом k(T)

Tt = (k(T)Tx)x + Q(T) (2)

Если эти функции имеют степенной вид:

Q(T) = q0, k(T) = k0, k0, q0,> 0,>0 (3)

то модель (2) называют моделью тепловых структур. Название связано с ее происхождением — первоначально она представлялась как упрощенная модель ряда процессов в физике плазмы и в теории управляемого термоядерного синтеза. Однако генезис модели сейчас не важен и ее вполне можно трактовать как феноменологическое описание распространения информации о некоторой проблеме в научном сообществе.

При такой интерпретации «пространственная координата» x характеризует интенсивность контактов «удаленность друг от друга» членов научного сообщества, переменная t — время, T — плотность информации в научном сообществе. Смысл нелинейных зависимостей также весьма прост. Растущая функция Q(T) отражает тот факт, что чем больше мы знаем, тем больше шансов узнать что-то еще. Нелинейность поясняет простая притча:»Если у тебя есть яблоко, и ты отдал его мне, то яблок у тебя не осталось. Но если у нас есть по идее, и мы рассказали их друг другу, то у каждого стало по две идеи.» Степенная зависимость k(T) отражает тот простой факт, что если не о чем рассказывать, то информация не раcпространяется k(0)=0, а чем значительнее достижения, тем быстрее узнает о них сообщество.

Обсудим ряд свойств модели (2) и (3). Первый парадоксальный результат можно получить, предположив, что все члены сообщества одинаково информированы — Tx=0. Тогда

dT/dt = q0, T(0) = T0(4)

гдеT0 — плотность информации в начальный момент времени. Решение этого уравнения существует только конечный промежуток времени, определяемый начальным значением T(0) (см. рис.13). После этого в игру должны вступать другие стабилизирующие факторы, и следует переходить к другим моделям (как мы увидим в четвертой главе, именно такая ситуация возникает при феноменологическом описании демографических процессов). Обратим внимание на замечательный характер кривых, соответствующих решениям уравнения (4). В течение длительного времени (специалисты называют его квазистационарной стадией) функция T почти не меняется, кажется, что вообще ничего не происходит. Но вблизи момента времени tf, называемого временем обострения, неустойчивость приобретает взрывной характер. Стандартный алгоритм прогнозирования, до сих пор применяемый в социальных науках — «посчитай на сколько процентов изменялась величина за предыдущий промежуток времени; чтобы получить будущее изменение, надо домножить этот процент на текущее значение». Знаменитый прием планирования «от достигнутого» — здесь неприменим.

Рис. 13. Решения уравнения (4) при различных начальных данных T_0. В каждом случае за конечный промежуток времени решение неограниченно возрастает.

Напротив, для линейного уравнения, предлагавшегося Мальтусом и его последователями для роста народонаселения

dn/dt n =n, n(0) = n0 (5)

он прекрасно работает. Решения этого линейного уравнения представлены на рис.14. Здесь решения также описывают некоторый рост. Но, во-первых, они существуют бесконечно долго. Во-вторых, роль начальных данных здесь не так драматична. Представим себе два решения уравнения (5), cоответствующие начальным данным n1(0) и n2(0). Соотношение между ними остается неизменным n1(t)/ n2(t)= n0(0)/ n2(0) и таким же, как вначале. Напротив, как бы ни была мала разница начальных данных для решения уравнение (4) T1(t) и T2(t), она будет стремительно расти T1(t)/T2(t), и вторая траектория «безнадежно отстанет» вблизи момента обострения первой. «Миры», в которых существуют эти решения, живут в разном темпе.

Рис. 14. Решение линейного уравнения (5) — простейшей математической модели демографии при различных начальных данных n0. Эта модель дает экспоненциальный рост населения. Если зафиксировать интервал Deltat, то величины n(0), n(t), n(2t) образуют геометрическую прогрессию.

Рассмотрим теперь пространственно-распределенную систему, дополнив модель (2) и (3) начальными данными

-<x<, T(x, 0)=T0(x).

Будем считать, что существует значительная часть сообщества, которая не располагает информацией о данном научном направленииT0(x)=0 при x>b и x<a (см. рис.15). Происходящее в этом случае кардинально зависит от соотношения между скоростью производства новой информации и эффективностью ее распространения (или, в терминах обсуждаемой модели, от соотношения показателей степеней).

Типичная картина, наблюдаемая при =+1, показана на рис.15. Вначале информация распространяется. При этом информация во всей системе растет, однако в ее отдельных частях ее плотность может уменьшаться. Это может соответствовать тому, что часть активных исследователей начинает уделять основное внимание популяризации сделанного, научно-организационной работе. Но далее, начиная с некоторого момента, решение оказывается пространственно-локализовано. Профиль «плотности информации» сохраняет свою полуширину и форму. Так же, как решение уравнения (4), он развивается по такому закону, в соответствии с которым T(x,t) при некоторых значениях координаты x неограниченно возрастает за конечное время (такой закон называется ростом в режиме с обострением). Сохранение формы в ходе процесса позволяет говорить о том, что здесь мы имеем дело с появлением организации, с возникновением диссипативной структуры. Упорядоченность такого типа стали называть нестационарными диссипативными структурами, чтобы подчеркнуть их отличие от традиционных стационарных, не меняющихся со временем структур (как на рис. 12).

Рис. 15. Пример процесса в нелинейной среде, развивающегося в S-режиме с обострением. На рис. представлены профили функции T(x,y) в момент времени t1, t2 и т.д. Видно, что в середине возникает нестационарная диссипативная структура, имеющая постоянную полуширину; a — формирование локализованной диссипативной структуры; б — независимое развитие двух локализованных структур; в — рост структуры с минимальным временем обострения; остальная часть профиля практически «замирает».

Смысл такого решения прост, — в определенной области науки быстро развивается теория, математический аппарат или технология, которая успешно осваивается группой специалистов, работающих в этой области, и не выходит за рамки этого круга. Следуя сложившейся традиции, о таком решении говорят, что оно описывает процесс, развивающийся в S-режиме. Характерный признак этого режима — сохранение полуширины возникающих диссипативных структур.

Другая область параметров<+1. Типичная картина показана на рис.16. Здесь решение также неограниченно возрастает. Однако оно описывает распространяющуюся волну растущей амплитуды. По мере приближения к моменту обострения эта волна охватывает все пространство.

Рис. 16. Пример процесса, идущего в HS-режиме с обострением. В среде возникают волны, амплитуда которых неограниченно растет при ttf .

Такое поведение получило название HS- режима с обострением. В «науковедческой» интерпретации оно может соответствовать очень крупному достижению, меняющему парадигму и влияющему на все сообщество (например, такому, как ньютонова механика), или очень удобной технологии, без которой становится трудно обойтись. Яркий пример — быстрая «экспансия» персональных компьютеров в мировом научном сообществе. Либо такое поведение может соответствовать быстрому и эффективному обмену информацией, при котором «шила в мешке не утаишь», даже если оно невелико.

Исключительно интересным представляется противоположный случай>+1(так называемый LS- режим с обострением). Типичная картина представлена на рис.17. Решение вновь растет в режиме с обострением, оставаясь локализованным, однако его полуширина сокращается. Это соответствует тому, что научные исследования развиваются настолько быстро, что новое понимание оказывается сосредоточенным в рамках одной научной школы. Вспомним Сольвеевские конгрессы и рождение квантовой механики, ключевые результаты в которой были получены несколькими гигантами.

Рис. 17. Пространственно-локализованная диссипативная структура с сокращающейся полушириной. Такие структуры возникают, когда процессы идут в LS-режиме с обострением.

Обратим внимание на парадоксальность того мира, который описывает обсуждаемая модель. Чтобы четче выделить эти необычные свойства, их удобно сравнить с поведением решений классических уравнений и системой реакция-диффузия, предложенной А.Тьюрингом для описания морфогенеза.

Решения классических уравнений Максвелла, описывающих мир электромагнитных явлений и, в частности, распространение электромагнитных волн в простейшем, одномерном случае, имеют вид

=(x — ct).

При этом функция может быть «любой» из очень широкого класса. Среда как бы «запоминает» ее и переносит со скоростью c. Детали и особенности начальных данных не будут «забыты». Время однородно и следующий момент в этом бесконечном ряду ничем не хуже предыдущего. Возникновение «стрелы времени», необратимых процессов весьма непросто объясняется в классической механике.

Решения, представленные на рисунках, имели вид

T=g(t)f, = (—1)/(-1), g(t),

либо стремились к ним, когда время стремилось к моменту обострения tf. Слово «стремились» означает, что при разных начальных данных в среде могут возникнуть одни и те же диссипативные структуры. Несущественные детали будут «забыты» этой «агрессивной» средой. Малые возмущения либо структуры меньшей амплитуды не успеют развиться до момента обострения (см. рис.15). Это типичная ситуация, которую часто описывали историки науки и литературоведы, — в истории наибольшее внимание привлекают «вершины», первые имена. Их влияние на следующую эпоху порой оказывается гораздо больше, чем на современников. История подчас выступает как безжалостный редактор. Кроме того, в обсуждаемой модели время неоднородно. Оно имеет «начало отсчета», а также конец отсчета — время обострения.

Итак, в нашем случае структура с меньшим временем обострения «выигрывает». Аутсайдеры остаются «вечно развивающимися». На первый взгляд кажется, что в этом случае структуры «разного возраста», различного уровня развития, в принципе не могут быть объединены. Однако это не так! В этой диссипативной сильно нелинейной среде существуют законы, по которым простейшие структуры могут быть объединены в более сложные (см. рис.18). Пример объединения двух простых структур в сложную представлен на рис.18. В настоящее время в футурологии, глобальной динамике часто упоминается термин «коэволюция», понимаемый как совместное изменение, взаимодействие в ходе развития. Коэволюция человека и природы, коэволюция культур, регионов с разным уровнем развития, коэволюция технологий и цивилизационных императивов. В этой простейшей среде мы также видим пример коэволюции, позволяющий сложному развиваться согласованно, не распадаясь на простейшие части.

Рис. 18. Характерный пример эволюции сложных нестационарных структур. Такие структуры могут возникать, когда процессы идут в LS-режиме с обострением.

newpage Отдадим себе отчет, что это совпадает с нашим интуитивным представлением о таких сложных системах, как общество, организм, биоценоз, научное сообщество, где целое может существовать только потому, что части объединены сотнями положительных и отрицательных обратных связей.

В простейших случаях можно получить оценку числа возможных структур. В обсуждаемой одномерной модели оно определяется соотношением

N=[S-[[S]/S]]+1,

где S=(-1)/(—1); [S] — целая часть числа S.

Очевидно, при+1, S, т.е. число структур в этих простейших нелинейных средах огромно.

Рис. 19. Типичный вид бифуркационной диаграммы, возникающей в системах типа реакция-диффузия вида (1). Сплошными линиями показаны ветви, на которых лежат устойчивые решения; пунктиром — ветви неустойчивых решений.

Было бы естественно трактовать эволюцию, развитие прогресса как рост разнообразия, усложнения, увеличение числа функциональных единиц. В частности, в другой базовой модели, в системе Тьюринга, имеющий вид (1), усложнение мыслится следующим образом (см. рис.19). Здесь медленное изменение параметра B (времени с начала развития или длины ткани) вместе со случайными возмущениями как бы «ведет» систему по бифуркационной диаграмме. ( Бифуркационной диаграммой называется зависимость одной из величин, характеризующих решение, от параметра. На рис.19 M — это амплитуда решения. Сплошным отмечены устойчивые ветви, пунктиром — неустойчивые.) Выбор из устойчивых ветвей вблизи точки бифуркации происходит под воздействием малых случайных возмущений. Если параметр B — длина области, то с его увеличением (что можно интерпретировать в модели как рост ткани) число максимумов у возникающей диссипативной структуры растет. (Обычно предполагается, что внешний параметр B меняется настолько медленно, что решение успевает достичь состояния, близкого к стационарному, не зависящему от времени.) Можно сказать, что тип структур и переход от простейших к более сложным мы «задаем руками». Камнем преткновения для большинства моделей морфогенеза такого типа является явление регенерации — восстановление ряда органов у животных. Организм как будто бы помнит в этом случае свой «проектный» размер, и восстановление утраченного останавливается именно тогда, когда этот размер достигнут.

Способ управления процессами в такой среде тоже ясен, — чтобы создать в ней среде сложную упорядоченность, вообще говоря, надо менять внешний параметр B. Если же такой возможности нет, то надо посмотреть по бифуркационной диаграмме, какие типы упорядоченности допускает при этом значении система, и управлять начальными данными, чтобы в конце концов возникла желаемая структура. Остальные варианты, о которых мы тоже поговорим, требуют более сложного управления.

Ситуация в модели тепловых структур, которую мы интерпретировали как динамику информированности в неком научном сообществе, принципиально иная. Параметры, определяющие свойства среды ( и) предполагаются фиксированными. И все сложные структуры существуют в одной нелинейной среде, т.е. среда является носителем форм организации. Это близко к представлению идеальных форм Платона, несовершенное воплощение которых мы видим в реальности. Эта идея проводилась в свое время Гейзенбергом, который искал нелинейное уравнение, решения которого позволяли бы предсказывать спектр масс элементарных частиц.

Все сложные структуры в этой модели неустойчивы. Чтобы они существовали, нужно правильным (как иногда говорят, резонансным) образом задать начальные данные. На сцену выходит геометрия, дающая гораздо больше возможностей, чем управление параметрами и свойствами среды. В одной и той же среде возможны разные типы организации. Прежде чем что-то создавать, надо их знать.

Свойство неустойчивости, которое еще два десятка лет считалось большим пороком модели, сейчас выступает в несколько ином свете. Устойчив ли наш мир, организм, общество, психика? После того, как ученые всерьез начали искать свидетельства нестабильности, оптимистичный ответ:»Конечно, да!» — вызывает сомнение. Приходится уточнять, в каком смысле система устойчива, относительно каких возмущений, на каких временах. Специалисты по теории управления хаосом, одному из бурно развивающихся направлений нелинейной динамики, сравнивают управление многими сложными социальными и техническими системами с ездой на велосипеде. Это системы, которые статически неустойчивы, но движением которых вполне можно управлять. Это изменение мировоззрения отражает и название одной из работ лауреата Нобелевской премии И.Пригожина — «Философия нестабильности».

Этот взгляд приходит в противоречие с одним распространенным мифом общественного сознания относительно «естественного отбора всего лучшего», который, например, может осуществлять рынок или История. В нашей стране за последние десять лет было разрушено много важных социальных институтов и структур. Однако, несмотря на горький опыт, со страниц газет и с экранов телевизоров то и дело объясняют, что не очень-то эти структуры были и хороши, раз не смогли постоять за себя. Это неверно. Любая сложная система, включая рыночную экономику, западную цивилизацию или «открытое общество», имеет свою ахиллесову пяту, свои болевые точки. В режиме нормального функционирования она старается их надежно прикрыть и защитить. Выбор сегодня обычно происходит не между добром и злом, не между стабильностью и изменчивостью, а между б’ольшим и меньшим злом, между различными неустойчивыми траекториями, за которые приходится платить разную цену.

Обсуждаемая модель отражает еще одну коллизию науки конца века. Триумфом химии стало открытие универсальных кирпичиков — элементов, из которых построена Вселенная; физика элементарных частиц тоже преуспела в изучении первооснов вещества, — этот список успехов анализа, выделения простейшего, можно продолжить. Но почему этих кирпичиков столько, а не больше? И каковы законы синтеза, объединения. Почему в малые работоспособные группы объединяются так, а не иначе? Почему не возникает далеких стабильных трансурановых элементов? Каким законам природы это противоречит? Почему в развитых странах не возникает одной «сверхмонополии», полностью контролирующей, к примеру, всю автомобильную промышленность или компьютерную индустрию? Эти вопросы, впрямую связанные с проблемой организации процессов, людей, структур, являются трудными для современной научной парадигмы. Их XX в. оставляет в наследство своему преемнику. И в этой связи, каждый случай, где в законах организации удается разобраться в деталях, представляется весьма ценным. Таким случаем и является обсуждаемая модель. В этой модели есть еще один парадоксальный режим. Допустим, что нелинейность очень велика (>+3), работы в рассматриваемом научном направлении очень перспективны. При этом процессы могут идти в виде волны падающей амплитуды (см. рис.20) (HS-режим без обострения). От конкретных результатов сначала проблема переходит на уровень «научного фольклора», а потом складывается ситуация, когда идеи «витают в воздухе» и никак не найдут, куда приземлиться. Но эта ситуация неустойчива, — небольшая группа энтузиастов, небольшой «студенческий проект» и ситуация радикально меняется, возникает быстрый процесс (реализуется LS-режим с обострением). Наверное, каждый может припомнить десяток ситуаций, когда классик в науке сделал то, что «все предвидели», про что «где-то слыхали», но до чего просто «руки никак не доходили».

Рис. 20. HS-режим без обострения, возможный, когда>+3. Решение существует бесконечно долго, амплитуда распространяющейся волны уменьшается. vspace-3mm endfigure

С обсуждаемой моделью связано много странных и удивительных вещей. С ней связано начало нескольких изящных математических теорий, любопытные физические эффекты, возможности создания оригинальных технологий. Она как бы притягивает новых исследователей, являясь полигоном и пробным камнем для новых подходов. Приведем только один пример такого сорта.

Часто задают следующий «неуместный» вопрос:»Почему следует всерьез относиться к решениям одной, пусть даже очень красивой задачи, в которой нелинейные зависимости имеют совершенно конкретный вид? Ведь степенные функции — это капля в океане всех возможных нелинейностей». И это действительно так. Более того, этот вопрос является очень общим. Огромное количество фундаментальных законов определяются степенными нелинейностями. Закон всемирного тяготения, закон Кулона и прочие, прочие, прочие. Если бы притяжение зависело от расстояния не по закону обратных квадратов, то орбиты планет Солнечной системы, к примеру, были бы незамкнуты (впрочем, здесь есть еще один выделенный степенной показатель). Исследователи так называемого антропного принципа установили, что для того, чтобы во Вселенной мог появиться человек, мировые константы должны были быть подогнаны очень точно. Но степенные зависимости в фундаментальных законах природы представляются еще более важными. Почему же нашему миру так повезло? В общем случае на этот вопрос нет хорошего ответа.

Однако в частном случае обсуждаемой модели он есть! Представим себе, что нелинейные функции k(T) и Q(T) нелинейны и решение растет в режиме с обострением. Математическая теория, принципиальный вклад в создание которой внес В.А.Галактионов, показывает, что при стремлении к моменту обострения задача вырождается. Ее решение начинает вести себя либо как решение уравнения с экспоненциальными источниками, либо как некоторое уравнение типа Гамильтона-Якоби (уравнения такого типа обычно возникают в классической механике). Либо как исходная задача со степенными источниками! И только в последнем случае есть сложные структуры. Ситуация здесь оказывается похожа на головоломку, которая имеет парадоксальное, но единственное решение.

Ну вот, наверное, и все об этой модели — одном из «кубиков», который есть в «конструкторе» нелинейной динамики. В одних случаях (как при описании роста народонаселения, он применим непосредственно), в других (как при моделировании ряда исторических процессов или при описании систем расселения) он указывает направление движения, в третьих выступает как интригующая метафора.

Смысл резонанса

В конце этой главы сформулируем и обсудим вопрос, который не раз возникал у авторов этой книги и, вероятно, у многих специалистов по нелинейной науке. Почему взгляды и представления, выработанные при исследовании весьма узкого класса математических моделей небольшого круга явлений, выдвигаемые несколькими научными школами, оказывают возрастающее влияние на современную науку и на другие области культуры? Почему результаты анализа систем реакция-диффузия, простейших отображений философы воспринимают как оригинальную метафору, физики — как стимул для поиска новых явлений, математики — как постановки новых проблем в своей области? Живой отклик биологов, астрофизиков, экологов, политологов, представителей многих других дисциплин убеждает, что это не случайность.

Подчеркнем парадоксальность этой ситуации. Неклассическая наука, связанная с созданием теории относительности и квантовой механики, очень быстро и глубоко изменила мировоззрение. Вместе с тем обе теории дают адекватное объяснение, которое не может быть получено в классических рамках, для весьма экзотической части реальности. С движением при околосветовых скоростях, измерениями на микромасштабах, не говоря уже об излюбленном объекте специалистов по общей теории относительности — черных дырах, с которыми мы в повседневной жизни встречаемся далеко не каждый день. Да и физикам приходится прилагать немалые усилия, чтобы экспериментально изучать такие объекты.

Вместе с тем философы и естественники, занявшиеся осмыслением результатов неклассической науки, оказались правы. Знание таких деталей мироздания дало новые возможности, оказалось огромной силой. Атомные бомбы и лазеры открывают огромный список воплощений этого знания.

Нелинейная наука, которую философы иногда относят к постнеклассической, зиждется на еще более зыбком основании. На результатах компьютерного моделирования и теоретического анализа необычных явлений в физике, химии, биологии, социальной сфере. Разумеется, многие эксперименты, новые алгоритмы, фундаментальные теории все чаще опираются на образы и методы нелинейного мира. Вновь философы и методологи стремятся увидеть тенденции и перспективы, осмыслить движение. Трудно сказать, какой Силой вооружит это Знание. Может быть, это будут системы прогноза и мониторинга, предупреждающие об опасностях и позволяющие избежать роковых ошибок в управлении. Может быть, это будет новое поколение компьютеров и интеллектуальных систем, в чем-то похожих на «братьев наших меньших». Может быть, нас ждет новое поколение материалов, радикально меняющих наши возможности. Может быть, впереди новый уровень понимания и моделирования биологических процессов, а с ним изменение качества и увеличение продолжительности жизни? Сегодня трудно заглянуть за горизонт.

Однако не только погоня за будущей силой объясняет резонанс в культуре и общественном сознании, связанный с нелинейной наукой. В нелинейной науке формируется, на наш взгляд, новая познавательная модель.

Американский историк науки Дж.Холтон обратил внимание на то, что в ходе развития наук меняются наборы фактов и теорий, которые считают наиболее важными. Однако неизменными остаются некоторые инварианты макротемы, общие для различных дисциплин. Таковы, например, темы эволюции (простых форм в сложные), атомизма (выделения простейших элементов, объясняющих свойства целого). В 1980 г. А.П.Огурцов ввел термин «познавательная модель», который можно пояснить следующим образом: «если макротема носит общенаучный характер и включает в себя моделирование (т.е. объясняет целый ряд феноменов через их сопоставление с каким-то исходным феноменом, который более понятен), то она является познавательной моделью. Познавательная модель служит в качестве способа упорядочения и истолкования конкретного материала, причем способ этот оказывается общим для ученых самых разных специальностей и убеждений. Тем самым, познавательная модель служит важной характеристикой эпохи» [10].

А.В.Чайковский выделил в науке Нового времени несколько познавательных моделей, которые иногда конкурируют в различных дисциплинах, иногда мирно сосуществуют, дополняя друг друга. Одну из первых моделей он назвал схоластической. В рамках барокко мир воспринимался в виде огромной, созданной Господом книги, и образ книги делался моделью многочисленных сложных понятий. Галилео Галилей имел в виду этот образ, когда говорил, что книга Природы написана языком математики. При таком подходе на первый план выходят шифры, коды, ключи, которые позволяют понять смысл текстов, предлагаемых природой, людьми, историей. Плодотворность такого подхода была продемонстрирована в молекулярной биологии, установившей поразительное единство генетического кода. Попытки выяснить смысл текста привели к выдающимся открытиям и таким гигантским исследовательским проектам, как «Геном человека». Но кто и как читает текст, даже если он полон глубокого смысла? Как живое реализует инструкции, записанные в геноме и содержащиеся в каждой клетке? Для этой познавательной модели характерно представление об огромной власти и могуществе, которые получают те, кто смог прочесть текст.

Механическая модель, восходящая к Р.Декарту, трактует Вселенную, человека, общество как некоторые машины. И.Ньютон сравнивал Вселенную с часами, которые завел Господь. В такой модели мира можно разобраться, выяснить что существующие «механизмы» могут, а что нет, как за ними следует ухаживать и что еще в этом мире можно сконструировать. Инженеры любят повторять фразу, приписываемую Леонардо да Винчи: «Все работает не так, как рассчитано, а так, как сконструировано». Просвещение должно дать инструкции и ответы на задачи, предложенные природой. Несовершенство мира связано с тем, что этим инструкциям просто не следуют, а не следуют потому, что не знают. Просвещение позволяет сообщить их обществу и тем значительно улучшить жизнь. Время выступает как ничем особенно не выделенный параметр в уравнениях. Будущее вполне предсказуемо, если располагать эффективными вычислительными системами. Достаточно пролистать школьные курсы физики, химии, астрономии, чтобы осознать плодотворность этой модели.

Однако в XVIII — начале XIX в. на сцену выходят случай, законы больших чисел, статистика. Образ рынка, где есть балансовые соотношения и все, что допускается ими, разрешено, становится общим местом в пушкинскую эпоху. Статистическая физика и «гиббсовский» стиль мышления в различных науках, от экономики до математики, созвучен излюбленному образу культуры XIX века — Карточной игре [12]. Эту модель жизни М.Ю.Лермонтов характеризует следующими строками:

«Что ни толкуй Вольтер или Декарт —

Мир для меня — колода карт,

Жизнь — банк; рок мечет, я играю,

И правила игры я к людям применяю».

Конец XX в. показал ограниченность этих познавательных моделей, их неполноту и неприменимость ко многим проблемам, которые приходится решать. Это естественно. Мировоззрение людей, которые веками живут, следуя традиции, и не имеют больших возможностей повлиять на свою судьбу, и тех, кто может поворачивать реки, срывать горы и необратимо менять биосферу, должно быть различным. Они решают разные проблемы, и им угрожают разные опасности.

Это очень остро почувствовали представители естественных наук, и прежде всего те, кто занимается математическим моделированием, — многим из них приходится иметь дело с широким кругом проблем, от проблем стратегической стабильности и проектов экономических реформ до конкретных физических процессов или технических конструкций. Эйфория по поводу возможностей современных компьютеров, вычислительного эксперимента сменилась пониманием ограниченности возможностей получить ответы с помощью компьютера и своих способностей задавать принципиальные вопросы. В одной из бесед Н.Н.Моисеев выразил это примерно так: «Когда нам стало ясно, что прямая имитация многих процессов попросту невозможна, то возникла потребность в новых понятиях и концепциях».

Поиск этих концепций, новых парадигм, новых познавательных моделей ведется на разных направлениях. Один из подходов — фундаментальное изменение методологии. Быть может, при анализе сложных систем классическая «черно-белая» гегелевская триада:»тезис — антитезис — синтез» должна уступить более сложным схемам. Например, опирающимся на «нечеткие логики» или тринитарную методологию. В рамках последней, активно развиваемой в России Р.Г.Баранцевым, рассматриваются соотношения не между парами категорий, а между тройками. При анализе метода или алгоритма можно выделить точность, простоту и универсальность (область применимости). Эти требования противоречивы, и третья категория часто выступает «арбитром» в «споре» между первыми двумя категориями [20].

Другой подход развивается А.В.Чайковским, предлагающим новую познавательную модель, основанную на экологическом императиве, на изменении этических норм. В их основе — отношение к миру, как к саду, в котором необходима гармония [10].

Наконец, можно, отправляясь от опыта реализации крупных научно-технических проектов и осмысления исторического пути развития человечества, строить новую философско-методологическую концепцию. По-видимому, глубоко и последовательно этот подход развивается Н.Н.Моисеевым в подходе, называемом универсальным эволюционизмом [29].

Однако нелинейная динамика, синергетика, как ее представляют авторы, сегодня не находится на этом уровне обобщений. Она дает пока отдельные примеры, образы поведения сложных нелинейных систем и методы их исследования. Ее можно, пожалуй, сравнить со своеобразной натурфилософией компьютерной эры. Мифы давали в свое время примеры, образцы типичных ситуаций, рекомендации, как следует действовать, когда попытка опереться на логику и рациональные рассуждения не удается.

Нелинейная динамика предлагает базовые модели, новые понятия и методы, которые могут быть применимы в данной ситуации, а могут и не быть. Которые могут стать основой построения новой нелинейной познавательной парадигмы, а могут остаться отдельными находками в различных дисциплинах.

Приведем пример. Излюбленный образ синергетики — бифуркационная диаграмма. Теперь представим, что параметр — время, а переменная А характеризует ключевую переменную, определяющую состояние системы. В точках бифуркации происходит выбор и процессы другого уровня, не отраженные на диаграмме (шумы, случайности, управляющие воздействия могут сыграть ключевую роль). Это значит, что путь развития неединственный, что можно в нужный момент вмешаться в ход событий и изменить его. Будущее оказывается неединственным. Останется ли этот образ метафорой, станет руководством к действию для тех, кто будет определять точку бифуркации и воздействовать на систему, либо окажется основой нового алгоритма или технологии — зависит от специалистов, которые будут применять общие идеи нелинейной динамики в своей конкретной области. Пока остается констатировать, что эти общие идеи порой оказываются очень полезны.

Одна из причин резонанса, который получила нелинейная динамика, состоит в том, что она дает новый взгляд на развитие науки, на возможность описать явления природы. Фундаментальный вопрос состоит в том, почему, обладая весьма скромными возможностями, мы неплохо ориентируемся и во многом успели разобраться за последние 40 веков? Почему иногда среди огромного множества сложных взаимодействующих факторов и сотен тысяч переменных удается выделить наиболее важные процессы и ключевые факторы? Ответ нелинейной динамики состоит в том, что во множестве случаев происходит самоорганизация, связанная с выделением параметров порядка. И нелинейную среду, потенциально обладающую бесконечным числом степеней свободы, удается описать динамической системой с конечным, а иногда и небольшим числом переменных. Рынок с сотнями тысяч агентов и миллионами товаров моделировать с помощью кривых спроса и предложения. (Взгляд на экономику, как на самоорганизующуюся и саморазвивающуюся систему оказывается весьма плодотворным, как показывают работы научной школы А.А.Петрова [19].)

Несмотря на, казалось бы, внутринаучный характер проблемы выделения параметров порядка, она оказывается исключительно важной. Подходы, развиваемые нелинейной динамикой, дают надежду на то, что можно успешно действовать в океане уже имеющихся знаний, проектов, сведений что «информационный джинн» может быть укрощен. Библейская мудрость толкует про время «разбрасывать камни» и «время собирать камни». Если XX в. прошел под знаком «разбрасывания камней», рождения сотен научных направлений на стыках научных дисциплин, то в XXI в. будущее науки будет определяться тем, насколько успешным окажется междисциплинарный синтез, насколько удачно будут «собраны камни».