Russian
| English
"Куда идет мир? Каково будущее науки? Как "объять необъятное", получая образование - высшее, среднее, начальное? Как преодолеть "пропасть двух культур" - естественнонаучной и гуманитарной? Как создать и вырастить научную школу? Какова структура нашего познания? Как управлять риском? Можно ли с единой точки зрения взглянуть на проблемы математики и экономики, физики и психологии, компьютерных наук и географии, техники и философии?"

«Экономика Чернавского» 
А.В. Щербаков

Рассмотрим сперва стационарные состояния в которых dx/dt=0, (dUn/dt=0) и dy/dt=0; (dp/dt=0). Это удобнее сделать в переменных rn  и rm . При rm <rcr , согласно (12) и (17): h×rm =Q(rn)  и nQ(rn)+mQ(rm)=ngrm  откуда следует, что стационарные значения переменной rm  удовлетворяют уравнению

n(g-h) rm  = mQ(rm )

или

Q(rm ) = qrm ;                                                                                                                        (21)

где q=n/m(g-h).

Решениями уравнения (21) являются точки пересечения функции Q(rm ) и прямой линии qrm . Эти точки приведены на рисунке 4, где обозначены как rm,1 и rm,2, соответственно. Отметим, что состояние rm,1  устойчиво, а состояние rm,2 — неустойчиво. Значение q=0,5 в (21) является бифуркационным: при этом значении q прямая qrm  касается кривой Q(rm ).

При rm >rcr условие стационарности приводит к уравнению (22):

Q(rm ) = n/m×Fmax(1-b-1).                                                                          (22)

Это уравнение дает третью точку пересечения, обозначенную на рисунке 4 как rm,3 .

Наконец, точке rm =0 тоже соответствует стационарное состояние, в котором отсутствуют как производство, так и потребление товара; иными словами, это состояние — глубокий кризис общества. К счастью, оно неустойчиво.

Рис. 4. Решения бифуркационного уравнения Q(rm)=q×rm (при rm<rcr)  и Q(rm)=n/m×Fmax×(1-b-1) (при rm>rcr). Римскими цифрами обозначены три топологически различных варианта решения. Точки rm,i (i=1,2 и 3) определяют стационарные значения динамической переменной rm. Величины rcr  определяют значения rm, при которых достигается максимальный объем производства.

В зависимости от значений параметров (точнее, от их комбинаций) возможны следующие варианты, представленные на рисунке 4.

I. При  0<n/m(g-h)<0,5 существует устойчивое состояние типа rm,1, при котором потребности удовлетворены далеко не полностью.

II.  При n/m(g-h)rcr >Q(rcr) существует устойчивое состояние типа rm,3, при котором потребности владельцев удовлетворены практически полностью. Знак равенства в этом выражении соответствует точке бифуркации. При этом точка пересечения прямых в правых частях выражений (21) и (22) лежит на кривой Q(rm ). Так как величина rcr обычно достаточно велика, Q(rcr) в вышеприведенном неравенстве можно приближенно заменить на 1. Тогда условие существования устойчивого состояния типа rm,3 запишется в виде  n/m(g-h)>1/rcr.

III. При выполнении обоих неравенств: 0,5>n/m(g-h)>1/rcr, существуют устойчивые состояния обоих типов.

Таким образом в системе уравнений (19), (20) возможны бифуркации (внезапное исчезновение одного из устойчивых состояний) двух типов и два бифуркационных параметра: Fmax и  q= n/m(g-h).

Рис.5  Фазовый портрет решений уравнений (19) и (20) в координатах X-Y. Жирные линии – изоклины dx/dt=0 и dy/dt=0. Точки пересечения изоклин определяют стационарные состояния (1 и 3 –устойчивые, 2 – неустойчивое). Тонкие линии – траектории эволюции  общества. Каждой точке траектории соответствует определенное значение времени. Эволюция общества начинается с краев рисунка и заканчивается в точках стационарного состояния. Штриховая линия – сепаратриса. Значения параметров: h=0,15; b=2,8; Fmax=1; aN=2; ε=0,1

Динамика процессов.

Диаграмма рисунка 4 не дает ответа на вопрос о поведении системы в нестационарных условиях. Для ответа на этот вопрос удобнее использовать переменные x и y и  динамические уравнения (19) и (20).

На рисунке 5 приведен фазовый портрет в случае, когда параметры соответствуют варианту III. Видно, что имеются два устойчивых состояния 1 и 3, состояние 2 неустойчиво. Фазовая плоскость разделена сепаратрисой (жирный пунктир). Значения параметров и основные свойства стационарных состояний приведены на рисунках.

На рисунке 5 в состоянии 1 потребности как “рабочих” так и “владельцев” удовлетворены на низком уровне (Q(rn) = 0,05, Q(rm)=0,3). В состоянии 3 потребности удовлетворены полностью. Поляризация общества (величина D) не велика. Из этого примера следует, что при одинаковых условиях (параметрах модели) можно попасть как в благополучный режим (состояние 3), так и в близкий к кризисному (состояние 1). Результат зависит от начальных условий и от управляющих воздействий на систему на пути ее движения по траектории (последние изображены бледным пунктиром). Управляющие воздействия могут быть как параметрическими (временное изменение параметров) так и силовыми (изменения накоплений и/или цен за счет внешних факторов).

«Целевые функции владельцев».

При фиксированных параметрах h, b и Fmax эволюция общества под управлением уравнений (19) и (20) происходит автоматически. Участники рынка не влияют на этот процесс, в частности у них отсутствует цель, преследуя которую они могли бы делать выбор среди разных потенциально возможных путей развития общества. В реальности же поведение участников рынка может опираться не только на текущие величины спроса и предложения, учтенные в (19) и (20), но и на ожидания, связанные с будущими величинами прибыли (краткосрочные цели), накоплений (долгосрочные цели) или с чем-то иным. Рассмотрим в связи с этим несколько вариантов реализации целевых функций собственников, анализ которых на качественном уровне возможен в рамках нашей модели.

1. Целевая функция — максимизация прибыли в натуральном выражении (дальновидная стратегия).

В равновесном состоянии прибыль собственников определяется разностью между средствами, полученными от реализации произведенной продукции, и затратами на ее изготовление:

1 = mQrm) + nQ(rn) — nPn                                                                     (23)

В стационарном состоянии согласно условию dx/dt=0 последние два слагаемые дают нулевой вклад. Поэтому прибыль будет равна расходам собственников на собственное потребление П1 = Q(rm), а ее максимизация соответствует максимизации стационарного значения накоплений rm как функции управляющих параметров.

В стационарном состоянии 1 величину rm можно выразить в виде

Для достижения цели необходимо изменять параметры b, и h так, чтобы увеличить q. Накопления «рабочих» в состоянии 1 равны

                                                                              (24)

Видно, что они также возрастают с ростом rm, то есть дальновидные интересы «владельцев» и «рабочих» совпадают. Максимальное значение rm в состоянии 1 достигается при q=0,5. Однако при этом состояние 1 исчезает и общество само устремляется к состоянию 3 и благосостояние всех слоев общества быстро возрастает. Такая бифуркация воспринимается как «экономическое чудо».

В состоянии 3 rm хотя и велико, но Q(rm ε×rm, где величина ε<<1. Поэтому небольшое изменение параметров мало влияет на величину прибыли П1, а приводит в основном к изменению величин издержек в том числе на выплату зарплаты.

2. Целевая функция — максимизация прибыли в денежном выражении (монетаристская стратегия). В этом случае прибыль равна величине прибыли П1, умноженной на цену: П2 = П1y. Из (18) и (23) можно получить выражение

                                                                             (25)

С учетом (24) можно показать, что в состоянии 1 максимальная величина П2 достигается при некотором значении rm в интервале 0<rm<1/h’. Выражение для этого значения довольно громоздко и мы его здесь не приводим.

В состоянии 3 в приближении Q(rm ε×rm накопления можно записать в виде

            (26)

В этом случае также существует конечная величина rm, максимизирующая величину П2. Ее значение равно единственному действительному корню уравнения :

Здесь B=nrn/m. Таким образом собственники могут максимизировать величину П2 подбирая параметр b в соответствии с (26). Так как величина rn зависит только от Fmax действия собственников в этом случае не влияют на величину накоплений рабочих.

Следует отметить, что фазовый портрет в случае оптимизированных стационарных состояний ничем не отличается от случаев с неоптимизированными состояниями. Более того на рис.5 в точке 3 реализуется максимум П2.

3. Целевая функция — социальный комфорт в обществе. Под социальным комфортом общества будем понимать отсутствие дифференциации общества по накоплениям. Будем характеризовать его отношением П3=rn/rm.

В состоянии 1 в соответствии с (24) имеем

Это выражение имеет минимум П3=2h при rm=0,5/h и неограниченно растет при rm стремящемся к 0 и к 1/h. Однако, так как в состоянии 1 rm<1 и h<1, минимум и второй предел не реализуются. Оптимальная величина П3=1 достигается при выполнении равенства h=q.

В состоянии 3 величина П3 определяется отношением выражений в (26). Так как в этом случае rn не зависит от управляющих параметров h и b, оптимизация целевой функции может быть осуществлена только за счет изменения rm. Из (26) следует, что уменьшении (увеличении) b целевая функция П3 увеличивается (уменьшается), а от параметра h она не зависит. Значение П3=1 достигается при выполнении равенства

Таким образом регулируя управляющие параметры собственники могут добиваться реализации экстремума той или иной целевой функции.

Изложенное можно прокомментировать следующим образом. Цель — максимизация прибыли в денежном выражении, представляется более естественной, но менее дальновидной. Если преобладает эта цель, то неблагополучное состояние (1) устойчиво по отношению к вариации параметров, следовательно, общество может пребывать в нем достаточно долго. Поляризация при этом не велика и социальный дискомфорт отсутствует.

Цель — максимизация прибыли в реальном выражении более дальновидная. Для достижения этой цели необходимо увеличивать параметр b, за счет уменьшения h, либо за счет увеличения g. И то, и другое сводится к увеличению затрат на производство. При этом реальные накопления обеих групп растут, но денежные доходы падают. Последнее создает препятствие, хотя и чисто психологическое. При движении к этой цели состояние 1 может стать неустойчивым и тогда общество быстро перейдет в область более благополучного состояния 3. Такой скачок воспринимается как очередное «экономическое чудо», а руководители государства этого периода как «благодетели нации».

Влияние денежной эмиссии на состояние общества

До сих пор мы рассматривали влияние параметрического воздействия на систему. Обсудим теперь на качественном уровне возможность силового управляющего воздействия на примере денежной эмиссии. Рассмотрим общество, имеющее два устойчивых состояния 1 и 3 и находящееся в состоянии 1. Поставим перед собой цель: перевести общество в состояние 3. Для этого необходимо произвести действия, при которых начальное состояние общества оказалось бы ниже сепаратрисы в плоскости X-Y. Попробуем добиться этого с помощью денежной эмиссии. Допустим, что количество денег в обществе меняется с М до М’, причем М’>М. В соответствии с (6) это означает увеличение размера средних накоплений  в W=M’/M раз. Дальнейшая реакция системы зависит от направленности эмиссии, то есть от ее адресности.

Рассмотрим вначале эмиссию, адресованную собственникам, то есть направленную на расширение производства и спроса собственников. В этом случае накопления работников в денежном выражении останутся неизменными Un’=Un, а величина x = Un /  уменьшится в W раз. С другой стороны масштабный фактор цены p0 = / r0 увеличится во столько же раз. Предположим, что цена p не изменится сразу же вслед за эмиссией, то есть временной фактор αN не велик, и вначале p=p’. Тогда величина y=p/p0 уменьшится во столько же раз, что и x. Это означает, что осуществляя эмиссию по данному сценарию общество будет двигаться от состояния 1 к началу координат по отрезку AO[2] (см. рисунок 6). При некоторой величине эмиссии M’ общество пересечет сепаратрису и войдет в область, откуда оно, будучи предоставленным самому себе, через некоторое время перейдет в устойчивое стационарное состояние 3.

 Рис. 6 Результат внешнего воздействия в виде эмиссии денег. Отрезок АО показывает результат эмиссии, адресованной «владельцам». Отрезок АВ показывает результат эмиссии, адресованной работникам.

Рассмотрим теперь эмиссию, адресованную работникам. В этом случае величина их накоплений в денежном выражении увеличится на размер эмиссии, что повлечет за собой увеличение x {Δx=(W-1)/W(1/n-x)} и, соответственно, rn и платежеспособного спроса. В то же время величина y уменьшится в W раз {Δy=-(W-1)/Wy} как и предыдущем случае. Это означает движение общества из состояния 1 вправо и вниз по отрезку AB, составляющему тупой угол с осью OX {Δy/Δx=-(1/n-xА)-1, xА — фиксировано} и пересекающему ось в точке xВ=1/n. При некоторой величине эмиссии кривая может пересечь сепаратрису и попасть в область, откуда общество уже само перейдет в состояние 3. Однако, поскольку сепаратриса также направлена под тупым углом к оси OX, может оказаться, что пересечения не произойдет или для этого потребуется слишком большая величина M’. Какая именно во многом зависит от наклона сепаратрисы, то есть от величины aN. Во всяком случае она больше, чем в первом варианте эмиссии.

Таким образом наше качественное рассмотрение вариантов эмиссии привело к тривиальному выводу: эмиссию намного выгоднее проводить с целью расширения производства, а не простого увеличения спроса. Разумеется, это рассмотрение носит иллюстративный характер и не претендует на количественное описание, поскольку в реальности в обществе задействовано одновременно много каналов перетекания денег из одной сферы в другую. В то же время пример с эмиссией показывает, что грубо, на качественном уровне наша модель схватывает основные свойства, присущие обществу, находящемуся в состоянии далеком от устойчивого.

Выше показано, что адресная эмиссия в нужный момент и в нужном объеме также может перевести общество из состояния 1 (стагнация) в состояние 3. В рамках модели более целесообразно адресовать эмиссию «владельцам», работающим в реальном секторе (другие сектора в модели пока не рассматривались).

В благополучном состоянии 3 поляризация тоже не велика, хотя и больше, чем в состоянии 1. При учете «размывания» страт, общество становится практически унимодальным, поскольку степень удовлетворения всех групп практически одинакова. В этом случае эмиссия денег также смещает изображающую точку вниз. При этом цены в номинальном исчислении в момент эмиссии сохраняются, но затем возрастают и система возвращается в исходное состояние (но при более высоких номинальных ценах). В результате эффект сводится к реноминации денег.

Эти эффекты эмиссии можно сопоставить с кейнсианской и монетаристской моделями. Строго говоря детальные сопоставления невозможны, поскольку в нашей модели не учтены еще рынки денег и труда, которые в упомянутых концепциях играют важную роль. Тем не менее качественные эффекты сходны. Так переход общества от «стагнации» к развитию за счет достаточно большой эмиссии — типичный для кейнсианских моделей эффект. Эффект роста номинальных цен (номинальной инфляции) в состоянии 3 или при недостаточной эмиссии в состоянии 1 — типичен для моделей монетаристского типа.

Подчеркнем, что эти выводы относятся к закрытому обществу. В экономически открытом обществе ситуация принципиально меняется. Результата зависит от экономического состояния партнера. Если партнер более развит, то появляется возможность продавать свой товар (сырье) именно ему и получать конечный продукт оттуда. Заинтересованность в благополучии «своих» рабочих при этом уже отсутствует.

В целом модель открытого общества заслуживает специального рассмотрения.

Заключение.

В последние годы наша группа, возглавляемая Дмитрием Сергеевичем Чернавским, работала над совершенно новой, но крайне актуальной задачей – моделирование цифровой экономики. Дело в том, что спор, длившийся последние 50 лет ХХ века между последователями Кейнса и Фридмана, в настоящее время не актуален. На смену обычным экономическим взаимоотношениям приходит цифровизация. Это не просто перенос экономики из бумажного пространства в виртуальное – это совершенно новый этап экономических взаимоотношений со своими правилами и законами. Именно изучению этих новых экономических законов и формулирование новых правил взаимодействия субъектов экономики занимаемся мы последние полтора года. Это крайне интересная тема и на этом пути нас ожидает много открытий и свершений. И в качестве заключительного пожелания, хочется привести слова Д.С.Чернавского, сказанные им буквально за день до смерти:

«Не разменивайтесь на мелочи, занимайтесь фундаментальными вопросами!» Д.С.Чернавский.

Литература.

1. Д.С.Чернавский «У верблюда два горба, потому что жизнь борьба», «Солидарность» №9-10, М. 1991г..

2. Чернавский Д.С. и Щербаков А.В. «Экономика России: стабилизация или застой?», «Полития» № 3(5), М. 1997г.

3. Чернавский Д.С. и Щербаков А.В. «Доллар. Окно возможностей и пирамида», http://mendeleev-center.ru/articles/article-0007.html

4. Чернавский Д.С., Синергетика и Информация. М. Наука, 2001.

5. Д. С. Чернавский, А. В. Щербаков, Н. И. Старков  «Динамическая модель закрытого общества (институциональные ловушки и кризисы)».// http://mendeleev-center.ru/articles/article-0018.html

6. М. Блауг, «Экономическая мысль в ретроспективе», изд-во «Дело», М., 1994.

7. M. Fridman, «TheQuanttity Theory of Money: Restatment», In: M. Fridman (Ed.), Stadies in Quantity Theory of Money, Chicago, The University of Chicago Press, 1956; «Quаntity Theory», In International Encyclopedia of the social Servieses, Vol. 10, 1968.

8. Дж. М. Кейнс, «Избранные произведения», изд-во «Экономика», М., 1993.

9. Линдон Ларуш, «Физическая экономика», изд-во «Научная книга», М., 1997.

10. Р. Аллен, «Математическая экономия», изд-во «Иностранной литературы», М., 1963.

11. В. И. Маевский, «Введение в эволюционную макроэкономику», изд-во «Япония сегодня», М., 1997.

12. В. В. Лебедев, «Математическое моделирование социально-экономических процессов», изд-во «Изограф», М., 1997.

13. В. М. Полтерович, «Институциональные ловушки и экономические реформы», Российская экономическая школа, Working paper #98/004, М., 1998.

14. Дж. Робинсон, «Экономическая теория несовершенной конкуренции», изд-во «Прогресс», М., 1986.   Дж. Р. Хикс, «Стоимость и капитал», изд-во «Прогресс», М., 1988.

15. Д. С. Чернавский, А. В. Щербаков, Н. И. Старков, Б. А. Суслаков, «Ценообразование при максимальной прибыли», Экономич. и математ. методы, 1998, т. 34, вып. 2, стр. 44-54.  Д. С. Чернавский, Б. А. Суслаков, О. Д. Чернавская, Г. Г. Пирогов, Н. И. Старков, «О социально-экономической структуре общества», Законодательство и экономика, 1995, вып. 7/8, стр. 8-14. Д. С. Чернавский, Г. Г. Пирогов, О. Д. Чернавская, А. В. Щербаков, Б. А. Суслаков, «Динамика экономической структуры общества», Прикладная нелинейная динамика, 1996, т. 4, № 3, стр. 67-75.

 


[1] Кстати, это допущение не так уж далеко от реальной ситуации в современной России.

[2] При изменении М происходит изменение фазового портрета общества, однако в силу масштабной инвариантности можно, оставив фазовую картину прежней, свести изменение М к изменению положения общества на плоскости X-Y.