В статье дан обзор работ авторов, посвящённых исследованию математических моделей динамики живых систем. Рассмотрены преимущества комплексификации математических моделей итерационных процессов и дифференциальных уравнений, описывающих динамику сложных систем. Выполненные работы позволили наметить контуры комплексной степенной и экспоненциальной динамики, — нового перспективного направления нелинейных исследований

В статье дан обзор работ авторов, посвящённых исследованию математических моделей динамики живых систем. Рассмотрены преимущества комплексификации математических моделей итерационных процессов и дифференциальных уравнений, описывающих динамику сложных систем. Доклад, близкий по содержанию, сделан авторами на XVI Международной конференции: «Математика. Экономика. Образование», Ростов н /Д. 2008. [45], [46].

В качестве базовой выбрана линейная модель итерационного процесса для конечномерной динамической системы. Показаны возможные связи этой модели с системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Осуществлён переход от действительных переменных к комплексным [1]. Комплексные функции обладают аналитическими свойствами, не всегда очевидными при анализе в терминах действительных переменных. Введение комплексных переменных приводит к появлению новых уравнений, решение которых требует физической интерпретации.

До начала двадцатого века считалось, что комплексификация является только математическим приёмом, позволяющим упрощать выкладки. Однако, создание теории относительности и квантовой теории, а в последние годы интенсивное развитие голоморфной динамики [2-3] изменили представление многих учёных о роли комплексных чисел. Мы придерживаемся той точки зрения, что рассмотрение основных уравнений динамики сложных систем в терминах комплексных переменных является наиболее предпочтительным и получающиеся новые уравнения обязательно должны найти свою физическую интерпретацию. Если в комплексных линейных системах вместо зависимых векторных переменных ввести новые переменные, координаты которых связаны нелинейными соотношениями с координатами линейных векторов, то можно получить широкий класс нелинейных систем, имеющих аналитические решения. Наиболее важные результаты получены в случае, когда компоненты линейного вектора являются логарифмическими функциями компонент некоторого нелинейного вектора, который может быть назван его экспонентой.

При этом решения соответствующих комплексных линейных итерационных соотношений переходят в решения систем степенных итерационных соотношений. Алгебра сложения и умножения в линейной системе преобразуется в алгебру умножения и возведения в степень в системе экспоненциальных векторов. При введении аналогичной замены переменных в системе обыкновенных дифференциальных уравнений компоненты новых нелинейных векторов удовлетворяют системе нелинейных дифференциальных уравнений, включающих в правых частях как сами компоненты экспоненциальных векторов, так и их логарифмы.

Если система линейных итерационных соотношений или система линейных дифференциальных уравнений имеет различные комплексные собственные числа, то соответствующая ей нелинейная система уравнений может быть путем замены переменных представлена в виде совокупности независимых одномерных комплексных дифференциальных уравнений или итерационных соотношений относительно собственных функций системы. Эти независимые итерационные системы имеют решения, включающие степенные функции с комплексными показателями степени, а соответствующие им дифференциальные уравнения имеют решения, являющиеся экспонентами экспоненциальных функций комплексных переменных. Анализ таких функций в терминах алгебраических комплексных чисел в случае, когда показатели степени являются рациональными числами, приводит к появлению конечного числа решений.

В случае же иррациональных показателей степени или при рассмотрении логарифмов комплексных чисел количество решений становится счётным. Для того, чтобы распространить на полученные нелинейные системы глубоко развитую теорию аналитических функций комплексного переменного, было осуществлено обобщение идей Римана: наряду с двумерной плоскостью алгебраических комплексных чисел введена спиральная Риманова поверхность, на которой расположены введённые авторами спиральные комплексные числа, — что позволило избежать многозначности при возведении комплексных переменных в рациональные, иррациональные и комплексные степени [1], [4-7].

Если показатель степени, в который возводится некоторое спиральное комплексное число, является алгебраическим комплексным числом, то в результате возведения в степень однозначно получится спиральное комплексное число. Экспонента алгебраического комплексного числа является спиральным комплексным числом. При этом экспоненциальная и обратная ей логарифмическая функции взаимно однозначно отображают алгебраическую комплексную плоскость на бесконечно — листную Риманову поверхность. Другая линия связи между алгебраическими и спиральными комплексными числами осуществляется через проектирование Римановой спирали на комплексную плоскость. При этом в одну и ту же точку комплексной плоскости проектируется счётное множество точек Римановой спирали.

Для каждого нелинейного одномерного комплексного дифференциального уравнения может быть введён комплексный Гамильтониан и рассмотрена соответствующая ему вариационная задача для комплексного Лагранжиана [47]. При переходе к уравнению с действительным переменным Гамильтониан и Лагранжиан становятся действительными числами [48].

Простейшими ячейками, формирующими общую теорию комплексных динамических систем, является одномерный комплексный линейный итерационный динамический процесс и соответствующее ему множество комплексных линейных дифференциальных уравнений. Их решениями являются траектории в алгебраической комплексной плоскости, представляющие собой скручивающиеся или раскручивающиеся спирали, аттракторами которых являются либо точка нуль, либо бесконечно удалённая точка .

Особую роль играют решения, которые соответствуют круговым циклическим траекториям. В этом случае собственные числа линейных итерационных соотношений имеют модуль, равный единице, а собственные числа соответствующих им линейных дифференциальных уравнений являются чисто мнимыми величинами. Переход к спиральным переменным, в которых комплексные координаты траекторий в каждой точке спирального пространства являются экспонентами координат траекторий линейных уравнений, трансформирует динамику системы. Круговые траектории линейных динамических систем преобразуются в циклические, но существенно отличающиеся от круговых [1]. Если радиус линейной траектории мал, то она преобразуется в почти круговую траекторию с центром в точке со спиральной комплексной координатой, равной единице. С увеличением радиуса круговой траектории в алгебраической комплексной плоскости наблюдается всё большая трансформация циклической траектории для соответствующей экспоненциальной динамической системы.

С увеличением радиуса первичной окружности происходит отклонение верхнего и нижнего краёв экспоненциальной траектории в сторону меньших абсцисс. Затем наступает первая бифуркация, соответствующая условию, когда вторая производная абсциссы траектории по её координате в точке пересечения траектории с осью абсцисс, ближайшей к нулевой точке, становится равной нулю. Следующей бифуркацией можно считать такую траекторию, у которой абсцисса касания экспоненциальной траектории и прямой, проведённой из начала координат, совпадёт с минимальной абсциссой пересечения экспоненциальной траектории с осью абсцисс. Зона радиусов окружностей линейной системы, лежащая между этими точками, может считаться зоной перестройки, так как в ней происходит трансформация траектории, во многом аналогичная одной из классических математических катастроф [8]. Следующей бифуркационной точкой экспоненциальной траектории можно считать то значение радиуса линейной траектории, при котором проекция экспоненциальной траектории на алгебраическую комплексную плоскость коснётся оси ординат. При переходе через этот режим экспоненциальные циклические траектории выходят в область отрицательных абсцисс.

Дальнейшее увеличение радиуса траектории линейной системы приводит к увеличению отрицательной абсциссы и уменьшению ординаты возникших «языков» траектории до тех пор, пока они не коснутся оси абсцисс. Касание происходит с двух сторон, так что в этом режиме возникает «самокасание» траектории при рассмотрении её проекции на алгебраическую комплексную плоскость. В спиральном пространстве никакого самопересечения не наблюдается, так как точки лежат на различных листах Римановой поверхности. Этому режиму соответствует значение радиуса траектории линейной системы, равное , и максимальная абсцисса экспоненциальной траектории — равная . Дальнейшее увеличение радиуса траектории линейной системы приводит к самопересечению экспоненциальной траектории в алгебраической комплексной плоскости и спирализации «языков» траектории. В процессе спирализации концы «языков» сначала касаются, а затем пересекают оси абсцисс и ординат. При этом конец «языка» всегда остаётся на окружности единичного радиуса в проекции на алгебраическую комплексную плоскость. Наибольший интерес представляют траектории, соответствующие режимам, когда концы языков касаются положительной части оси абсцисс. В этом случае среди точек пересечения экспоненциальной траектории с осью абсцисс присутствуют три точки: с абсциссами равными , где - целое положительное число. При больших значениях экспоненциальная траектория на римановой поверхности выглядит в виде сложной замкнутой спирали, проекция которой на алгебраическую комплексную плоскость имеет три зоны сгущения в виде окружностей с радиусами .

Уравнения, решениями которых являются степенные функции, могут быть получены из системы линейных дифференциальных уравнений также путём введения внешнего времени, заданного как некоторая (например, экспоненциальная) функция от внутреннего линейного времени. Целесообразно рассматривать два асимптотических варианта.

1. Начальный период существования структуры. Тогда точка внутреннего времени, стремящаяся к минус бесконечности, отображается во внешнем времени в некоторую точку, соответствующую моменту рождения структуры .
2. Конечный период существования структуры. Тогда точка внутреннего времени, стремящаяся к плюс бесконечности должна отображаться в точку, соответствующую моменту разрушения структуры.

В качестве отображающих функций, обладающих этим свойством, могут быть выбраны экспоненциальные функции. В этом случае степенные решения описывают. в частности, режимы, которые были названы С. П. Курдюмовым режимами с обострением, [9]. За конечный промежуток времени система достигает бесконечного значения параметра, описывающего её динамику .

Степенные функции появляются также при решении автономных дифференциальных уравнений со степенными функциями в правой части и при анализе нелинейного комплексного дифференциального уравнения первого порядка, в правой части которого стоит дробно-рациональная функция от зависимой и независимой переменной [1].

Анализ рассмотренных выше частных случаев позволил перейти к разработке основ комплексной степенной динамики, которую можно рассматривать как обобщение степенной геометрии, интенсивно развиваемой в настоящее время А. Д. Брюно [12]. В комплексной степенной динамике рассматриваются итерационные процессы и системы дифференциальных уравнений, в правых частях которых стоят многочлены от зависимых переменных, каждый одночлен которых представляет собой произведение комплексных степеней зависимых переменных. Если предположить, что зависимые переменные являются спиральными числами, то каждый одночлен может быть однозначно вычислен.

Проблемы возникают при необходимости сложения вычисленных значений одночленов. Наиболее естественной является процедура проектирования спиральных чисел на алгебраическую комплексную плоскость с последующим сложением получившихся алгебраических комплексных чисел. Однако, в результате подобного сложения возникает лишь алгебраическое комплексное число, которому может соответствовать счётное число спиральных комплексных чисел.

Далее возможны несколько вариантов рассмотрения.

• Выбрать среди всех вариантов спиральных комплексных чисел один, например, спиральное число, принадлежащее к одному витку Римановой спирали .
• Перебрать для одной из переменных все варианты спиральных чисел и каждому из них привести в соответствие по одному спиральному числу для других переменных.
• Перебрать все возможные сочетания спиральных комплексных чисел для всех зависимых переменных.
• Ввести представление о вероятности реализации того или иного комплексного спирального числа при заданном значении алгебраического комплексного числа.

После выбора одного из вариантов рассмотрения можно использовать методы степенной геометрии: построение многогранника Ньютона, замену зависимых переменных, асимптотическое усечение правых частей рассматриваемых уравнений [12] или методы теории вероятностей. Рассмотрение упрощается, если показатели степеней одночленов являются рациональными числами. В этом случае число вариантов решений конечно. Однако, даже в случае целых показателей степеней рассмотрение итерационных процессов, в правой части уравнений для которых стоят комплексные многочлены, приводит к чудесам фрактальной геометрии [2], [3], [13]. Если ввести понятие вероятности реализации каждой из ветвей искомых функций, то можно построить вероятностную интерпретацию комплексной степенной динамики.

В заключительной части этого раздела работы рассмотрен вопрос о связи теории конечномерных динамических систем с теорией систем уравнений динамики сплошных сред. Уравнения динамики сплошных сред описывают связь между полем скоростей и координатами точек, в которых расположены частицы движущейся среды. Таким образом, их решения, если их удаётся получить, становятся правыми частями системы обыкновенных дифференциальных уравнений, так как скорости перемещения являются производными по времени от координат точек сплошной среды.

Особенности и аттракторы динамики сплошной среды становятся особенностями и аттракторами соответствующих им конечномерных динамических систем. Одновременно фазовые пространства систем обыкновенных дифференциальных уравнений можно рассматривать как волновую картину движения некоторой абстрактной сплошной среды. Подобный подход позволяет искать новые аналогии между конечномерными и бесконечномерными динамическими системами. В частности, комплексификация обыкновенного дифференциального уравнения, которая может быть произведена двояко: как приравниванием к комплексифицированной правой части комплексной скорости, так и комплексно сопряжённой ей величины, — позволяет построить широкий класс моделей двумерных сплошных сред, в частности, течений идеальной несжимаемой жидкости, а также использовать при решении обыкновенных дифференциальных уравнений методы конформных отображений.

Замена комплексных зависимых переменных приводит к построению широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений, имеющих аналитические решения. В частности, описанная выше логарифмическая замена переменных аналогична функции Н. Е. Жуковского, широко применяемой при решении задач струйного обтекания тел идеальной жидкостью [14].

Во второй части статьи рассмотрены возможные приложения комплексных математических моделей к описанию процессов и явлений природы и общества.

Аналогия между фазовым пространством комплексного дифференциального уравнения первого порядка и движением сплошной среды и комплексификация переменных широко применялись нами при разработке классификации нелинейных волн, вихревых, грибовидных и древовидных структур и транспортно- информационных систем [15-18].

Классификация осуществляется по трём параметрам.

• Классификация по типу:
  • Обобщённые волны — классы идентичных объектов (квантов).
  • Вероятностные волны, характеризующие изменение плотности вероятности отыскания системы или структуры в одном из возможных для неё состояний.
  • Волны в сплошной среде, характеризующие изменение во времени и пространстве связанной между собой совокупности параметров сплошной среды.
• Классификация по характеру взаимодействия с другими системами, аналогичная классификации конечномерных динамических систем:
  • Свободные (собственные) волны.
  • Вынужденные волны.
  • Автоволны.
• . Классификация по степени нелинейности:
  • Волны относительно малой амплитуды, математическое описание которых представляется в виде совокупности решений линейных волновых уравнений в частных производных.
  • Умеренно-нелинейные волны. Сюда отнесены различные формы ударных волн в сплошных средах, солитоны, а также скачки параметров в однородной среде и границы раздела сред. В качестве подкласса данного класса рассмотрены автоволны в активных средах, диссипативные структуры и структуры, формируемые при возникновении режимов с обострением. Умеренно-нелинейные волны часто являются границами объёмов, которые они отделяют от окружающей среды. Такие объёмы названы телами — волнами.
  • Вихревые ударные волны. Сюда отнесены вихревые и (или) спиральные структуры, формируемые вследствие пространственной потери устойчивости фронта и формы умеренно нелинейных волн. В частности, сюда относятся автоволновые образования, называемые ревербераторами.
  • Грибовидные структуры. Сюда отнесены структуры мультипольной природы, формирующиеся при взаимодействии вихревых спиральных структур.
  • Древовидные структуры, динамика которых может быть описана методами математической теории графов, а также теорией многозначных комплексных функций.
  • Сложные, в том числе самоорганизующиеся системы, названные нами транспортно — информационными, и являющиеся результатом трансформации и взаимодействия волновых движений и структур более низких классов.

Базовой математической моделью для исследования линейных волн является линейное дифференциальное уравнение в частных производных (или система соответствующих уравнений). Её решение обычно представляется в виде экспоненциальных и тригонометрических функций от линейной комбинации координат и времени – линейных волн. Комплексификация зависимых переменных позволяет свести решение к анализу независимых уравнений первого порядка, что не всегда можно сделать, оставаясь в рамках действительных переменных.

Замена переменных в линейном уравнении теплопроводности приводит к рассмотрению одного из представителей умеренно-нелинейных волн — уравнения Бюргерса [19]. Анализ этого уравнения и его обобщений указывает на рождение принципиально новых структур: ударных волн, диссипативных структур, — появление которых невозможно предсказать на основе решения линейных волновых задач. Совершенно по иному проявляется влияние слабой нелинейности в диспергирующих системах, где резонансное взаимодействие нелинейности и дисперсии при определённых условиях порождает уединённые волны – солитоны. Наличие в дифференциальных уравнениях членов, содержащих степени зависимых переменных, так же как и в конечномерных системах, порождает режимы с обострением [9].

Таким образом, дополнение линейных дифференциальных уравнений нелинейными членами и соответствующие нелинейные замены переменных порождают новый класс уравнений и новые типы волновых движений, названных умеренно-нелинейными волнами. К появлению дополнительных, до конца не исследованных возможностей приводит комплексификация уравнений, описывающих умеренно-нелинейные волны.

Аналогия между комплексным дифференциальным уравнением и потенциальным течением идеальной жидкости позволила не только решить широкий класс двумерных прикладных задач динамики сплошной среды, в том числе и задач о формировании вихревых структур, но и построить ряд степенных комплексных функций, описывающих двойные спиральные вихревые особенности [20-24].

Тем самым, были заложены математические основы для создания теории вихревых ударных волн и грибовидных структур. Новый подход позволил представить такие явления и структуры, как обтекание крыла, движение тел в жидкости, формирование струй и каверн, атомный взрыв, формирование капель и паровых пузырей, горение, формирование биологических организмов и их отдельных органов, рост и размножение биологических клеток, океаны, моря и озёра с втекающими в них реками, облака и разрушающиеся волны, планеты и звёзды, галактики и Вселенную, элементарные частицы и атомы, неорганические и органические молекулы, — в качестве различных форм вихревых и грибовидных структур. Попытка создания математической модели грибовидной структуры в двумерном случае привела к анализу вихревых и мультипольных особенностей комплексных переменных, которые ранее не входили в классический набор особенностей динамических систем. Комплексная модель двумерной грибовидной структуры включает в себя также вихревые линии, использовавшиеся ранее для моделирования плоского идеального движителя [25]-[32].

Построение математической модели грибовидной структуры позволило объединить различные модели, использовавшиеся ранее в гидро — аэродинамике корабля и самолёта, и распространить их на биологические и социальные структуры.

Использование аналитических функций комплексного переменного при решении ряда задач взаимодействия движущихся тел с волнами и структурами, порождаемыми этим движением в сплошной среде, позволило выделить особые режимы, характеризуемые аномальным ростом параметров волн и появлением новых структур. Определены не только условия возникновения открытых режимов, но доказана общность механизма, лежащего в их основе. Этот механизм аналогичен колебательному и волновому резонансу [19], [33].

Однако проявления вновь открытого механизма, названного вихре — волновым и (или) структурным резонансом, оказались, более необычными и разнообразными. Определены общие условия возникновения подобных резонансных явлений в природных и технических приложениях. Введён безразмерный критерий, равенство которого единице соответствует резонансному режиму [1], [15], [17], [18].

Предсказанное теоретически и обнаруженное экспериментально явление вихре — волнового и (или) структурного резонанса внесло коренные изменения в существующие представления о динамике взаимодействия движущихся объектов с неоднородной сплошной средой. Значение полученных результатов состоит не только в обнаружении и изучении нового неизвестного ранее класса резонансных процессов и вихре — волновых структур, но также и в том, что предложенные при его исследовании нелинейные комплексные математические модели и разработанная на их основе классификация волновых движений, вихревых, грибовидных, древовидных структур позволяет предсказывать теоретически и обнаруживать экспериментально неизвестные ранее формы вихре — волнового взаимодействия, создавать искусственно условия для возникновения этого явления применительно к практическим задачам, а также создавать новые способы и разрабатывать новые конструкции (часть из них использовалась в судостроении), которые могут найти применение также в других областях техники и научных исследований от масштабов микромира до масштабов Вселенной. Авторами высказано предложение об использовании вихре — волнового резонанса для создания нового метода распознавания образов [18].

Широкое поле деятельности открывается также для изучения физических явлений и вихре — волновых структур, которые могут сформироваться при взаимодействии резонансного движения сплошной среды с другими типами волновых и колебательных движений.

Авторы высказали гипотезу о том, что подобные процессы должны быть широко распространены в биологических и социальных явлениях. В частности, вихре — волновые и (или) структурные резонансы могли играть существенную роль в возникновении жизни. Эта гипотеза требует детальной теоретической проработки и может явиться основанием для создания нового направления в изучении этой важнейшей научной проблемы.

Использование математических моделей итерационных процессов, в правой части которых стоят комплексные степенные многочлены с рациональными показателями степени, позволило осуществить также широкое обобщение комплексной голоморфной динамики и начать строительство основ новой теории ветвящихся древовидных структур.

Широкое применение находят нелинейные комплексные математические модели при исследовании транспортно-информационных систем. Системы этого типа состоят обычно из большого числа связанных между собой грибовидных и древовидных структур или вихре — волновых структур более низких классов. Транспортно-информационные системы, так же, как и вихре — волновые структуры, могут быть способными к размножению. Внутри класса транспортно-информационных систем могут быть выделены подклассы, различающиеся особенностями процессов, в которых участвуют входящие в них элементы (кванты) и подсистемы.

Любая целостная система, которая может быть названа одним словом, должна иметь определённую действительную скалярную меру – параметр целого. Удачный выбор этого параметра, характеризующего систему и соответствующий ей процесс, является результатом того мысленного образа изучаемого объекта, который сложился у исследователя. Параметр целого должен быть выбран таким образом, чтобы он легко измерялся или вычислялся и характер зависимости его от времени был устойчив для ряда аналогичных систем.

Если мы оставляем при исследовании сложного объекта лишь одну обобщённую координату (параметр целого), то в качестве неё можно использовать величину, характеризующую объём многообразия координат, более детально описывающих систему. Это может быть действие, энергия, масса системы, энтропия или информация, реальный геометрический объём, количество денег, прибыль, количество слов в языке и даже переменная возможность существования самой системы. В ряде случаев можно принять за параметр целого изучаемой системы число элементов – квантов, которые включены в систему как в обобщённую волну. Если каждый из них имеет меру и эти меры аддитивны (или мультипликативны) — то сумму (или произведение) мер квантов. Во многих случаях существенную помощь в анализе сложных структур и систем оказывает комплексификация параметра целого и логарифмическая замена временной координаты.

Пример эффективного использования этих приёмов приведён в наших работах по исследованию предшественников катастрофических событий в транспортно-информационных системах различной природы [10 - 11]. В ряде экспериментальных исследований поведения различных систем перед разрушением (землетрясения, биржевой крах, сбои в системе Internet ), были экспериментально зафиксированы зависимости выбранных параметров целого от времени перед разрушением исследуемых систем. При этом исследователи обратили внимание на общий характер полученных кривых, представлявших собой режим с обострением с налагающимися на эту кривую колебаниями изменяющейся частоты и возрастающей амплитуды. С. П. Курдюмову и Г. Г. Малинецкому [34] удалось подобрать для аппроксимации этих кривых аналитическое выражение, включающее в себя степенные, логарифмические и тригонометрические функции.

Однако проблема отыскания дифференциального уравнения, описывающего этот тип процессов, оставалась нерешённой. Комплексификация выбранного параметра целого и введение внутреннего времени системы позволили построить уравнение, решение которого описывает предвестники катастрофических событий в терминах внутреннего времени, и проанализировать общий класс таких уравнений. Их теория кратко изложена нами в [10-11].

Одним из основных свойств живых (и не только живых) объектов являются их рост и размножение, тесно связанные между собой. Рост клеток соответствует размножению органических веществ клетки, рост объёма популяции одноклеточных организмов или рост многоклеточного организма соответствует серии процессов деления клеток с последующим их ростом. Рост популяции многоклеточных организмов (рост массы вида) определяется последовательным размножением и ростом многоклеточных организмов. При этом параметром целого, то есть мерой, интегрально характеризующей биологический субъект как целостную структуру или систему, является его масса, которая на каждом уровне иерархии может быть связана с числом элементов (квантов), входящих в этот объект как в обобщённую волну.

Выбрав эту меру в качестве основной, мы можем связать между собой динамические процессы, происходящие на различных уровнях биологической иерархии. Проблеме математического описания процессов размножения живых объектов посвящено большое количество работ. При этом обычно используются два типа моделей [16]: непрерывные, сводящиеся к дифференциальным уравнениям, сглаживающие, например, процессы размножения или более сложные процессы взаимодействия биологических объектов; дискретные, сводящиеся к итерационным процессам.

Однако, оба типа моделей и основанные на них обобщения не описывают самого процесса простого размножения, интересуясь лишь его следствием – увеличением числа особей или массы. При этом вообще не рассматривается механизм размножения, связанный, например, с делением клетки на две части и последующим ростом каждой из этих частей. Ниже кратко сообщается о разработанной авторами новой базовой математической модели, обладающей тем преимуществом, что в её рамках можно подробно проследить весь процесс размножения делением, включая деление каждой особи (клетки) и её последующий рост. Предполагается, что каждая особь размножающейся популяции может быть математически описана комплексным числом, модуль которого характеризует действительный параметр целого, а аргумент — отличие этой особи от других. В качестве сопряжённых динамических моделей используются итерационное соотношение, в правой части которого стоит степенная функция с показателем степени одна вторая и модулем параметра целого равным единице, характеризующая удвоение числа особей при размножении, и сопутствующее ему нелинейное дифференциальное уравнение роста каждой дочерней особи.

Обе составляющие предложенной модели дают в качестве решений степенные функции от времени, являющиеся однозначными в периоды роста клетки и двузначными в моменты размножения. Предложенная модель может быть легко модифицирована и обобщена на различные типы ветвящихся процессов, каждая особь которых обладает двумя свойствами – роста и деления. При этом имеется три управляющих параметра, которые могут изменяться на каждом шаге размножения. (Авторы благодарят Р. Г. Баранцева за предложения по усовершенствованию предложенной модели).

В результате численной реализации предлагаемой модели или её обобщений на каждом шаге размножения увеличивается (или уменьшается в случае введения оператора разрушения особей) число особей, входящих в популяцию. Тем самым популяция может рассматриваться в качестве обобщённой волны, квантами которой являются растущие и размножающиеся особи. Такая волна может быть названа свободной биологической волной. Её реализация чаще всего происходит на двумерной поверхности Земли или в трёхмерной толще воды.

Если предположить, что существует условный радиус внешней среды, достаточный для взаимодействия с растущей особью, то модель даёт простые формулы и уравнения для оценки формы и скорости движения такой биологической волны. Размеры и скорость свободной биологической волны простого размножения растут по экспоненциальному закону. Если же такой рост по каким либо причинам (например, в связи с гибелью части особей) невозможен, то популяция может выйти на некоторое стационарное состояние. Для описания такого переходного процесса наряду с широко используемым логистическим уравнением (комплексный аналог которого ещё ждёт своего исследователя) [35], которое нашло эффективное применение при исследовании нами динамики Internet [36, 37], может быть использовано дифференциальное уравнение, в правой части которого стоит произведение зависимой переменной на её натуральный логарифм, описанное нами выше в качестве одного из основных базовых элементов комплексной степенной динамики.

Качественное рассмотрение ограниченного роста популяции позволило отметить ещё один путь развития популяции в условиях ограниченного ресурса. Этот путь и избрала Природа при создании многоклеточных растений и животных, в том числе и человека. Пусть пространство, в котором возможно использовать природные ресурсы, ограничено и отделено от другого аналогичного пространства значительной зоной, в которой условия для жизни отсутствуют. Как может поступать биологическая волна в этом случае? Характерным примером является слизневик ( Dictyostelium disciodeum ), который может существовать как в виде отдельных клеток (свободной биологической волны), так и в форме единого организма [38]. В состоянии неограниченного роста каждая клетка этого слизневика существует как отдельная особь. Распространение клеток по поверхности осуществляется по законам, модели которых изложены нами выше: они экспоненциально размножаются и занимают всё большую площадь.

Однако, когда пищи начинает не хватать, система переходит в состояние самоорганизации. Одна из клеток, расположенных в центре популяции, становится центром концентрации, испуская особые химические вещества, притягивающие к центру все остальные клетки (создавая новое биологическое поле). Формируется новая – пространственная — структура, клетки которой расположены впритык друг к другу. Вместо поверхности появляется объём, что уменьшает радиус пространства, занимаемого популяцией. При этом расстояние между клетками- членами популяции – стремится к нулю. Резко уменьшается поверхность соприкосновения популяции с внешней средой.

Существование каждой клетки обеспечивается существованием всех остальных. Нелинейная биологическая волна превращается в резонансную грибовидную структуру. Биологические поля, создаваемые отдельными клетками, синхронизируются, формируя биологический мультиполь. Тем самым открывается возможность для дальнейшего развития биологической структуры. Однако законы этого развития становятся другими. Сближение внутренних клеток уменьшает скорость их собственного роста, а, следовательно, скорость размножения и количество потребляемой каждой из них пищи и энергии. Срок жизни каждой из них значительно увеличивается и становится сравнимым со сроком существования популяции в целом (нечто подобное происходит сейчас и с человечеством — фактически этот процесс во многом аналогичен процессу формирования городов). Устанавливается существенное различие между клетками, находящимися на границе объёма, и клетками, находящимися внутри.

Граничные клетки становятся более активными. Так как внешнее биологическое поле, создаваемое синхронизированной группой клеток, значительно превышает поле, создаваемое группой независимо существующих клеток, то зона влияния возникшей грибовидной структуры оказывается значительно выше. Граничные клетки могут формировать длинные нити, связанные с основной частью грибовидной структуры и расположенные по силовым линиям нового биологического поля (ножки грибов), и порождать новые грибовидные структуры, связанные с первичными (в последнее время стволовые клетки стали получать из клеток кожи организмов). Нитевидные структуры служат для активного добывания пищи, а также для транспортировки пищи к грибовидным структурам. В настоящее время авторами разрабатываются комплексные математические модели, отражающие отдельные черты этого сложного явления. Описанные процессы позволили природным субъектам перейти к новому способу размножения – половому.

Динамика популяций, особи которых размножаются половым путём, в том числе и динамика человеческого общества, описывается уже иными уравнениями. В соответствии с половым характером размножения все люди делятся на две половины – мужчин и женщин. При этом каждый мужчина может образовать пару с любой женщиной и результатом взаимодействия этой пары может быть рождение ребёнка. Естественно описать динамику человеческой популяции в виде дифференциального уравнения для параметра целого (числа людей), в правой части которого стоит квадратичная функция этого параметра. Решением этого уравнения является степенная гиперболическая функция от времени, описывающая режим с обострением [39]. Экспериментальные данные указывают на то, что описываемая этими формулами динамика роста числа людей удовлетворяла этим соотношениям практически в течение всего периода существования человечества.

Однако, начиная с 80 годов двадцатого века, наступил мировой демографический переход, при котором рост числа людей резко замедлился. С. П. Капица предложил для аппроксимации всей кривой роста числа людей новую формулу, описывающую оба режима [40]. Введение комплексного параметра целого и комплексного времени, позволило нам получить простое комплексное дифференциальное уравнение, действительная часть решения которого совпадает с формулой Капицы. Однако, комплексификация определила ещё одну действительную переменную и новое действительное уравнение, требующие дополнительной интерпретации. Одной из возможных интерпретаций этой величины является объём информации, управляемой человеческим обществом [16].

Динамика роста числа людей определяет некоторый процесс, обладающий волновыми свойствами. Действительно, число людей, входящих в настоящий момент в состав человечества, характеризует именно состояние волнового процесса в данный момент времени. В другой момент это число может либо измениться, либо сохраниться.

Однако, даже если это число не изменится, то человечество уже не будет состоять из тех же людей. Человечество – это волна, проходящая через популяцию всех живших и живущих людей, а также людей, которые когда-либо будут жить. Но если есть волновое движение, то оно должно иметь свой период, свою длину и амплитуду волны. Если применить к этой волне разработанную нами классификацию, то человечество может рассматриваться как мультипольная (грибовидная) структура. У такой структуры понятия длины и амплитуды волны могут быть отождествлены, определяя некоторый характерный размер мультиполя. Кроме того, указанный параметр может быть отождествлён с обобщённым параметром Планка, то есть с квантом действия изучаемой волны [16]. В качестве такого единого параметра может быть принята величина параметра целого – число людей, составляющих в данный момент человечество, или их суммарная масса.

В отличие от квантово-механических приложений этот параметр сам существенно изменяется во времени. Волновой подход позволил отождествить известные в демографии понятия со скоростью и частотой волны, описывающей динамику роста человечества, и ввести понятие волновой функции человечества. Эта функция является комплексной в двух смыслах. Она выражается некоторым комплексным конечномерным или бесконечномерным вектором, и одновременно она комплексифицирует группу широко используемых в демографии параметров, каждый из которых характеризует ту или иную сторону демографического процесса. Однако, главным достоинством введения такой функции является её полная внешняя аналогия с волновой функцией квантовой механики.